基于“問題鏈”設(shè)計的習(xí)題課題型探究

摘"要"本文從兩道三角函數(shù)試題出發(fā)，從多角度探究基于問題鏈的習(xí)題課的設(shè)計思路，并給出具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞"問題鏈；習(xí)題課設(shè)計;教學(xué)探究

""習(xí)題研究是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要載體，習(xí)題研究的深與淺體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的理解程度，更加反應(yīng)了解決數(shù)學(xué)問題的能力以及對數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)理解程度.習(xí)題的解決不應(yīng)就題論題，而應(yīng)立足一道題的解決，掌握一類題的解決方法，更應(yīng)當(dāng)從解決這道題的過程中學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，形成習(xí)題研究的經(jīng)驗.習(xí)題課以解決習(xí)題為主要內(nèi)容，通過對習(xí)題的解決，夯實學(xué)生的“四基”，發(fā)展“四能”.習(xí)題課是否有價值關(guān)鍵看對習(xí)題的解決程度如何，因此，如何有效地設(shè)計好習(xí)題的研究路徑是習(xí)題課成功與否的關(guān)鍵.那么，如何有效地設(shè)計好習(xí)題的研究路徑呢？“問題鏈”就是一種可行的有效的具體方案.

1.問題鏈的內(nèi)涵與特征

“問題鏈”是對問題的一種聚焦式的深化理解，圍繞主干問題，層層遞進(jìn)，有序地進(jìn)行問題的設(shè)計，旨在引導(dǎo)學(xué)生觸及問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想在解決問題中的作用，獲得一類問題的解決方法或者加深對一類問題的本質(zhì)理解.“問題鏈”表現(xiàn)出目標(biāo)指向的綜合性與高階性、問題設(shè)置的真實性與適切性、問題使用的靈活性與深刻性.

2.問題鏈的設(shè)計路徑

習(xí)題的研究是多維度的，習(xí)題課的目的也是多方面的.探究問題不同解法的“問題鏈”設(shè)計應(yīng)當(dāng)立足于問題的理解，以數(shù)學(xué)基本思想為指導(dǎo)，從條件與問題的結(jié)構(gòu)上尋求多角度的切入點.通過不斷地引導(dǎo)，形成多種解決問題的方法.揭示問題的本質(zhì)的“問題鏈”設(shè)計應(yīng)當(dāng)立足于基本問題，尋求問題中變與不變，抓住形成結(jié)論的關(guān)鍵因素，圍繞原問題進(jìn)行一系列的變式，運用橫向和縱向類比方法，將具體問題拓展到一般情形.

2.1"探究問題的不同解法

例1"已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.若C=2π3，求B.

理解題意"條件cosA1+sinA=sin2B1+cos2B是關(guān)于角A和B的三角方程，又已知C=2π3，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得A+B=π3.從理論上，兩個方程兩個未知數(shù)足以求解出角A與B.

方程思想"從解方程的角度出發(fā)，關(guān)鍵是如何消元的問題？

問題1"對條件cosA1+sinA=sin2B1+cos2B及A+B=π3，應(yīng)當(dāng)如何消元？

解法1""由二倍角公式sin2B=2sinBcosB，cos2B=2cos2B－1，代入化簡得cosA1+sinA=sinBcosB，所以cos（A+B）=sinB，又A+B+C=π，C=2π3，有sinB=cos（π－C）=cosπ3=12，則B=π6.

解法1立足于目標(biāo)，以方程思想為指導(dǎo)，運用二倍角公式首先化簡cosA1+sinA=sinBcosB，然后去分母后結(jié)合和差公式與三角形內(nèi)角和定理求得答案.整個過程簡潔明了，一氣呵成.

解法2""由條件可得cosAcos2B－sinAsin2B=sin2B－cosA，則cos（A+2B）=sin2B－cosA.因為A+B+C=π，C=2π3，則cos（π3+B）+cos（π3－B）=sin2B，則cosB=2sinBcosB，故B=π6.

解法2同樣以方程思想為指導(dǎo)，首先去分母，然后結(jié)合和差公式與三角形內(nèi)角和定理化簡方程，整個解答也屬情理之中.

解法3""由解法1可得cosA1+sinA=sinBcosB，則cos2A2－sin2A2（cosA2+sinA2）2=tanB，則cosA2－sinA2cosA2+sinA2=tanB，也即1－tanA21+tanA2=tanB，則tanπ4－tanA2tanπ4+tanA2=tan（π4－A2）=tanB.因為C=2π3，所以A，B∈（0，π3），且π4－A2∈（π12，π4），故B=π6.

解法3在解法1的基礎(chǔ)之上，綜合運用齊次化思想以及三角恒等變換公式，曲折反復(fù)，過程較繁瑣，基本功不扎實的短時間內(nèi)很難完成.

結(jié)構(gòu)思想"從條件結(jié)構(gòu)的角度出發(fā)，關(guān)鍵是如何使等號兩邊的結(jié)構(gòu)相同？

問題2"考查條件cosA1+sinA=sin2B1+cos2B中等號兩邊的結(jié)構(gòu)，是否可以調(diào)整為相同的結(jié)構(gòu)？

解法4"由條件得sin（π2－A）1+cos（π2－A）=sin2B1+cos2B.構(gòu)造函數(shù)f（t）=sint1+cost=tant2，則f（t）在（0，π）上單調(diào)遞增.因為C=2π3，所以A，B∈（0，π3），π2－A∈（π6，π2），2B∈（0，π3），則π2－A=2B，從而B=π6.

解法4立足于目標(biāo)，調(diào)整條件的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)建角度間的方程，從而解決問題.

問題3"回顧上述四種解法，它們有什么共性？它們是否是解決此類問題的通法？

探究問題的不同解法主要是基于不同的視角，給出問題的不同角度的轉(zhuǎn)化形式，從而形成不同的解決方案.本案例中的四種方法都是以方程思想為指導(dǎo)，解法1-3都以三角恒等變換公式為抓手，結(jié)合三角形知識解方程組.解法4利用函數(shù)思想，將復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡單的方程.本案例中設(shè)計了三個問題，問題1和問題2旨在于引導(dǎo)多角度思考問題和解決問題，問題3旨在于提供解后反思與梳理，形成解決此類問題的一般經(jīng)驗.探究問題不同解法的“問題鏈”設(shè)計應(yīng)當(dāng)在理解題意的基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，提供多種理解問題的視角，形成多種解決問題的方案.

2.2"揭示問題的本質(zhì)特征

例2"已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心為32，且經(jīng)過點P（2，1）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點Q（1，0）的直線l與橢圓交于A，B兩點（均異于點P），直線AP與BP分別交直線l1：x=8于M點和N點，求證：kQM·kQN為定值.

基本問題及規(guī)律"證明kQM·kQN為定值就是研究在動點M與N的位置變化的過程中kQM·kQN的不變性.kQM·kQN中涉及的點Q是定點，M與N的橫坐標(biāo)也為定值（縱坐標(biāo)分別與A與B的坐標(biāo)有關(guān)系）.因此，影響結(jié)論的關(guān)鍵因素是Q與直線l1的內(nèi)在聯(lián)系.結(jié)論的不變性是否與點P的位置有關(guān)還需要探究.

問題1"證明kQM·kQN為定值的具體步驟是什么？

分析題意后不難形成證明kQM·kQN為定值的具體步驟：第一步，設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），以及直線l的方程，進(jìn)而表達(dá)出直線AP與BP的方程，聯(lián)立求得M與N的坐標(biāo)；第二步，用坐標(biāo)表達(dá)kQM·kQN，結(jié)合A與B的坐標(biāo)關(guān)系，代入化簡求值.（答案為－27，過程略）

首先應(yīng)當(dāng)對基本問題進(jìn)行解答，以為后續(xù)探究問題的本質(zhì)提供解決方法.通過問題1的解決，能夠形成問題的具體解決方法，提供可操作性的流程.回顧和鞏固了用代數(shù)方法研究幾何問題的基本程序.

問題2"結(jié)合題干的條件，kQM·kQN為定值是否與點P在橢圓上運動有關(guān)？

當(dāng)點P為橢圓上的任一點時，經(jīng)過探究也有下列結(jié)論.

結(jié)論1"已知橢圓C：x28+y22=1，P是橢圓C上任意一點.過點Q（1，0）的直線l與橢圓交于A，B兩點（均異于點P），直線AP與BP分別交直線l1：x=8于M點和N點，則kQM·kQN=－27.

問題2的解決從一個方面揭示了問題的一般性，結(jié)論的成立與點P在橢圓上的位置無關(guān)，逐步靠近問題的本質(zhì).

問題3"改變點Q的坐標(biāo)與直線l1的方程，kQM·kQN還是定值嗎？

從射影幾何的角度，點Q與直線l1是橢圓的一對極點與極線.因此，在這樣的背景下，結(jié)論可進(jìn)一步拓展.

結(jié)論2"已知橢圓C：x28+y22=1，P是橢圓C上任意一點.過點Q（n，0）（n≠0）的直線l與橢圓交于A，B兩點（均異于點P），直線AP與BP分別交直線l1：x=8n于M點和N點，則kQM·kQN=2n2－8.

問題3的解決已經(jīng)揭示了問題的本質(zhì)，從問題3可看出，在極點與極線的背景下，kQM·kQN為定值屬于橢圓自身的性質(zhì).在問題3的啟發(fā)下，可將結(jié)論拓展至一般的橢圓問題中.

結(jié)論3"已知P是橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上任意一點.過點Q（n，0）（n≠0，±a）的直線l與橢圓交于A，B兩點（均異于P），直線AP與BP分別交直線l1：x=a2n于點M.N，則kQM·kQN=b2n2－a2.

問題4""圓錐曲線具有內(nèi)在的統(tǒng)一性，嘗試將結(jié)論推廣到其他的圓錐曲線問題中.

問題4采用橫向類比，將結(jié)論延伸到其他圓錐曲線中，以尋求統(tǒng)一結(jié)論，形成對問題的深刻認(rèn)知，達(dá)到揭示問題的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的整體美.在前面幾個問題的引導(dǎo)下，可以逐步感悟研究問題本質(zhì)的具體路徑，激發(fā)數(shù)學(xué)探究欲望.

結(jié)論4"已知P是雙曲線x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0）上任意一點.過點Q（n，0）（n≠0，±a）的直線l與雙曲線交于A，B兩點（均異于P），直線AP與BP分別交直線l1：x=a2n于M點和N點，則kQM·kQN=b2a2－n2.

結(jié)論5"已知P是拋物線y2=2px（p＞0）上任意一點.過點Q（n，0）（n≠0）的直線l與拋物線交于A，B兩點（均異于P），直線AP與BP分別交直線l1：x=－n于M點和N點，則kQM·kQN=－1n.

揭示問題本質(zhì)的“問題鏈”設(shè)計應(yīng)當(dāng)由淺入深，逐步揭示問題的本質(zhì).在立足基本問題的基礎(chǔ)上，首先獲得解決具體問題的方法，通過橫向和縱向類比的方法設(shè)計系列問題，運用解決基本問題的方法解決后續(xù)一系列問題，以獲得一般性的結(jié)論.