開(kāi)展現(xiàn)象教學(xué) 抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)

摘要：課堂教學(xué)要從揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)，學(xué)生只有理解了本質(zhì)，才真正會(huì)應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.但是，當(dāng)前很多學(xué)生的解決問(wèn)題能力不足，本文中結(jié)合一次數(shù)學(xué)作業(yè)中的一道“意外”的錯(cuò)解題開(kāi)展現(xiàn)象教學(xué)，思考出錯(cuò)原因，讓學(xué)生在現(xiàn)象教學(xué)中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的重要性.

關(guān)鍵詞：現(xiàn)象教學(xué)；數(shù)學(xué)本質(zhì)；旋轉(zhuǎn)

如下是一次數(shù)學(xué)作業(yè)中的一道“意外”錯(cuò)解題：

一副直角三角板按如圖1所示的方式放置（BC與EF重合），將三角板DEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α＜90°），當(dāng)AC∥DE時(shí)，α=（" ）.

A.15°

B.20°

C.30°

D.45°

1 提出問(wèn)題

根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，這道題全班只有18人正確，其余32人均錯(cuò)誤，正確率只有36%.

分析題意后可知本題比較容易，只需畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的等腰直角三角形，并利用AC∥DE解題即可.那么，究竟是什么原因?qū)е聦W(xué)生的錯(cuò)誤率如此高？

2 嘗試答疑

對(duì)該題如此高的錯(cuò)誤率產(chǎn)生疑問(wèn)后，筆者嘗試尋找導(dǎo)致學(xué)生錯(cuò)誤的原因.首先，收集學(xué)生的作業(yè)，查閱智慧作業(yè)本上此題的解題筆跡；其次，抽查詢(xún)問(wèn)錯(cuò)解該題的學(xué)生，了解他們分析該題時(shí)的原始思路；最后，抽查詢(xún)問(wèn)正確解決該題的學(xué)生，了解他們的原始思路及方法.于是，將解題信息整理成了下表（表1）：

通過(guò)對(duì)比以上表格信息，筆者發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題所在：首先，學(xué)生缺少畫(huà)圖習(xí)慣，且畫(huà)圖不夠清楚、規(guī)范；其次，學(xué)生不清楚與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，尤其是畫(huà)好旋轉(zhuǎn)后的等腰直角三角形，無(wú)法找到旋轉(zhuǎn)角，而本題恰好要先找到該旋轉(zhuǎn)角，然后利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”解題.

尤其是筆者詢(xún)問(wèn)學(xué)生錯(cuò)因時(shí)，一個(gè)學(xué)生“老師，旋轉(zhuǎn)角是哪個(gè)角”的提問(wèn)，讓筆者徹底清楚了學(xué)生的真正錯(cuò)因所在，即沒(méi)有真正理解旋轉(zhuǎn)的本質(zhì).

3 現(xiàn)象教學(xué)

了解學(xué)生真正錯(cuò)因后，筆者圍繞著“老師，旋轉(zhuǎn)角是哪個(gè)角”的提問(wèn)展開(kāi)了現(xiàn)象教學(xué).

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入問(wèn)題

師：同學(xué)們，夏天快到了，炎熱的夏天我們會(huì)打開(kāi)電扇吹吹風(fēng).（打開(kāi)班上的電扇，開(kāi)低檔，讓其緩慢轉(zhuǎn)起來(lái).）有時(shí)候，也會(huì)手搖一把扇子.（拿出事先準(zhǔn)備好的扇子，緩慢打開(kāi).）同學(xué)們觀察并思考，它們讓你想起了數(shù)學(xué)中圖形的哪種運(yùn)動(dòng)？

生：圖形的旋轉(zhuǎn).

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟知的情境入手，更有利于吸引學(xué)生的注意力.同時(shí)，對(duì)于熟悉的情境，學(xué)生積累了相應(yīng)的生活經(jīng)驗(yàn)，有利于分析問(wèn)題.

3.2 問(wèn)題轉(zhuǎn)化，形成初知

師：假設(shè)電扇中心部分為一個(gè)點(diǎn)（O），且是旋轉(zhuǎn)中心，扇葉為一條線段（OA），如圖2.你能畫(huà)出扇葉OA繞著中心點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的圖形嗎？

學(xué)生畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，如圖3所示.

師：你能找到旋轉(zhuǎn)角嗎？

生1：能，旋轉(zhuǎn)角就是∠AOA′.

師：對(duì)，我們將旋轉(zhuǎn)前的線段OA稱(chēng)為“始邊”，將旋轉(zhuǎn)后的線段OA′稱(chēng)為“終邊”.始邊OA和終邊OA′之間所成的角就是旋轉(zhuǎn)角.

師：如果將線段OA換成三角形，那么旋轉(zhuǎn)后的圖形又該怎樣畫(huà)呢？如圖4，請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出△ABC繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的圖形△A′B′C′.

學(xué)生開(kāi)始作圖.

師：有哪位同學(xué)分享下你的思路？

生2：畫(huà)△ABC繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后的圖形，其實(shí)和剛才的OA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一樣.所以，將△ABC每

個(gè)頂點(diǎn)繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)后連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)就畫(huà)出了旋轉(zhuǎn)后的圖形.

師：思路是正確的，那么如何具體操作呢？

生3（上講臺(tái)展示操作過(guò)程）：如圖5，首先，連接OA，OB，OC；然后，分別作它們繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的圖形，得到它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′；最后，連接點(diǎn)A′，B′，C′，得到△A′B′C′.

師：那么，如何找出其旋轉(zhuǎn)角呢？

生4：只需找到一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)O的連接形成的角就行了.比如，A和A′是一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，將它們分別和點(diǎn)O連接，形成的∠AOA′就是旋轉(zhuǎn)角.同理，可得到旋轉(zhuǎn)角∠BOB′和∠COC′，它們都等于45°.其實(shí)，這和圖4中找旋轉(zhuǎn)角的方法一樣.

師：是的.OA和OA′所成的角就是旋轉(zhuǎn)角.

設(shè)計(jì)意圖：將具體的情境抽象化建立模型，是研究和分析并解決實(shí)際問(wèn)題的重要方法[1].同時(shí)，從最簡(jiǎn)單的線段旋轉(zhuǎn)問(wèn)題入手，進(jìn)一步分析圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，讓學(xué)生了解圖形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)就是點(diǎn)的旋轉(zhuǎn).

3.3 問(wèn)題解決，形成方法

通過(guò)以上探究，學(xué)生已經(jīng)理解了尋找旋轉(zhuǎn)角的方法，隨即筆者將學(xué)生思路轉(zhuǎn)移至本文開(kāi)頭的錯(cuò)解題，讓學(xué)生根據(jù)剛才的復(fù)習(xí)完成本題的訂正：

解：如圖6所示，作出三角板DEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α＜90°）后的圖形△D′E′F′.此時(shí)，∠ECE′=α.因?yàn)锳C∥DE，所以∠ACB+α=∠CE′D′=∠CED=45°.又∠ACB=30°，所以α=45°-30°=15°.

故選：A.

4 真題模練

為讓學(xué)生一方面更好鞏固“旋轉(zhuǎn)”的本質(zhì)，另一方面利用該本質(zhì)解決問(wèn)題，在利用現(xiàn)場(chǎng)教學(xué)解決學(xué)生疑難處、易錯(cuò)處后，教師引入近幾年的中考試題.如下：

（2024·吉林）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）.以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC，若將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA′B′C′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（" ）.

A.（-4，-2）

B.（-4，2）

C.（2，4）

D.（4，2）

5 教學(xué)思考

現(xiàn)象教學(xué)要求教師從數(shù)學(xué)現(xiàn)象入手，特別是從學(xué)生熟悉的現(xiàn)象入手，這樣有利于學(xué)生憑借已有的生活經(jīng)驗(yàn)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題[2].同時(shí)，從基礎(chǔ)的現(xiàn)象出發(fā)，一步步引導(dǎo)學(xué)生深入探究與分析，從而認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì).

本文中從學(xué)生的疑問(wèn)“哪個(gè)角是旋轉(zhuǎn)角”出發(fā)，幫助學(xué)生一步步回憶如何畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形及如何找旋轉(zhuǎn)角.同時(shí)從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，讓學(xué)生找到圖形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)就是點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角就是始邊與終邊所成的角.找到了這一方法，相信學(xué)生日后再遇到這樣的問(wèn)題時(shí)，定能準(zhǔn)確無(wú)誤地找到旋轉(zhuǎn)角.

綜上所述，找準(zhǔn)錯(cuò)因所在，從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題探究數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，是解決學(xué)生易錯(cuò)題的重要方法.正如本文利用現(xiàn)象教學(xué)，從學(xué)生熟悉的現(xiàn)象入手，一步步從探究到理解問(wèn)題，解決了知識(shí)“盲點(diǎn)”.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊威.抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)教育找到回家的路——基于“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的習(xí)題課教學(xué)分析[J].教育科學(xué)論壇，2015（19）：42-44.

[2]朱從帥.課堂教學(xué)不容忽視數(shù)學(xué)的本質(zhì)——“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”同課異構(gòu)教學(xué)的思考[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（16）：18-20.