一道橢圓離心率試題的多解探究

摘"要"本文對一道橢圓離心率問題進行探究，給出了多種解法.

關鍵詞"橢圓離心率；求法；探究

1.試題呈現

如圖1所示，已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），F1，F2分別為Γ的左、右焦點，上頂點為B（0，b），弦AB過F1，弦AC過F2，且AB⊥BC，求橢圓Γ的離心率e.

試題設問語言簡潔干脆，寥寥數語將曲線形幾何圖形橢圓與直線形幾何圖形三角形糅合在一起，考查橢圓離心率的求解.試題中并未給出一個具體的數字，然而所求橢圓的離心率卻是一個定值，變化中蘊含著不變，刻畫了橢圓中的一個優美結論.

2.解法探究

解法1"（常規運算）設直線AB：bcx－y+b=0①，因為AB⊥BC，故直線BC：cbx+y－b=0②.又橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）③，聯立①③得A（－2a2ca2+c2，b3a2+c2），

聯立②③得C（－2a2b2cb4+a2c2，b5－a2c2b4+a2c2）.又因為A，F2，C三點共線，故kAF2=kCF2，即b3a2+c2－2a2ca2+c2－c=b5－a2c2b4+a2c2）－2a2b2cb4+a2c2－c，化簡整理得a2=3c2，即離心率e=33.

解法2"（曲線系方程）設F1（－c，0），F2（c，0），則易得直線AB：bcx－y+b=0，直線BC：cbx+y－b=0，直線AC：x=my+c又橢圓在點B（0，b）處的切線為y=b，則過A，B，C三點的二次曲線系方程為

（bcx－y+b）（cbx+y－b）+λ（y－b）（x－my－c）=μ（x2a2+y2b2－1）（λ，μ∈R）考慮方程左右兩邊以下各項的系數，有x2項1=μa2①，xy項bc－cb+λ=0②，常數項－b2+bcλ=－μ③，

聯立①②②得a2=3c2，即離心率e=33.

解法3"（平移構造齊次式）將坐標系向上平移b個單位，則平移后的橢圓Γ′：x2a2+（y+b）2b2=1（agt;bgt;0），去分母整理得b2x2+a2y2+2a2by=0①，設平移后的直線A′C′：mx+ny=1②，因為直線A′C′過點F2′（c，－b），故滿足mc－bn=1③.

聯立①②得b2x2+a2y2+2a2by（mx+ny）=0④，由于x≠0，④式左右兩邊同時除以x2，整理得（2a2bn+a2）·（yx）2+2a2bm·yx+b2=0⑤.又因為A′B′⊥B′C′，故kA′B′·kB′C′=－1=b22a2bn+a2，即2a2bn+a2+b2=0⑥.由③⑥得m=c2a2⑦.又kA′B′=bc為方程5的一個根，代入得（2a2bn+a2）·（bc）2+2a2bm·bc+b2=08，聯立③⑦⑧得a2=3c2，即離心率e=33.

3.解法評析

以上三種解法各有利弊，針對不同的學生而言實用性不盡相同.

方法1是常規運算，運用方程的思想，解出交點的坐標，再利用三點共線求解.此法在思維上較為簡潔，但運算起來較為繁瑣，不一定每個學生都能準確無誤的運算出來，適合數學思維能力較弱，但運算能力較強的學生.

方法2運用二次曲線系方程，巧妙的避免繁瑣的數學運算，將方程的思想運用的淋漓盡致，過程簡潔，可謂是此題的最佳解法.但是對于不熟悉曲線系方程的學生而言，此法根本想不到.這種方法的巧妙之處在于，直接根據橢圓上的四個點，得到四條直線（若是三角形問題，則可將其中一較為特殊的點看作兩個點重合得到，此時考慮這一點處的切線），建立過這四點的二次曲線系方程，利用方程左右兩邊對應項的系數相等的原理，直接對比系數即可.

方法3通過平移坐標系，將橢圓的上頂點平移至坐標原點，再通過直線與橢圓方程的齊次化聯立，對比方法1中的次數不對稱聯立，有效地降低運算量.最后將題設條件中直線的垂直關系轉化為斜率關系，結合韋達定理，最終順利解決問題.

下面對平移構造齊次式解題步驟進行歸納：

（1）根據題設條件找到斜率之和或斜率之積為定值的關系式，將兩條直線的公共點（通常此點坐標固定）平移到坐標原點（如：向左平移p個單位，向下平移q個單位），橢圓或雙曲線同時整體進行平移.

（2）寫出平移后的橢圓或雙曲線方程（x+p）2a2±（y+q）2b2=1.

（3）設出平移后的直線方程mx+ny=1（截距式的變形式）.

（4）構造齊次式（以橢圓為例）b2x2+a2y2+（2pb2x+2qa2y）（mx+ny）+（b2p2+a2q2－a2b2）（mx+ny）2=0.

（5）當x≠0時，方程兩邊同時除以x2轉化為關于yx的一元二次方程，借助韋達定理得出直線恒過定點或其他關系式.

上述三種方法對同一個問題的解決，體現了“一題多解”的解題模式，從不同角度看待同一個問題，能夠使得我們對問題的認識更加深刻.