角度式下圓錐曲線焦點弦問題的探究與應用

摘"要"本文以圓錐曲線焦點弦的傾斜角為變量，探究與焦點弦相關的性質，并將這些結論運用到實際的解題中，從而將常規解法下復雜的運算轉換為我們所熟知的三角運算.這些性質的推導與結論的運用，能夠很好的提升學生的數學思維能力.

關鍵詞"焦點弦；傾斜角；探究

1.引言

解析幾何中，將直線方程與曲線方程聯立，利用弦長公式，求得直線被曲線所截得的線段長，是求直線被曲線所截弦長的通式通法.經過圓錐曲線的焦點且與曲線有兩個交點的直線被稱為焦點弦，與焦點弦有關的求長度、周長或面積的考題在高考題的命制中多次出現.通式通法求這類問題的一般步驟：首先設出過焦點的直線方程，再與曲線方程聯立，利用弦長公式將所求的量用直線的斜率k表示出來，再進行相關的運算.此類方法對學生的運算能力要求較高，在一些復雜問題求解中往往會出現一些繁瑣的運算，甚至會出現運算無法進行下去的情形.

針對以上情形，筆者將焦點弦所在直線方程中的斜率用直線的傾斜角表示出來（斜率不存在的直線傾斜角為π2），將與焦點弦有關的長度、周長或面積問題用傾斜角的三角函數形式表示出來，從而將復雜的代數運算轉換為我們熟知的三角函數運算.

2.圓錐曲線焦點弦問題的探究

探究一"角度式下橢圓焦點弦的性質與推論

性質1"設AB是經過橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）左焦點F（－c，0）的弦，直線AB的傾斜角記為θ，θ∈0，π，則AB=2b2a1－e2cos2θ，其中e為橢圓的離心率.

證法1"（向量法）如圖1所示，AF'=FF'－FA，則AF'2=FF'2+FA2－2FF'FAcosθ，根據橢圓定義可得2a－AF2=2c2+AF2－4c·AF·cosθ，進而AF=b2a－c·cosθ=b2a1－ecosθ，同理BF=b2a+c·cosθ=b2a1+ecosθ，故焦點弦長AB=AF+BF=2ab2a2－c2cos2θ=2b2a1－e2cos2θ.

證法2"（余弦定理）在三角形AFF'中，因為（AF'）2=AF2+（FF'）2－2AF·FF'·cosθ，所以2a－AF2=2c2+AF2－4c·AF·cosθ，展開得出AF=b2a－ccosθ，同理在三角形BFF'中，可得BF=b2a+ccosθ，所以AB=AF+BF=2b2a1－e2cos2θ.

證法3"（解析法）設直線AB：x=my+c與橢圓方程x2a2+y2b2=1聯立可得a2+m2b2y2+2mcb2y－b4=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），由韋達定理可得y1+y2=－2mcb2a2+m2b2，y1·y2=－b4a2+m2b2，AB=1+m2·y1+y22－4y1y2=1+m2·4m2c2b4a2+m2b22+4b4a2+m2b2=2ab2a2sin2θ+b2cos2θ=2ab2a2－c2cos2θ=2b2a1－e2cos2θ，當直線斜率為0時，即θ=0時，AB=2b2a1－e2=2a，滿足上式.

在證明弦長公式過程中我們得到了AF=b2a1－ecosθ，BF=b2a1+ecosθ的結論，故可以得出如下推論：設AB是經過橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）左焦點F（－c，0）的弦，直線AB的傾斜角記為θ，則有

推論1"1AF+1BF=2ab2.

推論 2""若AF=λFB，則ecosθ=λ－1λ+1.

推論 3"若AB，CD是過橢圓焦點的兩條弦，且AB⊥CD，則1AB+1CD=2a2－c22ab2.

探究二"角度式下雙曲線焦點弦長的性質與推論

性質2"設AB是經過雙曲線x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）左焦點F（－c，0）的弦，且滿足與雙曲線的左支有兩交點A，B，直線AB的傾斜角設為θ，其中θ∈（arctanba，π－arctanba），則AB=2b2a1－e2cos2θ，e為雙曲線的離心率.

證明"設雙曲線右焦點為F'（c，0），由雙曲線定義得AF'=2a+AF，在三角形AFF'中，AF+2a2=AF2+FF'2－2AF·FF'cosθ，又由FF'=2c代入得AF=b2a+ccosθ=b2a1+ecosθ，同理BF=b2a1－ecosθ，所以AB=AF+BF=2b2a1－e2cos2θ.

類比橢圓中性質一的推論，我們也可在雙曲線中得出如下類似推論.

設AB是經過雙曲線x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）左焦點F（－c，0）的弦，與雙曲線左支交于A，B兩點，記直線AB的傾斜角記為θ，θ∈（arctanba，π－arctanba），則有

推論4"1AF+1BF=2ab2.

推論5""若AF=λFB，則ecosθ=1－λ1+λ.

因為橢圓的圖像是封閉的圖形，故經過橢圓左焦點的任意直線都與橢圓有兩個交點，傾斜角θ沒有限制.而雙曲線的圖像不封閉，故經過雙曲線左焦點的直線要與左支有兩個交點，則傾斜角θ∈（arctanba，π－arctanba）.

探究三"角度式下拋物線y2=2px（pgt;0）焦點弦長的性質與推論

性質3"設AB是過拋物線y2=2px（pgt;0）的焦點F（p2，0）的一條弦，設直線AB的傾斜角為θ，兩交點為A（x1，y1），B（x2，y2），則焦點弦長為AB=2psin2θ，θ∈（0，π）.

證法1"（解析法）當直線的傾斜角θ=π2，直線方程為x=p2，則兩交點坐標為A（p2，p），B（p2，－p），所以弦長AB=2p=2psin2θ；

當直線傾斜角θ≠π2時，設直線AB方程為y=k（x－p2），（其中k=tanθ∈R，且k≠0），與拋物線方程y2=2px（pgt;0）聯立可得k2x2－（pk2+2p）x+14p2k2=0，由拋物線的定義可得AB=x1+x2+p=2p+2pk2=2p+2ptan2θ=2psin2θ.

證法2"（幾何法）設點A到拋物線y2=2px（pgt;0）準線x=－p2的距離為d，由拋物線的定義可得AF=d=p+AF·cosθ，所以AF=p1－cosθ，同理可得BF=p1+cosθ，θ∈（0，π），所以AB=AF+BF=p1－cosθ+p1+cosθ=2psin2θ.

評注：兩種證法從代數和幾何兩個角度出發得出拋物線焦點弦的弦長公式，證法1側重于通式通法，從整體角度出發得出以傾斜角θ為變量的弦長表達式，證法2將求焦點弦AB的長度拆分為求兩線段AF和BF長度之和，將焦半徑的長度也以傾斜角θ為變量表示出來，為后續相關推論的得出提供思路.

推論6"1AF+1BF=2p.

推論7"ΔAOB的面積SΔAOB=p2sin2θ.

由性質3的證法2可得AF=p1－cosθ，BF=p1+cosθ，所以推論6成立；將OF看作是三角形的底邊，SΔAOB=12·OF·y1－y2=12·p2·2psin2θ·sinθ=p22sinθ，推論7得證.

在圓錐曲線中，經過焦點且與焦點所在的軸垂直的弦稱為通徑，在橢圓和雙曲線的通徑長都為2b2a，拋物線的通徑長為2p.在此定義下，可將性質1至3的焦點弦長統一定義為通徑長1－e2cos2θ，便于理解記憶.

3.角度式下焦點弦性質的應用

與焦點弦長或焦半徑有關的試題在高考題或?？碱}中多次出現，解決此類問題的通式通法是設出焦點弦所在直線方程，與圓錐曲線聯立，借助韋達定理，利用弦長公式求解.故此類解法雖然思路簡單、方法直接，由于運算量過大，會時常出錯.若以本文中角度式下的焦點弦性質與推論為解題的思考方向，往往可以起到事半功倍的效果.

3.1"焦點弦性質在求正交弦長中的應用

例1"已知點P為圓x2+y2=4上一動點，PQ⊥x軸于點Q，若動點M滿足OM=32OP+2－32.OQ（1）.求動點M的軌跡E的方程；（2）過點（1，0）的直線l1，l2分別交曲線E與點A，C和點B，D，且l1⊥l2，求證：1AC+1BD為定值.

解析"（1）動點M的軌跡E的方程為x24+y23=1.（過程略）

（2）設直線AB的傾斜角為θ（θ∈0，π），由性質一可得AC=2b2a1－e2cos2θ=124－cos2θ，同理BD=2b2a1－e2cos2（θ+π2）=124－sin2θ，所以1AC+1BD=8－（sin2θ+cos2θ）12=712.

本題也可采取通式通法，設出其中一條直線AC的方程與橢圓聯立，利用弦長公式求出線段AC的長度，同理可以得出線段BD的長度.在求解過程中，因為直線AC的斜率可能不存在，故需分類討論得出線段長.

一般性結論：若AB，CD是過橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）焦點的兩條弦，且AB⊥CD，則1AB+1CD=2a2－c22ab2.可設其中一條傾斜角為銳角的直線傾斜角為θ，則另一條直線的傾斜角為θ+π2，則由焦點弦性質可得1AB+1CD=a2－c2cos2θ2ab2+a2－c2cos2（θ+π2）2ab2=2a2－c22ab2.

3.2"焦點弦性質在求與焦點弦垂直的兩線段長的比值問題中的應用

例2"已知橢圓C：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0的右焦點為F2（1，0），且橢圓C過點（1，－22）.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過橢圓C左焦點F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，直線m：x=－2，過點F1作直線l的垂線與直線m交于點T，求TF1AB的最小值和此時直線l的方程.

解析"（1）橢圓C的標準方程為x22+y2=1.（過程略）

（2）如圖2所示，設直線m與x軸交于點H，則HF1=1，不妨設直線l的傾斜角為θ，由對稱性可取θ∈0，π2，則∠TF1H=π2－θ，當θ∈（0，π2），TF1=HF1cos（π2－θ）=1sinθ，由性質1知AB=2b2a1－e2cos2θ=222－cos2θ，故TF1AB=1sinθ222－cos2θ=24·1+sin2θsinθ=24·sinθ+1sinθ＞22.當θ=π2時，則T點和H重合，則TF1=1，AB=2b2a=2，則TF1AB=22，當θ=π2時，TF1AB取最小值22，此時直線l的方程為x=－1.

評注"本題解答中以焦點弦的傾斜角θ為變量，不僅可以表示出焦點弦AB的長度，而且可以將與焦點弦垂直的線段TF1的長度也表示出來，從而將所求最值問題轉化為我們所熟知的三角函數問題，從例2中我們不難發現相對于常規解法，角度式下焦點弦性質的應用可以在解答此類問題起到事半功倍的作用.

3.3"焦點弦性質在求正交的兩弦端點連成的四邊形面積問題中的應用

例3"已知橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1作直線l1交橢圓于B，D兩點，直線l2：x=my+1經過點F2，與橢圓相交于A，C兩點，且l1⊥l2，若ΔF1AC的周長為8.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設四邊形ABCD的面積為S，求S的取值范圍.

解析"（1）橢圓的標準方程為x24+y23=1.（過程略）

（2）由橢圓的對稱性，不妨設直線l1的傾斜角為θ，θ∈0，π2，又由l1⊥l2，可得直線l2的傾斜角為θ+π2，由性質①可得BD=2b2a1－e2cos2θ=124－cos2θ，AC=2b2a1－e2cos2（θ+π2）=124－sin2θ ，所以四邊形ABCD的面積S=12×124－cos2θ×124－sin2θ=72－（sin2θ－12）2+494，當sin2θ=12時，Smin=28849；當sin2θ=0或1時，Smax=6，所以S∈28849，6.

本例中的第（2）問可推廣如下：過橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）焦點且互相垂直的兩弦的端點連成四邊形面積的取值范圍為8a2b4（a2+b2）2，2b2.

基金項目：安徽省合肥市市級課題《高中數學教材中“閱讀與思考”欄目的開發與實踐研究》（項目編號：HJG23215）