高中生三角函數(shù)學(xué)習(xí)障礙及教學(xué)策略分析

【摘要】三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中有著重要的地位和作用，學(xué)習(xí)好三角函數(shù)對(duì)于實(shí)際生活問題的解決有著重要價(jià)值.現(xiàn)階段，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)遇到了諸多困難，為了幫助學(xué)生突破三角函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)障礙，文章以高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)為例，研究在三角函數(shù)的知識(shí)學(xué)習(xí)中，教師如何有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)瓶頸.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；學(xué)習(xí)障礙；教學(xué)策略

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是高考數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn)，其難度中等偏上，是學(xué)生高考得分的關(guān)鍵.三角函數(shù)部分知識(shí)涉及的公式較多，需要學(xué)生熟記的內(nèi)容也較多.在教學(xué)實(shí)踐中，不難發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)部分知識(shí)存在一定的畏難心理，學(xué)習(xí)情況不容樂觀.分析高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的學(xué)習(xí)障礙，探尋制約學(xué)生三角函數(shù)部分學(xué)習(xí)的主要因素，設(shè)置相應(yīng)的教學(xué)策略，是眾多一線數(shù)學(xué)教師需要思考的教學(xué)問題.

一、高中生學(xué)習(xí)三角函數(shù)學(xué)習(xí)障礙分析

（一）高中生三角函數(shù)任意角和弧度制學(xué)習(xí)障礙分析

在任意角的教學(xué)內(nèi)容中，教材上通過圓周上的一點(diǎn)的位置刻畫和“一條射線圍繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形”，引出利用角去刻畫點(diǎn)的位置.在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生明白了“射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到0°—360°的角”，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)（結(jié)合旋轉(zhuǎn)方向）就會(huì)超出角的范圍，進(jìn)而引出正角、負(fù)角、零角的概念，規(guī)定角的加減法，最后，將其放入坐標(biāo)系中，規(guī)定象限角和軸線角.

在這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往會(huì)忽視角的方向，對(duì)角的正負(fù)理解不到位.

例1 經(jīng)過2個(gè)小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是（ ）.

A.60°，720° B.-60°，-720°

C.-30°，-360°D.-60°，720°

部分同學(xué)會(huì)選擇A，而正確答案應(yīng)該是B.

障礙分析 部分學(xué)生在解決這一問題時(shí)，沒有正確認(rèn)識(shí)到角的范圍已經(jīng)擴(kuò)大到任意角，沒有利用旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的思想去思考問題，還是利用初中階段所學(xué)的知識(shí)去分析問題，進(jìn)而導(dǎo)致在解決這一問題時(shí)，因?yàn)闆]有考慮方向而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤.

例2 終邊在直線y=-x上的角β的集合S=.

障礙分析 在解決這一問題時(shí)，部分學(xué)生會(huì)覺得這是一條直線，與之前學(xué)習(xí)過的終邊相同的角不一樣，從而寫不出答案.本題角的終邊落在直線y=-x上，實(shí)際上終邊位置有可能在第二象限的角平分線上，也可能在第四象限的角平分線上.在這部分知識(shí)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)終邊相同的角的理解至關(guān)重要，終邊相同的角是從任意角的概念中分出來的，學(xué)生如果能夠利用旋轉(zhuǎn)的思想去分析問題，那么就能夠很順利地理解終邊相同的角.

例3 請(qǐng)嘗試使用弧度來表示終邊落在如圖1所示陰影部分（不包括邊界）的角的集合.

障礙分析 部分學(xué)生在解決這一問題時(shí)，存在以下情況：①角度和弧度不會(huì)轉(zhuǎn)化；②不會(huì)找合理的周期；③對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)的是射線還是直線搞不明白.還有些學(xué)生會(huì)忘了加2kπ或者kπ，這些都是不能夠完全理解角的旋轉(zhuǎn)的表現(xiàn).學(xué)生解答本題時(shí)在角度和弧度靈活轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)上找出適當(dāng)?shù)闹芷冢拍軠?zhǔn)確地描述角的范圍.

（二）高中生三角函數(shù)概念學(xué)習(xí)障礙分析

學(xué)生從三角函數(shù)概念部分知識(shí)的學(xué)習(xí)開始，就正式進(jìn)入了對(duì)三角函數(shù)的深入學(xué)習(xí).前面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生建立了角度制和弧度制的概念，并在角度與實(shí)數(shù)之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.在該部分知識(shí)的教學(xué)中，三角函數(shù)概念是一個(gè)從舊概念上升到新概念的過程，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解會(huì)產(chǎn)生障礙.雖然學(xué)生對(duì)于“比值定義法”和“單位圓定義法”講解的三角函數(shù)概念能夠理解，但是對(duì)于高中階段和初中階段三角函數(shù)定義產(chǎn)生的分歧還是難以接受.部分學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的正負(fù)存在理解障礙，這一情況出現(xiàn)的主要原因是學(xué)生依然利用初中階段對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)去理解知識(shí).在教學(xué)過程中，教師要注意這部分內(nèi)容要結(jié)合象限、坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí)適當(dāng)練習(xí)，這樣學(xué)生就會(huì)比較容易理解三角函數(shù)值的正負(fù).還有一部分學(xué)生在三角函數(shù)概念部分的學(xué)習(xí)中存在的障礙是對(duì)特殊角三角函數(shù)值的記憶，例如對(duì)30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，270°等特殊角的三角函數(shù)值記憶不準(zhǔn)確，教師可以結(jié)合單位圓或?qū)ΨQ性等將其更直觀地展示出來.

（三）高中生三角函數(shù)圖像及性質(zhì)學(xué)習(xí)障礙分析

三角函數(shù)圖像知識(shí)主要為正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，等等.三角函數(shù)部分知識(shí)從此處開始綜合性增強(qiáng)、靈活性增強(qiáng)、難度加大，是學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙較多的部分.例如學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的理解不夠透徹，正余弦函數(shù)圖像辨析不清，對(duì)“五點(diǎn)作圖法”的掌握不夠準(zhǔn)確，也不理解圖像的周期性，難以借助一個(gè)周期圖像延伸到多個(gè)周期，對(duì)于相關(guān)知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系把握不準(zhǔn)，導(dǎo)致在三角函數(shù)圖像應(yīng)用方面出現(xiàn)障礙，特別是在三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性方面存在的問題較大.在數(shù)學(xué)文字閱讀方面，部分學(xué)生也存在障礙，面對(duì)題目設(shè)置的問題，他們找不到關(guān)鍵信息，無法將題目信息轉(zhuǎn)化為有效條件，有些學(xué)生還會(huì)遺漏題目條件，尤其是角的范圍和定義域方面的問題容易被忽視.圖像和公式記憶不清、不會(huì)畫圖、張冠李戴的情況也經(jīng)常出現(xiàn).該部分涉及的主要思想有轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想三個(gè)方面，學(xué)生需要靈活掌握這些數(shù)學(xué)思想，才能夠?qū)⑿碌臄?shù)學(xué)問題與舊的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來，擺脫計(jì)算量大、難以入手的困境.最后，三角函數(shù)部分涵蓋的公式較多，每個(gè)公式之間存在著緊密的聯(lián)系，利用起來靈活性較高，有的學(xué)生在使用這些公式解決問題時(shí)，不知道該使用哪一個(gè)公式去計(jì)算，導(dǎo)致解題緩慢或者解題出錯(cuò).

二、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)策略

（一）三角函數(shù)任意角和弧度制教學(xué)策略

針對(duì)在教學(xué)中出現(xiàn)的“忽視角的方向，對(duì)角的正負(fù)不理解”的問題，教師可以嘗試以下方式：列舉出初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的角的定義，與高中階段要學(xué)習(xí)的任意角的定義，進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們之間的不同.高中階段的任意角不僅能夠表示比360°大的角，還能夠表示比0°小的角.對(duì)于如何幫助學(xué)生理解角的正負(fù)，教師可以結(jié)合構(gòu)建主義理論，將要學(xué)習(xí)的新知識(shí)與學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，引入物理中速度的表示方法“規(guī)定了速度正方向后，相反方向的速度就通過負(fù)號(hào)來區(qū)分”.這樣的類比能夠幫助學(xué)生理解角的正負(fù)并不是指角的大小，而是指角的旋轉(zhuǎn)方向.這樣不僅能夠幫助學(xué)生加深對(duì)任意角正負(fù)的理解，還能夠引導(dǎo)學(xué)生知道任意角的概念就是一個(gè)旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)刻畫，并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力，讓學(xué)生感受到知識(shí)之間的相互聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)能力.

對(duì)于弧度制部分知識(shí)的教學(xué)，教師要注重穩(wěn)扎穩(wěn)打，不能夠因?yàn)橼s教學(xué)進(jìn)度而忽略學(xué)生對(duì)知識(shí)的深層次理解，不能夠僅僅告訴學(xué)生π=180°這一轉(zhuǎn)換公式就急于練習(xí)，要將弧度制的引入過程和必要性加以分析，為學(xué)生后面學(xué)習(xí)三角函數(shù)定義域奠定基礎(chǔ).在具體的教學(xué)過程中，教師可以引入學(xué)生初中階段所學(xué)習(xí)的弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式：利用圓心角與周角的比例乘圓的周長(zhǎng)來得到所求圓心角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，利用扇形所對(duì)應(yīng)圓心角與周角的比例乘圓的面積得到扇形的面積.教師可以在不同的場(chǎng)合應(yīng)用弧度制，幫助學(xué)生構(gòu)建弧度制的使用氛圍，讓學(xué)生在潛移默化中逐漸掌握知識(shí).

（二）三角函數(shù)概念教學(xué)策略

（三）三角函數(shù)圖像及性質(zhì)教學(xué)策略

閱讀量的不足和對(duì)數(shù)學(xué)定義的理解不充分是導(dǎo)致學(xué)生不理解題意，無法提取題干有效信息的重要因素，這就需要高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中深化課堂教學(xué)，在實(shí)施常規(guī)課堂教學(xué)以外，引導(dǎo)學(xué)生回顧相應(yīng)的概念和定義，幫助學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的概念知識(shí)體系.同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生繪制相應(yīng)的圖像，加深學(xué)生對(duì)圖像和文字的對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解.對(duì)于學(xué)生三角函數(shù)圖像及性質(zhì)的學(xué)習(xí)障礙，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)常規(guī)的問題進(jìn)行總結(jié)分類：該部分知識(shí)主要包含了求值、求范圍和證明三大類問題.如在解決求值類問題時(shí)，學(xué)生可以利用方程思想，通過設(shè)未知數(shù)，借助等量關(guān)系來列方程求解；對(duì)于求范圍和最值的問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先尋求變量的表達(dá)式，將目標(biāo)變量轉(zhuǎn)化為其他變量，再通過等量關(guān)系將其化簡(jiǎn)成為只包含一個(gè)參數(shù)的式子，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值的問題，這樣就可以與初等函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合，求出范圍或最值.

結(jié) 語

綜上所述，對(duì)高中生來說，三角函數(shù)部分知識(shí)并不陌生，他們?cè)诔踔须A段就接觸過三角函數(shù)，進(jìn)入高中以后，學(xué)生只是在原來銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步的延伸，原有的內(nèi)容公式相應(yīng)增加，變化更加靈活.在三角函數(shù)任意角和弧度制、三角函數(shù)概念、三角函數(shù)圖像及性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生都會(huì)面臨不同的學(xué)習(xí)障礙，教師要密切關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)分析學(xué)生三角函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)中存在的障礙，對(duì)教學(xué)策略做出靈活調(diào)整，這樣才能夠幫助學(xué)生克服困難，有效提升課堂教學(xué)效果.

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