抓住基本問題?指向概念理解

概 念 教 學(xué)

概念教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，是基礎(chǔ)知識教學(xué)的重要組成部分，也是發(fā)展學(xué)生思維的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目的是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，形成對數(shù)學(xué)基本的、概括性的認(rèn)識。即明確概念的內(nèi)涵、外延，熟悉其表述；了解概念之間的關(guān)系，會對概念進(jìn)行分類，從而形成概念系統(tǒng)；了解概念的來龍去脈，能夠正確運(yùn)用概念。正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基本知識和基本技能的基石。

新課程理念下，概念教學(xué)中仍然存在一些問題。本期我們推出姜榮富老師的一組文章，就如何有效地進(jìn)行概念教學(xué)研究和探討，以饗讀者。姜榮富老師以循環(huán)小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義、長方形認(rèn)識、平均數(shù)的理解教學(xué)為例，通過實(shí)施“抓住基本問題，指向概念理解”“抽象形成概念，運(yùn)算演繹意義”“分類獲得概念，推理驗(yàn)證特征”“創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，滲透正確的統(tǒng)計(jì)觀念”教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及邏輯思維，讓學(xué)生的核心素養(yǎng)真正落地生根。希望這些教學(xué)案例能給廣大教師帶來啟發(fā)與思考。

【摘 要】在小學(xué)數(shù)學(xué)中，從學(xué)習(xí)循環(huán)小數(shù)開始需要直面無限的問題。理解循環(huán)小數(shù)的目標(biāo)包括對無限的想象、循環(huán)的理解和結(jié)果的表示。教學(xué)中可以抓住兩個(gè)基本問題：一是為什么會出現(xiàn)循環(huán)？二是如何表示計(jì)算結(jié)果？前者可以讓學(xué)生成為深入的思考者，通過深入地思考，發(fā)展更高級的思維認(rèn)知；后者可以讓學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造的過程，通過再創(chuàng)造，學(xué)習(xí)像數(shù)學(xué)家那樣分析與解決問題。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 循環(huán)小數(shù) 思維再創(chuàng)造 符號意識

小數(shù)是十進(jìn)制記數(shù)向相反方向延伸的結(jié)果。分母是10，100，1000……的分?jǐn)?shù)容易轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制小數(shù)，這類小數(shù)都是有限小數(shù)。有限小數(shù)只能表示一部分分?jǐn)?shù)，大量分?jǐn)?shù)的小數(shù)表示都是無限循環(huán)小數(shù)。在有理數(shù)的范圍內(nèi)，分?jǐn)?shù)與小數(shù)是等價(jià)的，任何一個(gè)分?jǐn)?shù)都可以轉(zhuǎn)化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。反之亦然。因此，在所有的小數(shù)中，循環(huán)小數(shù)是非常特別的，因?yàn)樗鼈兪欠謹(jǐn)?shù)。把小數(shù)定義為形如amam-1…a2a1，b1b2…bn-1bn的數(shù)叫作十進(jìn)小數(shù)，簡稱小數(shù)，是很明智的。有限小數(shù)與無限小數(shù)都包含在內(nèi)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，從學(xué)習(xí)循環(huán)小數(shù)開始，不得不正面處理無限的問題。通常無限只是人們的一種想象，但是只有數(shù)學(xué)才真正面對無限，數(shù)學(xué)才是處理無限問題強(qiáng)有力的工具。

通常教學(xué)循環(huán)小數(shù)時(shí)，教師側(cè)重于介紹什么叫循環(huán)小數(shù)，如何表示循環(huán)小數(shù)，如何取近似值。這些當(dāng)然都是重要的知識與技能。如果教學(xué)只是關(guān)注這些知識與技能，就沒有把學(xué)生當(dāng)作主動的思考者。

對于特定主題的學(xué)習(xí)，關(guān)鍵是要抓住核心概念，圍繞核心概念提出可以解答的、有啟發(fā)性的基本問題。循環(huán)小數(shù)通常是在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)和得到的，核心概念是“循環(huán)”。理解循環(huán)小數(shù)的目標(biāo)包括對無限的想象、循環(huán)的理解和結(jié)果的表示。圍繞這些主要目標(biāo)，教學(xué)可以抓住兩個(gè)基本問題：一是為什么會出現(xiàn)循環(huán)？二是如何表示計(jì)算結(jié)果？學(xué)生深入思考并經(jīng)歷再創(chuàng)造的過程，不僅可以增進(jìn)數(shù)學(xué)理解，而且可以獲得智力的成就感。

一、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)

除法與分?jǐn)?shù)關(guān)系密切。從理論上講，一個(gè)除法算式的結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)表示出來，而且用分?jǐn)?shù)表示的結(jié)果是精確的。如1÷3用分?jǐn)?shù)表示就是，用小數(shù)表示，得到的是一系列近似值：0.3，0.33，0.333，…在這里，任何一個(gè)有限小數(shù)，只能表示近似的結(jié)果，而符號0.333…或0.3就是1÷3的精確值。

從這里可以知道，如果沒有循環(huán)小數(shù)，分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)是不可能有精確的符號表示的。數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生都是有背景的，許多數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)就是創(chuàng)造了必要的概念，進(jìn)而極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。為什么要有循環(huán)小數(shù)的概念？如果沒有循環(huán)小數(shù)的概念作為工具，就無法徹底地實(shí)現(xiàn)從分?jǐn)?shù)到小數(shù)的轉(zhuǎn)化。

小數(shù)的除法都可以轉(zhuǎn)化成整數(shù)的除法，整數(shù)除法的結(jié)果都可以用分?jǐn)?shù)表示。通常分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的方法是用分子除以分母，它的結(jié)果有三種情況：化為有限小數(shù)，化為純循環(huán)小數(shù)，化為混循環(huán)小數(shù)。到底屬于哪一種情況，取決于最簡分?jǐn)?shù)的分母。如果最簡分?jǐn)?shù)的分母不含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)就是有限小數(shù)，原因很簡單，這樣的分?jǐn)?shù)很容易轉(zhuǎn)化為分母是10，100，1000，…的分?jǐn)?shù)。如果最簡單分?jǐn)?shù)的分母只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成純循環(huán)小數(shù)；如果最簡單分?jǐn)?shù)的分母既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成混循環(huán)小數(shù)。

基于以上分析，教學(xué)中給學(xué)生提供計(jì)算的例子，被除數(shù)與除數(shù)可以都是互質(zhì)數(shù)的關(guān)系，也就是用分?jǐn)?shù)表示是最簡分?jǐn)?shù)。算式可以分為四個(gè)層次：一是結(jié)果是純循環(huán)小數(shù)，如1÷3=0.3；二是結(jié)果是混循環(huán)小數(shù)，如5÷6=0.83；三是循環(huán)節(jié)超過兩位，如8÷37=0.216；四是可用于分析推理，如1÷7=0.142857。

二、結(jié)果的解釋與想象

對計(jì)算結(jié)果的解釋與想象，是學(xué)生構(gòu)建循環(huán)小數(shù)理解的重要部分。圍繞“循環(huán)”這個(gè)核心概念，重點(diǎn)解釋商中為什么會不斷出現(xiàn)重復(fù)的數(shù)字，展開對計(jì)算結(jié)果的比較與想象，感悟無限逼近，初步滲透極限的概念。

師：先請大家計(jì)算1÷3。這道題簡單嗎？

生：簡單。

師：重點(diǎn)不是計(jì)算，而是要在計(jì)算過程中思考遇到了什么問題，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律。

（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算。）

師：你們遇到了什么問題？

生：這道題是除不盡的。

生：永遠(yuǎn)也除不完。

師：我收集了兩個(gè)同學(xué)的算式，我們一起討論一下。

師：比較兩個(gè)同學(xué)的計(jì)算過程，它們有什么不同？

生：一個(gè)是除了兩次就停下來了，一個(gè)是除了四次才停下來。

師：為什么除了兩次就停下來，不再繼續(xù)除下去了？

生：因?yàn)槔^續(xù)除下去，商都是一樣的。

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：每一次都商3。

師：你們想到了什么問題？

生：為什么每一次都是商3？

師：好問題！誰來回答？

生：因?yàn)橛鄶?shù)總是1。

生：因?yàn)槊看嗡愕亩际?0除以3。

師：雖然你們的說法不一樣，意思卻是相同的。你們能從不同的角度看問題，非常好！

師：第一個(gè)同學(xué)除了兩次，得到的結(jié)果是0.33，第二個(gè)同學(xué)除了四次，得到的結(jié)果是0.3333。誰做得對？

生：都對。

生：都不對。

師：截然相反的意思，在小組討論一下好不好？

（學(xué)生小組討論。）

師：認(rèn)為對的同學(xué)的意見是什么？

生：除下去商都是重復(fù)的，就沒有必要再除下去了。

生：既然結(jié)果都一樣，多除兩次或少除兩次都沒有關(guān)系的。

師：認(rèn)為都不對的同學(xué)的意見是什么？

生：還可以繼續(xù)除下去呀，沒有除完結(jié)果肯定是不精確的。

師：他的意見你們聽懂了嗎？同意嗎？

師：我們把1÷3得到的不同結(jié)果放在一起比較—0.3，0.33，0.333，0.3333，這四個(gè)答案有什么規(guī)律？哪個(gè)更準(zhǔn)確？

生：小數(shù)部分3的個(gè)數(shù)依次增加。0.3333更準(zhǔn)確。

師：還能說出比0.3333更準(zhǔn)確的結(jié)果嗎？

生：0.3的后面有5個(gè)3。

生：0.3的后面有10000個(gè)3。

生：0.3的后面有無窮多個(gè)3。

師：“無窮”是一個(gè)不太好理解的概念，需要依靠想象。借助0.3，0.33，0.333，0.3333，…，這些有規(guī)律的數(shù)展開想象，你們想到了什么？

生：3的個(gè)數(shù)越多就排在越后面。

師：排在越后面的數(shù)怎么樣？

生：就越準(zhǔn)確。

師：我們直接說到底有幾個(gè)3的時(shí)候是最準(zhǔn)確的，但我們說出了一個(gè)變化的趨勢—3的個(gè)數(shù)越多，就越準(zhǔn)確。這種思考問題的方法是以后要學(xué)習(xí)的非常重要的數(shù)學(xué)方法。

在計(jì)算1÷3的過程中首先遇到的問題是永遠(yuǎn)除不盡，然后是每次都商3。這兩個(gè)問題在本質(zhì)上是一樣的，都是因?yàn)橛鄶?shù)重復(fù)出現(xiàn)。無限是一個(gè)想象中的概念，小學(xué)生要理解無限的概念是比較困難的，通過對數(shù)列的觀察與比較，讓學(xué)生想象“數(shù)列的極限”，感悟有限小數(shù)不能精確表示計(jì)算的結(jié)果，體會數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的必要性。在0.3，0.33，0.333，0.3333，…這個(gè)數(shù)列中，如果n表示3的個(gè)數(shù)，當(dāng)n→∞時(shí)，這個(gè)結(jié)果與除法的準(zhǔn)確值的距離越來越小，在這樣的情況下，直觀的解釋就是它與在數(shù)軸上的距離趨近于0。

三、循環(huán)的符號表示

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號再創(chuàng)造的過程，不僅可以增進(jìn)符號的意義理解，還能分享數(shù)學(xué)符號的智力表示。循環(huán)的符號表示，就是把循環(huán)小數(shù)的周期用循環(huán)節(jié)表示出來，教師教學(xué)時(shí)可以抓住“如何表示計(jì)算結(jié)果？”這個(gè)基本問題，討論模式的識別與記號的規(guī)則。

師：再請大家計(jì)算5÷6、8÷37這兩道題，一邊算一邊思考，除到什么時(shí)候就可以“適可而止”了？

（出示學(xué)生的算式）

師：如果繼續(xù)往下除，結(jié)果會是怎樣的？

生：5÷6的答案是0.8333…，后面還有很多3。

生：8÷37的答案是0.216216216，后面還是216。

師：剛才我們已經(jīng)計(jì)算了3道題，結(jié)果都是除不盡的。以1÷3為例，得數(shù)怎么寫比較好呢？

生1：1÷3=0.333（很多個(gè)3）。

生2：1÷3=0.333（在3的下面加大括號，注明n個(gè)）。

生3：1÷3=0.333…。

生4：1÷3=0.3。

師：現(xiàn)在有四種記錄結(jié)果的方法，你們都看得懂嗎？有什么問題要問的？

生：第四種方法在3上面加一個(gè)點(diǎn)是什么意思？

生：就是這個(gè)3會反復(fù)出現(xiàn)，它的意思跟第三種方法差不多。

師：在3的上面戴個(gè)“小帽子”，表示它會不斷地重復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)想法怎么樣？

生：比較簡潔。

師：這是你的評價(jià)。其余三種表示方法你們怎么看？

生：前面兩種太麻煩了，要寫這么多的字。

師：你們的意思是比較喜歡用第三種或第四種表示方法，對嗎？

生：對。

師：選擇自己喜歡的方法，把5÷6的計(jì)算結(jié)果也表示出來。

生1：5÷6=0.83…

生2：5÷6=0.83。

生3：5÷6=0.83。

師：比較這三種方法，有什么評價(jià)，或有什么問題？

生：第一種方法后面重復(fù)的是什么呢？

師：對呀，是什么呢？重復(fù)的是83還是3？

生：是3。

師：這就說明這樣記錄，沒有把哪些數(shù)字會重復(fù)清晰地表示出來。像上面這樣，用省略號表示除不盡或?qū)懖煌辏荒芮宄乇硎灸男?shù)字重復(fù)出現(xiàn)。

師：比較第二種與第三種方法，有什么評價(jià)？

生：第二種表示方法是錯(cuò)的，因?yàn)橹貜?fù)出現(xiàn)的是3，而不是8和3。第三種方法是對的。

師：在數(shù)字上記一個(gè)小圓點(diǎn)，這個(gè)小圓點(diǎn)在哪個(gè)數(shù)字上，就表示這個(gè)數(shù)字會重復(fù)出現(xiàn)。

師：8÷37的結(jié)果怎么表示呢？

生：8÷37=0.216。

生：8÷37=0.216。

師：如果繼續(xù)往下寫，小數(shù)部分2、1、6這三個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，就是這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)上，我們采用第二種表示方法。寫循環(huán)小數(shù)時(shí)，可以只寫第一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首位與末位數(shù)上面各記一個(gè)圓點(diǎn)。

學(xué)生應(yīng)該自己建立數(shù)學(xué)知識，而不是從教師或課本上接受知識結(jié)論。循環(huán)的符號表示，其核心是意義的聯(lián)系與模式的辨認(rèn)。教學(xué)的關(guān)鍵是把它當(dāng)作一個(gè)再創(chuàng)造的思維過程與成果，而不是一個(gè)記憶與模仿的對象。為了使符號表示獲得意義，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，用自己的方式記錄計(jì)算的結(jié)果，這時(shí)記號代表了個(gè)體的想法。交流個(gè)體的不同想法，通過交流使記號與意義建立聯(lián)系。比較區(qū)分記號的優(yōu)劣，通過比較篩選可以區(qū)分循環(huán)模式的方法，形成統(tǒng)一規(guī)則。這時(shí)，個(gè)體的記號演化為數(shù)學(xué)的符號，它就成為思維的對象，有了交流與共享的功能。

四、周期規(guī)律的運(yùn)用

循環(huán)小數(shù)的練習(xí)，通常都是標(biāo)記符號與取近似值，這些訓(xùn)練可以使技能變得自動化，但并不能培養(yǎng)真正的能力。練習(xí)的目的是加深理解，是應(yīng)用。學(xué)生如果具備真正的能力，就能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識遷移到新的情境中。對知識與技能的有效遷移能力是指在不同情境和問題面前創(chuàng)造性地、靈活地、流暢地應(yīng)用所學(xué)知識的能力。

和有余數(shù)的除法一樣，循環(huán)小數(shù)有周期性的規(guī)律，利用這個(gè)規(guī)律，可以直接推算出關(guān)聯(lián)算式的得數(shù)，使計(jì)算活動更有思考性與創(chuàng)造性。

師：先計(jì)算1÷7，把計(jì)算結(jié)果用循環(huán)小數(shù)表示出來。

生：1÷7=0.142857。

師：仔細(xì)觀察計(jì)算過程，說一說每一步計(jì)算的是幾除以7。

師：根據(jù)計(jì)算過程，你能直接寫出3÷7的結(jié)果嗎？如果寫不出來，也可以自己先算一算3÷7。

（學(xué)生獨(dú)立思考。）

師（指某學(xué)生）：你沒有動手計(jì)算，有結(jié)果了嗎？你是怎么想的？

生：上面計(jì)算的第二步就是3除以7，商4，四七二十八，余2，接下來就按下面的方法計(jì)算了。

師：她說的意思，哪些同學(xué)聽懂了？

生：她是說，從第二步起，把答案照抄下來就可以了。不過我有補(bǔ)充，前面是除到余數(shù)是1的時(shí)候就不用除了，3除以7時(shí)，要出現(xiàn)余數(shù)是3的時(shí)候才能停下來。

師：你的意思是接著往下除，直到余數(shù)是3。我們就在1÷7的豎式中接著往下除，下一步是什么？

生：一七得七，余3，就可以了。

師：哪些同學(xué)能直接報(bào)出3÷7的得數(shù)？

生：0.428571。

師：剛才大部分同學(xué)都列豎式計(jì)算了，你們計(jì)算的結(jié)果與他們推理的結(jié)果一樣嗎？

生：一樣。

師：比較1÷7=0.142857與3÷7=0.428571有什么相同與不同。

生：循環(huán)的數(shù)字是一樣的，都是1、4、2、8、5、7這6個(gè)數(shù)字。

生：打頭和結(jié)尾的數(shù)字不一樣。

生：如果把這些數(shù)字寫在一個(gè)圓上，就是起點(diǎn)不一樣，轉(zhuǎn)一圈后，最終還是回到這個(gè)數(shù)字上。

師：回到1÷7的豎式計(jì)算中，2÷7的結(jié)果可以直接寫出來嗎？

生：2÷7=0.285714。

師：能直接寫出6÷7、5÷7、4÷7、9÷7的結(jié)果嗎？

（學(xué)生獨(dú)立嘗試。）

師：哪些可以直接寫出結(jié)果，哪些不能直接寫出結(jié)果？

生：9÷7不能。

生：可以的，就是2÷7。

師：理由是什么？

生：因?yàn)?÷7=1……2，所以9÷7就是1+2÷7= 1.285714。

師：善于利用新舊知識的聯(lián)系來解決問題，這是數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的表現(xiàn)。

利用1÷7的計(jì)算過程推理3÷7是一項(xiàng)富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)任務(wù)。學(xué)生需要仔細(xì)地觀察與深入地思考，才能洞察計(jì)算過程與當(dāng)前問題的關(guān)聯(lián)，才能知道如何運(yùn)用已有知識去應(yīng)對當(dāng)前面臨的挑戰(zhàn)。讓學(xué)生直接思考真實(shí)的問題，有助于促進(jìn)學(xué)生的理解。教學(xué)時(shí)，教師要提醒學(xué)生仔細(xì)觀察計(jì)算過程，給予學(xué)生充分的思考時(shí)間，而不是匆忙地提示思考的方法。

在除法計(jì)算中，當(dāng)周期性地出現(xiàn)相同的余數(shù)時(shí)，商的小數(shù)部分就會依次不斷重復(fù)出現(xiàn)相同的數(shù)字。如果兩個(gè)數(shù)除以一個(gè)數(shù)，余數(shù)相同，它們的小數(shù)部分的循環(huán)節(jié)就是一樣的。對循環(huán)小數(shù)概念理解，不僅包括概念的意義和記號的規(guī)則，還包括知識之間內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系。

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