創(chuàng)新定義巧設(shè)置， 發(fā)散思維妙應(yīng)用

摘"要"創(chuàng)新定義及其應(yīng)用是“三新”背景下高考改革命題中的一類基本題型．本文結(jié)合一道最值求解題，以創(chuàng)新定義的形式來設(shè)置，從不同思維與技巧方法層面來切入與應(yīng)用，挖掘問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，探求問題的突破與求解，歸納解題技巧與方法，巧妙變式拓展與應(yīng)用，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

關(guān)鍵詞"創(chuàng)新新定義；最值；不等式

創(chuàng)新定義與創(chuàng)新應(yīng)用問題是“三新”背景下高考改革下創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用的一個(gè)重要?jiǎng)酉?，也是高考試題創(chuàng)新的一個(gè)重要方向，因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)習(xí)中需要對(duì)創(chuàng)新題不斷加以探究和深刻反思與培養(yǎng)．以“創(chuàng)新定義”與創(chuàng)新應(yīng)用來設(shè)置的數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵要挖掘定義的本質(zhì)，回歸考查知識(shí)的根本，進(jìn)而選擇對(duì)應(yīng)的技巧與方法來分析與應(yīng)用．

1．問題呈現(xiàn)

題目"（2025屆遼寧省部分重點(diǎn)高中高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（8月份））已知a，b，c∈R，且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，min{a，b，c，d，…}為集合{a，b，c，d，…}中的最小元素，則min{a，b，c}的最大值為（ ""）.

A．3""""B．4""""C．5""""D．6

此題主要涉及三個(gè)變量所對(duì)應(yīng)的多個(gè)代數(shù)式間的最值問題，此類問題一直是高考命題中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)之一．本題通過新定義“min{a，b，c，d，…}”來創(chuàng)設(shè)，同時(shí)結(jié)合兩個(gè)并列的等式條件合理設(shè)置，優(yōu)化問題場景，開拓創(chuàng)新性應(yīng)用．

此類題目屬于雙重最值問題，這類問題的設(shè)計(jì)通常是求解一個(gè)最大值的最小值或者最小值的最大值．一般的求解策略是設(shè)出第一次的最值，再根據(jù)最值的特點(diǎn)（即最大值大于等于所有的值，最小值小于等于所有的值）建立最值與原等式（或原不等式）的不等關(guān)系，然后再把最值相加或者相乘，利用基本不等式或柯西不等式，亦或本身所帶的取值范圍，進(jìn)行合理放縮，求解出最后雙重最值，同時(shí)要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新定義與最值的分析與求解．

2．問題破解

解法1"（解不等式法）不失一般性，結(jié)合變量a，b，c的對(duì)稱性，不妨假設(shè)a為a，b，c中最小的數(shù)，即a=min{a，b，c}．由a+b+c=12可得3a≤12，且（b－a）（c－a）≥0，則有a≤4，且a2－a（b+c）+bc≥0．則知a2－a（12－a）+bc≥0，整理得bc≥12a－2a2．

又由ab+bc+ca=45可得45=bc+a（b+c）=bc+a（12－a）≥12a－2a2+a（12－a），整理a2－8a+15≥0，即（a－5）（a－3）≥0，結(jié)合a≤4，解得a≤3，此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)（a，b，c）=（3，3，6）取得等號(hào)．所以a，b，c中最小的數(shù)的最大值為3，即min{a，b，c}的最大值為3．故選A．

點(diǎn)評(píng)"利用題設(shè)的關(guān)系式并通過不等式的基本性質(zhì)加以合理放縮處理，合理消參并轉(zhuǎn)化為所求變量的二次不等式，通過解不等式法來實(shí)現(xiàn)最值的確定與求解．合理的消元變換是解決此類問題的關(guān)鍵，也是由代數(shù)式關(guān)系式的條件轉(zhuǎn)化為不等式的關(guān)鍵步驟．

解法2"（根的分布法）結(jié)合變量a，b，c的對(duì)稱性，假設(shè)a為a，b，c中最小的數(shù)，即a=min{a，b，c}．由a+b+c=12可得b+c=12－a，結(jié)合ab+bc+ca=45，可得bc=45－a（12－a），所以方程x2+（a－12）x+45－a（12－a）=0有兩個(gè)不小于a的實(shí)根．

所以f（a）≥0，12－a2≥a，≥0，解得a≤3或a≥5，a≤4，2≤a≤6，則2≤a≤3．所以min{a，b，c}的最大值為3，此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)（a，b，c）=（3，3，6）取得等號(hào)．故選A．

點(diǎn)評(píng)"結(jié)合關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征與性質(zhì)，通過兩數(shù)之和與兩數(shù)之積的確定，轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的一元二次方程問題，結(jié)合創(chuàng)新定義，轉(zhuǎn)化為方程有根并利用根的分布性質(zhì)來構(gòu)建不等式組，實(shí)現(xiàn)相關(guān)參數(shù)最值的確定與求解．

解法3"（分類討論法）不失一般性，結(jié)合變量a，b，c的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則min{a，b，c}=c．由a+b+c=12，可得3a≥12，3c≤12，解得a≥4，c≤4．

當(dāng)c=4時(shí)，a=b=4，此時(shí)ab+bc+ca=48≠45，不符合題意，所以clt;4．

又由于a2+b2+c2=（a+b+c）2－2（ab+bc+ca）=122－2×45=54，結(jié)合ab+bc+ca=45，可得a2+b2+c2－（ab+bc+ca）=12［（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2］=9，所以（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=18.當(dāng)c=b時(shí)，c取得較大值，由此可知此時(shí)b=c=3，a=6．所以min{a，b，c}的最大值為3，此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)（a，b，c）=（6，3，3）取得等號(hào)．故選A．

點(diǎn)評(píng)"通過變量的對(duì)稱性來確定對(duì)應(yīng)變量的取值情況，利用定義所確定的變量為主元加以分類討論，結(jié)合代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化來剖析與判斷，實(shí)現(xiàn)相關(guān)參數(shù)最值的確定與求解．

解法4"（三次函數(shù)與方程法）依題設(shè)abc=d，結(jié)合a+b+c=12，ab+bc+ca=45，則知a，b，c是三次方程x3－12x2+45x－d=0的三個(gè)實(shí)數(shù)根．

令函數(shù)f（x）=x3－12x2+45x－d，求導(dǎo)可得f′（x）=3x2－24x+45=3（x－3）（x－5），由f′（x）=0解得x=3或x=5．當(dāng)x∈（－∞，3）時(shí)，f′（x）gt;0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（3，5）時(shí)，f′（x）lt;0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（5，+∞）時(shí)，f′（x）gt;0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．所以x=3為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，x=5為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．

所以要使得三次方程x3－12x2+45x－d=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則最小值的根不低于3，最大值的根不超過5．所以a，b，c中最小的數(shù)的最大值為3，即min{a，b，c}的最大值為3．故選A．

點(diǎn)評(píng)"結(jié)合關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征與性質(zhì)，將三變量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的三次方程的求根問題，借助函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定三次方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根的取值情況，實(shí)現(xiàn)相關(guān)參數(shù)最值的確定與求解．

3．變式拓展

變式1"已知a，b，c∈R，且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，max{a，b，c，d，…}為集合{a，b，c，d，…}中的最大元素，則max{a，b，c}的最小值為（ ""）.

A．3"""B．4"""C．5"""D．6

解析"結(jié)合變量a，b，c的對(duì)稱性，假設(shè)a為a，b，c中最大的數(shù)，即a=max{a，b，c}．由a+b+c=12，可得3a≥12，且（a－b）（a－c）≥0，則a≥4，且a2－a（b+c）+bc≥0．則a2－a（12－a）+bc≥0，整理得bc≥12a－2a2．

又由ab+bc+ca=45，得45=bc+a（b+c）=bc+a（12－a）≥12a－2a2+a（12－a），整理有a2－8a+15≥0，即（a－5）（a－3）≥0，結(jié)合a≥4，解得a≥5，當(dāng)且僅當(dāng)（a，b，c）=（5，5，2）取得等號(hào)．所以a，b，c中最大的數(shù)的最小值為5，即max{a，b，c}的最小值為5．故選C．

變式2"（原創(chuàng)題）已知a，b，c是非負(fù)實(shí)數(shù)，且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，min{a，b，c，d，…}為集合{a，b，c，d，…}中的最小元素，則min{ab，bc，ca}的最大值為______．

解析"結(jié)合變量a，b，c的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c≥0，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可知ab≥ca≥bc，即min{ab，bc，ca}=bc．由a+b+c=12，可得b+c=12－a，結(jié)合ab+bc+ca=45，可得bc=45－a（12－a），所以方程x2+（a－12）x+45－a（12－a）=0有兩個(gè)不大于a的實(shí)根．所以f（a）≥0，12－a2≤a，△≥0，解得a≤3或a≥5，a≥4，2≤a≤6，則5≤a≤6．所以bc=45－a（12－a）=a2－12a+45=（a－6）2+9∈［9，10］，最大值為10，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5，c=2時(shí)取得最大值．所以min{ab，bc，ca}的最大值為10．

變式3"（2024年九省普通高考適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷（九省聯(lián)考））以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)．設(shè)0lt;alt;blt;clt;1，已知b≥2a或a+b≤1，則max{b－a，c－b，1－c}的最小值為______．

解析"設(shè)M=max{b－a，c－b，1－c}，依創(chuàng)新定義知M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c，

若b≥2a，則知b－2a≥0，對(duì)不等式M≥b－a，M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c同向相加，可得4M≥1+b－2a≥1，從而M≥14；

若a+b≤1，對(duì)不等式M≥b－a，M≥c－b，M≥c－b，M≥1－c，M≥1－c同向相加，可得5M≥2－a－b=2－（a+b）≥1，從而M≥15.

綜上，可知M≥15，當(dāng)且僅當(dāng)a+b=1且b－a=c－b=1－c，即a=25，b=35，c=45時(shí)等號(hào)成立，所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15．

4．教學(xué)啟示

基于創(chuàng)新定義下的雙重最值問題本質(zhì)上是不等式問題，可以消元解不等式，可以待定系數(shù)法，可以數(shù)形結(jié)合，可以基本不等式、柯西不等式，可以構(gòu)造方程，韋達(dá)定理，可以分類討論等．不同的題型要善于發(fā)現(xiàn)解決問題的基本方法，有時(shí)要從“取等”出發(fā)分析問題，解決問題．

其實(shí)，創(chuàng)新定義場景下的綜合應(yīng)用問題，只是高考創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用考查的一個(gè)類型之一，也是命題與考查的一個(gè)重要場所．對(duì)于創(chuàng)新定義，往往創(chuàng)新性強(qiáng)，信息量大，融合度高，經(jīng)常借助創(chuàng)新定義，從創(chuàng)新、繁雜的新定義中提煉出相關(guān)的內(nèi)容，結(jié)合定義的形成，條件的變形，方法的應(yīng)用等，巧妙原形遷移，類比推理，化歸與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以合理分析與求解．涉及創(chuàng)新定義問題可以很好考查考生的綜合能力，涉及閱讀理解能力、臨場應(yīng)變能力、創(chuàng)新應(yīng)用能力等，全面提升創(chuàng)新精神，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．