幾何畫板與數學教學融合的探究

幾何畫板是一種適用于函數、幾何的教學工具，它能將數學對象的運動變化規律及知識間的聯系動態地展示出來，具有應用簡便、化靜為動、化難為易、化抽象為具體等作用.將幾何畫板深度融合于初中數學教學中，不僅能增強學生的思維與理解能力，還能固解題之本，拓知識之源.

1 幾何畫板的優勢

1.1 直觀演示

傳統數學課堂離不開利用尺、規、粉筆在黑板上進行作圖的環節，這種操作方法耗時費力，且容易出現偏差.借助信息技術中的“幾何畫板”軟件來輔助教學，一方面能節約時間，另一方面能將靜態的圖形進行動態的演示，為幫助學生建立概念與圖形的關系奠定基礎，學生從靈活、直觀的圖示中對知識形成深刻形象的認識[1].并將此認識自然而然運用到解題之中.

1.2 激趣啟思

數學主要是由符號、數據與圖形組成的學科，即使把概念、定理、公式等都背得滾瓜爛熟，也不一定會解題.正因如此，不少學生久而久之就對數學學習喪失了興趣.幾何畫板的介入，成功地轉變了學生的這種觀念.應用幾何畫板可將抽象、靜止的數學知識變成靈動、活躍的圖象，學生可以通過自主操作直觀感知圖形的位置與形狀的變化過程，從而對數學學習產生興趣，達到“雙減”的目的.

蘇霍姆林斯基認為：每個學習者都希望自己是一個發現者與探索者.幾何畫板的操作不僅能滿足學生自主發現的需要，還能啟發學生的思維，讓學生邊探索邊總結，對知識產生深刻認識.

1.3 促進探究

從心理學的角度來說，初中階段學生的身心正處于第二生長高峰期，大腦發育并未完全成熟，神經細胞比較容易疲勞.實踐證明，這個階段的學生思維仍以直觀形象思維占主導，他們對于生動、鮮明的視覺現象更容易產生探究熱情.鑒于此，教師可借助幾何畫板的直觀演示功能，刺激學生的感官系統，讓學生產生探索行為，以培養學生的科學精神[2].

2 例析幾何畫板與教學的融合

2.1 直觀演示，激趣啟思

教師在課前將幾何畫板軟件介紹給學生，讓學生感知這是一種簡單有趣、便于操作的軟件.課堂伊始提醒學生：對于多動點問題，可將其中一個動點固定再進行分析.

問題1 如圖1，已知矩形ABCD中的AB=3，BC=5，點E，F分別位于AB與BC邊上，若將紙片沿著EF進行折疊，且使點B落于AD邊上的點B′位置，求點B′在AD邊上能夠移動的最大距離.（幾何畫板演示，掃碼看演示1.）

投影展示一些結論，提高學生學習的積極性.

點評：幾何畫板的直觀演示讓課堂充滿生機，問題1的提出意在引發學生對幾何圖形基本知識的回顧，為接下來的教學起到啟發作用.

2.2 問題驅動，促進探究

基于模型思想的指導，筆者設計了一系列由淺入深的問題串，讓學生在幾何畫板的動態演示與思路引導下，形成良好的合情推理與演繹論證能力，為自主歸納出線段最值問題相關模型奠定基礎，也為數學思想方法的提煉作鋪墊.

師：通過問題1，大家能夠得到哪些信息？

生（觀察后回答）：折疊后兩個三角形全等；折疊的三角形是直角三角形；△AEB′是直角三角形……

師（引導提問）：點B′能在點A嗎？點B′能在點D嗎？

學生有的說可以，有的說不可以.

師（提示）：點B′移動是不是代表折線也在移動？

生（思考后回答）：是的.

師（提示）：題目中是不是對E，F兩點有要求？

生（再次看題目要求）：是的，點E，F要求在AB，BC邊上.

師（引導提問）：那點E可以和點A重合嗎？點F可以和點C重合嗎？

學生根據提示思考重合的可能性及對應的點B′的移動軌跡.

學生對線段最值問題有所認識后，教師帶領學生借助幾何畫板來解決點B′的軌跡問題，讓學生從直觀的幾何畫板演示中探尋出動中恒定不變的量.

幾何畫板構造圖形：打開幾何畫板軟件，首先構造一個與題設條件相匹配的圖形，并于AD邊上任意選取一點B′，將點B與點B′相連形成線段BB′，畫出線段BB′的垂直平分線，分別與AB，BC邊相交于點E，F，再分別連接B′E與B′F.

探究過程：如圖2，拖動點B′，讓其在AD邊上左右滑動.當點B′與點A越接近時，點F與點C越靠近，當點F位于點C的位置上時，點B′和點A的距離最小（掃碼看演示2）.

如圖3，當點B′與點A的距離越來越遠時，點E與點A越靠近，當點E恰好與點A重合時，點B′與點A的距離最大（掃碼看演示3）.

幾何畫板介入以上探究過程，學生對于點F與點C重合時，線段AB′的距離最小有了直觀認識，根據題設條件，容易獲得AB′=1；對于點E與點A重合時，線段AB′的距離最大，根據題設條件，容易獲得AB′=3.因此，點B′在AD邊上能夠移動的最大距離為2水落石出.

這兩步操作讓問題1的解題思路一目了然，學生不但可以很快寫出解題過程，而且提高了數學思維能力.由此也能看出，幾何畫板的介入讓問題變得更加直觀明了，學生也從直觀的圖形演示中明確了這類問題的解題方法.幾何畫板不僅開闊了學生的視野，激發了學生的學習興趣，還增加了學生探索問題的樂趣，學生在寓教于樂中對這類問題觸類旁通.然后用下面的練習及時加以鞏固.

練習：

問題2 已知圓O和圓O外一點P，在圓O上求作點A，使PA+OA最短.

規定不可使用幾何畫板，但是由于幾何畫板的動態直觀的特點，幾乎所有學生會在大腦中快速出現點A在圓O上的不同位置的圖形，根據兩點之間線段最短，找出點A在OP與圓O的交點處.

拓展：

問題3 如圖4，已知矩形ABCD中的AB=3，BC=5，點E、F分別位于AB邊與BC邊上，若將紙片沿著EF折疊，且使點B落于ABCD內的點B′位置，求線段AB′的最小值.

幾何畫板構造圖形：打開幾何畫板軟件，首先構造一個與題設條件相匹配的圖形，并于矩形ABCD內任意選取一點B′，將點B與點B′相連形成線段BB′，構造出線段BB′的垂直平分線，且分別與AB，BC邊相交于點E，F，再分別連接B′E與B′F.

探究過程：如圖5，拖動點B′，觀察發現當點F與點C越接近時，點B′與點A的距離越小，當點F位于點C的位置上時，點B′和點A的距離越小（掃碼看演示4）.

如圖6，將點F固定于點C處，拖動幾何畫板上的點B′，發現當A，C，B′三點處于一條直線上時，點B′與點A的距離最小（掃碼看演示5）.為什么在這種情況下，點B′與點A的距離是最小的呢？

當點F固定于點C處時，點B′的運動軌跡為以點C為圓心、BC為半徑的圓，根據前面的問題2，當點B′處于AC和圓相交處時，AB′的值最小.

根據教學情況，這里教師再對解題思路和學生的學習情況做出總結，并適當安排最值問題的練習進行鞏固.

隨著拓展問題的探索，學生的思維得到進一步深化.探索是數學學習的根本，學生在探索過程中，通過對幾何畫板所演示內容的觀察，思維經歷了由淺入深的變化過程[3].學生在此過程中將目光聚焦于幾何關系中的動與靜，體驗了“最遠”“最近”以及輔助線的畫法等過程，充分體驗了數學是思維的體操.

總之，隨著時代的發展與科技的進步，數學教師也要與時俱進掌握先進的教育教學手段，帶領學生借助先進的多媒體技術，在充滿智慧與生機的課堂探索中建構新知，發展數學思維與“四基”“四能”，讓數學核心素養落地生根.

參考文獻：

[1]馬麗花.淺談《幾何畫板》在數學教學中的優點[J].教育教學論壇，2010（13）：166.

[2]黃晨.“幾何畫板”在初中數學教學中的應用研究[J].中學數學教學參考，2016（36）：24-25.

[3]胡廷欣，童其林.網絡環境下數學教學資源的獲取、整合與活用[J].數學通訊，2013（12）：1-3.