指向學生核心素養發展的微專題復習課教學

摘 "要：“二次函數與直角三角形”是初三二輪復習中的重要內容之一，也是“二次函數與幾何圖形”系列微專題的第一節課. 教學中通過開放性問題引入、變式探究推進、聯想構建框架，讓學生在啟發式探究中經歷從直角三角形到銳角三角形、從一個點動到兩個點動的探究過程.構建解決二次函數與幾何圖形類問題的常見模型，可以豐富學生對“二次函數與幾何圖形”的認識，在問題解決過程中發展學生核心素養，使核心素養在復習課教學中落地生根.

關鍵詞：復習教學；情境問題；核心素養

基金項目：江蘇省“十四五”規劃課題“境脈視域下初中數學單元整體教學的實踐研究”（項目編號：C/2003/03/36）.

復習教學一個很重要的任務就是引導學生靈活運用所學知識解決問題，使學生學會審題、找到解題思路、搭建解題框架、構建解題模式，在解題過程中發展學生的數學核心素養. 本文將以初三一節“二次函數與直角三角形”微專題復習課為例，談談如何在復習課教學中發展學生的數學核心素養.

1" 聚焦核心素養，設計復習教學框架

二次函數是學生在初中階段學習的第三種特殊函數，也是高中階段的重要學習內容，是貫穿初、高中階段的重要函數模型.本節課之前已經復習了二次函數的定義、圖象、性質、一元二次方程和不等式的關系，并能用二次函數解決簡單的實際問題.二次函數與圖形相結合類型的問題，因為具有更復雜的情境，對學生的思維能力要求更高.為了提高學生解決此類問題的能力，在二次函數復習中安排了微專題復習課“二次函數與直角三角形”.

1.1" 復習教學目標

（1）通過解決二次函數背景下的直角三角形問題，滲透數形結合、分類討論、化歸轉化等數學思想方法，培養綜合運用知識的能力，發展學生的幾何直觀、推理能力等核心素養.

（2）在圖象法和代數法的探尋比較中，構建解決二次函數背景下圖形類問題的通性通法，掌握解決二次函數與直角三角形有關問題的一般方法，感受解題方法的內部一致性，發展學生推理能力、運算能力、模型觀念等核心素養.

（3）通過引導學生提出問題、解決問題，培養學生的創新精神和探究能力，發展學生數學核心素養.

1.2" 復習教學思路

本節課的主線是讓學生參與提出問題、解決問題的探究性學習過程，經歷“為什么學” “學什么”“怎么學”的一般學習流程.了解“二次函數微專題”要研究的內容、策略，并形成自己的研究框架.在此過程中通過學生集體智慧感知二次函數微專題，搭建二次函數微專題的框架結構，強化對二次函數的認識.在不斷的探究中，逐步提高學生思維能力，發展學生數學核心素養.

2" 圍繞核心素養，設計探究情境與問題

2.1 "創設開放情境，引出課題

如圖1，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A、B兩點，且點A（1，-4）為拋物線的頂點，點B在x軸上.請同學們根據熟悉的情境，設計并提出幾個問題？

圖1

【設計意圖】學生會根據已有經驗，提出各種問題.例如，求直線和拋物線的函數表達式；求交點三角形的面積；求三角形面積的最值等.教師在同學提出“在拋物線上求一點Q，使△QAB為直角三角形”后，順勢引出課題.

本環節中，呈現常見問題情境，以開放型問題引入，引導學生回溯已經研究過的相關題型.在學生不斷提出問題的過程中，帶領全班同學一起梳理已有研究內容，并由學生提出本節課要解決的問題.該開放型問題圍繞幾何直觀核心素養設計，通過不斷地探尋“看什么”“想什么”“還能聯想什么”，進一步強化學生感知二次函數背景中的幾何圖形及其元素，建立形與數的聯系，以提升學生幾何直觀核心素養.

2.2" 鋪設思維臺階，探究問題

問題1" 將“從拋物線上找點”改為“從y軸上找點”，即“Q是y軸上一點，使得△ABQ為直角三角形，怎樣求點Q的坐標.”

【設計意圖】問題1為培養學生邏輯推理核心素養鋪墊好“第一塊磚”.將“從拋物線上找點”弱化為“從y軸上找點”，在共同探究環節降低思維難度，樹立解決問題的信心，更為后續從直角三角形變為銳角三角形做鋪墊.同時，讓幾何元素“直角三角形”更突出，引導學生結合已有的圖形學習經驗分析直角三角形的典型特征，即一個角為直角，學生提出“要考慮分類”.

問題2" 為什么分類？如何分類？

【設計意圖】讓學生在追問中反思分類的依據，明確分類的標準.讓學生在“不得不分”中，進一步體會分類討論的必要性、按角分類的合理性以及“化繁為簡”解題思想，感受數學推理的嚴謹性，養成合乎邏輯的思維習慣并將問題順勢聚焦到討論“以B為直角頂點”的情況.

問題3" 如圖2，若Q是y軸上一點，且∠ABQ為直角，求點Q的坐標.

圖2

學生活動1：獨立思考，講述解題思路.多位同學提出不同思路.有的借助三角函數，用tan∠OBQ=tan∠OMB列式（如圖3）；有的構造三角形相似，由△BQP∽△ABN得邊長對應成比例（如圖4）；有的利用勾股定理，由QB2+BA2=QA2求解（如圖5）.

【設計意圖】本題解決的過程，是直角類問題的模型構建過程.在此過程中請不同方法的同學分享思路，并由教師板書，體會方法的合理性并突出揭示方法背后的本質工具.讓學生逐步意識到解決直角問題中由“邊、角、邊與角”能產生聯想的三個常用幾何工具：勾股定理、三角函數、相似三角形.從而將復雜的綜合性問題與學生已有的學習經驗建立實質性聯系，并建構起解決直角類問題的方法模型.在問題解決的過程中提升學生邏輯推理、數學運算核心素養.

學生活動2：學生自主探求“以A為直角頂點”和“以Q為直角頂點”時點Q的坐標，并由兩位同學上黑板板演且進行交流分享.

【設計意圖】在教師剛剛總結過3種方法后，學生趁熱打鐵地通過將剛剛發現認識的新方法進行實際操練，能鞏固3種方法的策略性經驗，發展數學運算能力，并逐步強化模型意識.在學生交流之后，教師再總結明確三種方法的優劣，突出三種方法的共性，即利用點坐標將斜方向的線段轉化到水平或豎直方向，進而突出平面直角坐標系中解決圖形類問題的重要紐帶“點坐標”.在學生獨立解決問題的過程中培養學生的邏輯推理、數學運算、模型觀念等核心素養.

學生活動3：解決同學提出的動點在拋物線上的相關問題“在拋物線上求一點Q，使△QAB為直角三角形”.留2分鐘討論時間，隨后請小組代表發言.有的學生會基于前兩個活動的經驗，設點Q坐標利用相似求解.有的同學則提出當“以A、B為直角頂點”時，可以直接利用上一問中求出的直線表達式聯立拋物線的函數表達式求解.

【設計意圖】前后呼應，回歸到同學提出的問題，激起學生的學習熱情和挑戰欲，此外，引導學生發現幾何法外的解析法——“借點定線”，運用幾何層面的“對偶原理”將Q看作是符合條件的軌跡交點.在此過程中總結出解決“二次函數背景下直角三角形”問題的常見方法類型，即幾何法與解析法，并比較方法的使用時機.

2.3" 巧設思維挑戰，拓展深度

變式1" 若Q是y軸上一點，且∠BQA為銳角，求點Q的縱坐標范圍.

學生小組討論，并確定代表交流發言.在討論過程中，大部分學生都以∠BQA為直角時的點（0，-1）和點（0，-3）為臨界點，采用畫圖并測量的方式，發現兩點之間的點與B、A相連后得到的是鈍角.進而匯報時，有小組提出猜想：當∠BQA為銳角時點Q的縱坐標應大于-1或小于-3.隨后，有小組提出利用“輔助圓”和用三角形的外角性質解釋該答案（如圖6）.最值得欣喜的是，還有2個小組提出質疑，強調需要注意答案的完備性，要去掉“Q、B、A三點共線的情況”.在“小組討論+全班展示”的過程中合力探求出本題的最終結果.

圖6

變式2" 若Q是y軸上一點，且△BQA為銳角三角形，求點Q的縱坐標范圍.

學生獨立完成，并由代表交流發言.第一位學生提出本題由上一變式變化而來，只要再加上考慮∠QAB、∠QBA為銳角時點Q的縱坐標范圍即可；第二位同學更直接借上一問中所畫圖象說明求解過程.

【設計意圖】本環節問題設計從直角走向銳角，讓學生構建從特殊到一般的轉化劃歸思維方式.依舊從“一個角為銳角”走向“三個角為銳角”，進一步強化分類討論的意識.學生經歷集體討論、獨立思考、互相補充的過程，在利用已有工具解釋銳角范圍過程中，進一步感受并體會直角、銳角、鈍角三者之間的聯系，從而突破本節課的難點，將更一般的銳角三角形的問題轉化劃歸到直角三角形問題，在此過程中，提升學生幾何直觀、推理能力核心素養.

2.4" 改變運動模型，擴展寬度

變式3" 如圖7，記拋物線與y軸交于點C，若Q為線段OB上一動點，過點Q作x軸的垂線，分別交直線BC和拋物線于M、N兩點，求當△CMN為直角三角形時點Q的坐標.

圖7

【設計意圖】鑒于學生對于“點動”情況掌握良好，將問題中的一個“動點”升級為一條“動直線”.看似出現更多的動點，問題更為復雜.給予學生充分時間畫圖分析，學生容易探究發現∠CMN始終等于45°不可能為直角，進而以∠MCN＝90°和∠CNM＝90°進行分類，通過作圖進一步求解，教師適當啟發學生應用已掌握的分類思想、直角模型，在此過程中感受把握問題本質、模型應用價值，進一步提升學生幾何直觀、

推理能力、運算能力核心素養.

2.5" 學生反思小結，提煉深化

提問：本節課我們研究了什么內容？是如何研究的？你有什么體會？你總結出哪些策略或方法？你還能提出哪些問題？

【設計意圖】引導學生對本節課解決問題中所涉及的數學知識、數學思想方法進行反思（特別是數形結合、轉化化歸、分類討論數學思想），并由學生進一步暢想還可以研究的問題.通過不同學生的不斷總結，完善解決二次函數與幾何圖形類問題的一般思路框架，同時進一步消除學生對二次函數問題的畏難情緒，發展學生的模型觀念核心素養.

3" 落實核心素養，全面規劃整個復習教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.”［1］從學生學的立場來說，“解題學習”同樣需要學生親自獨立地進行解題活動，學習數學的思維，在群體活動中有所發現和體驗，體會和運用數學的思想和方法，從而獲得基本活動經驗.在有意義的“問題解決”過程中，逐步提升學生數學核心素養.

3.1" 問題驅動，激發學生學習興趣

問題是數學的心臟，興趣是學習的動力.對于復習課，若老生常談式地從基礎復習到例題講解再到強化訓練，課堂中學生一點興趣都沒有，僅是被動聽講模仿練習.本節課以開放型問題引入，引導學生提出種種問題假設，激發學生學習興趣，極大地調動學生學習的積極性和主動性，學生情緒高漲，積極發言并提出問題，在爭相解決問題的過程中鞏固陳述性知識，形成對二次函數與圖形類問題的整體認識，發展學生的直觀思維能力，培養學生的應用意識和模型觀念等核心素養.

3.2" 變式推進，引導學生自主探究

在從“一個角為直角”到“一個三角形為直角三角形”再到“一個三角形為銳角三角形”，從“y軸上找點”到“拋物線上找點”再到“動直線上找點”.循環推進的過程中，用“變式”鋪設思維的臺階，在對原問題的抽象過程中，不斷推進得到更多“半等價”問題，讓學生在探究中感受“理解題意”的重要性，體會分類討論、化歸轉化、數形結合等重要數學思想，以提升學生運算能力、推理能力、幾何直觀等數學核心素養，使核心素養落地生根.

整個過程中教師的作用在于引導，給予學生自主的解決問題的空間，一節課能推進到哪個變式環節由學生的課堂表現而定，教師以學生為主體做到“順勢而為”，提供多樣化的教學手段，針對問題特點設置獨立解答、合作討論、相互補充等多種形式.讓學生在“拾級而上”的過程中，不斷地將散落的、零碎的知識點串聯成相關的知識鏈，在群體性認知過程中內化知識建構.

3.3" 模型輔助，助力學生構建路徑

此前，在獨立幾何情境中，學生已較好掌握了構造“K型相似”求解邊長類問題的模型，因此在遇到平面直角坐標系中的直角問題時，直接遷移應用此模型能縮減思維長度.［2］但在總結時，教師需要強調知識原型，這便于學生在后續處理變換類問題中進行類比聯想，更進一步發展學生的邏輯思維和形象思維，有助于學生探尋并形成自己的基本解題路徑.

不少教師在總結直角類型的解題模型時，會強調“兩線一圓”，但讓學生理解分類依據，通過畫圖進一步探究分析，能形成圖形認知，并為后續解決銳角三角形的問題提供合理猜想.在群體的探究過程中，自主建構出解決一類問題的“模型”，這樣的探究歷程更能為后續解決二次函數與其他幾何類圖形問題提供可遷移路徑.

3.4" 小組合作，強化基本活動經驗

解題教學中，不能只重視“是否找到方法或得出結果”，更應著眼于學生的參與過程和質量，著眼于解題探究中的體悟和經驗.通過對條件的深度分析、對問題的類比聯想、對解法的嘗試優化、對錯解的剖析重建，學生的抽象能力、幾何直觀、推理能力、運算能力、建模觀念等核心素養得到了提升.學生以小組合作的方式，在親身實踐中突破難點，建立數形聯系，感受分類價值，體會價值歸一.在此過程中所有的知識、技能都成為發展提升學生核心素養的手段和衍生物，提升核心素養才是本節課教學的根本目標.

越來越多的教師在概念建構、命題學習、實際問題等新授課的教學中重視起學生的主導地位.但在解題教學中，尤其是初三復習課中，部分教師因顧慮課時、學生層次等多種因素，將課堂變成“一言堂”，嚴重壓縮學生的思考空間.解題教學中，應把課堂還給學生，讓學生的主要任務從“解題”還原回“思考”，讓學生在解題中經歷猜想、試誤、探究、建構、檢驗、反思的過程，在具體的學習活動中提升學生數學核心素養.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］孫學東.數學需要教“解題模型”嗎［J］.中學數學教學參考，2018（29）：6-9.

［3］喻平.發展學生數學核心素養的教學與評價研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021.

［4］涂榮豹，王光明，寧連華.新編數學教學論［M］.上海：華東師范大學出版社，2006.