2024年九省聯考數學創新性試題賞析

摘" 要：2024年九省聯考數學試卷強化了對思維過程和思維能力的考查，突出了對考生創新能力的考查.本文從知識的交匯新、問題的情境新、試題的設問新、概念的定義新等角度，對這套試題中一些創新性試題做了分析與探究.

關鍵詞：九省聯考；創新性試題；賞析

基金項目：內江師范學院校級項目“基于專業認證理念的數學應用型人才培養模式改革與實踐”（項目編號：GJPY2315）；四川省教育科研資助金項目重點課題（項目編號：SCJG20A049）；四川省高校人文社會科學重點研究基地四川中小學教師專業發展研究中心科研項目（項目編號：PDTR2023-14）；內江師范學院橫向科研項目（項目編號：HXL-23088、HXL-22074）.

2024年九省聯考數學試卷（以下簡稱“試卷”）強化對思維過程和思維能力的考查，特別突出對考生創新能力的考查，出現了一些立意高遠、背景深刻、富含數學素養的創新性試題.高考對創新能力的考查要求創設合理情境，創新設問方式，設置數學新定義.［1］試卷在試題結構、排序、情境、問題、分值、解法等多方面都體現了創新，本文從知識的交匯新、問題的情境新、試題的設問新、概念的定義新等角度，對這套試題中一些創新性試題做了分析與探究.為簡便，以下用Tr表示該試卷第r題.

1" 知識的交匯新

知識的交匯新是指站在學科高度從多個知識點的交匯處進行創新設問，既期望覆蓋比較多的數學知識和思想方法，又意在考查數學知識的綜合性、方法應用的靈活性.

T6：已知Q為直線l：x+2y+1=0上的動點，點P滿足QP=（1，-3），記P的軌跡為E，則（" ）.

A. E是一個半徑為5的圓

B. E是一條與l相交的直線

C. E上的點到l的距離均為5

D. E是兩條平行直線

賞析：該題以向量、軌跡、直線與直線的位置關系、圓以及點到直線的距離公式等多種基礎知識綜合交匯而成，題目設計非常有創意.

由題意可設P（x，y），由QP=（1，-3），則Q（x-1，y+3）.再由Q在直線l：x+2y+1=0上，可得x+2y+6=0，即P的軌跡E為直線且與直線l平行，E上的點到l的距離d=|6-1|12+22=5.故選C.

2" 問題的情境新

問題的情境新是指問題的情境具有新穎性、綜合性和探究性等特點.問題情境分為生活情境和學習情境.這類問題情境新穎的試題意在考查學生的閱讀理解能力、數學建模、數學探究等綜合能力素養.

T11：已知函數f（x）的定義域為R，且f12≠0，若f（x+y）+f（x）f（y）=4xy，則（" ）.

A. f-12=0

B. f12=-2

C. 函數fx-12是偶函數

D. 函數fx+12是減函數

賞析：該題是以抽象函數方程為背景，函數形式對稱優美，解題方法靈活多樣，避開了程式化設計函數方程的老套路.函數方程問題的求解一般采用賦值法，靈活巧妙地“賦值”是解題的關鍵.

令x=0，y=12，則f12+f12f（0）=f12［1+f（0）］=0.又f12≠0，所以f（0）=-1.

對于A選項，令x=12，y=-12，則f（0）+f-12f12=-1，所以f-12f12=0.

又f12≠0，所以f-12=0.故A正確.

對于B選項，取x=-12，y=1，則f12+f-12f（1）=-2.故B正確.

對于C選項，fx-12+f（x）f-12=-2x.即fx-12=-2x，所以fx-12是奇函數.故C錯誤.

對于D選項，fx+12=fx+1-12=-2（x+1）.故是減函數.故選ABD.

T16：盒中有標記數字1，2，3，4的小球各2個，隨機一次取出3個小球.

（1）求取出的3個小球上的數字兩兩不同的概率.

（2）記取出的3個小球上的最小數字為X，求X的分布列及數學期望E（X）.

賞析：該題是以常模中的摸球游戲為背景，題干簡明，情境新穎，本題的情境是有重復元素的組合問題，有意避開了“無重復元素排列組合”的套路.

解：（1）“取出的3個小球上的數字互不相同”的事件記為A，則P（A）=C34·C12·C12·C12C38=47.

（2）由題意X所有可能的取值為1，2，3.

則P（X=1）=C26C12+C16C22C38=914，P（X=2）=C24C12+C14C22C38=27，P（X=3）=C22C12C38+C12C22C38=114.

所以隨機變量X的概率分布如下.

X123

P91427114

故X的數學期望為E（X）=1×914+2×27+3×114=107.

3" 試題的設問新

試題的設問新是指設問方式新穎、簡潔，并富有探究性.設計此類問題，可以激發學生對問題解決的探究欲.

T14：以maxM表示數集M中最大的數，設0lt;alt;blt;clt;1，已知b≥2a或a+b≤1，則max{b-a，c-b，1-c}的最小值為""" .

賞析：該題是一道結合不等式考查一個嶄新的非初等函數的最值問題，是一道考查學生“四能”的優秀創新題目.本題以不等式為問題背景，考查學生是否能夠理解題目給定的數學概念的深層含義，能否多角度把握解題方法和途徑，如果理解了題目給定的數學概念，那么自然而然可以想到利用數軸對題目進行分析.從而理解三個數表示的幾何意義，最后得出取最值時的三個數相等，得出最值，這道題計算量不大，但需要學生對題目本身進行深度思考.

解法1：設T=max{b-a，c-b，1-c}，則有T≥b-a且T≥c-b且T≥1-c.

所以T≥b-a且2T≥1-b，下面根據兩個不等式分兩種情況進行討論.

①b≥2a時，也就是b-2a≥0時，則4T≥2（b-a）+1-b=1+b-2a≥1，解得T≥14，當且僅當b-2a=0，且b-a=14，即a=14，b=12，c=34時符合取等條件.

②a+b≤1時，則5T≥b-a+2（1-b）=2-（a+b）≥1，此時解得T≥15.當且僅當b-a=15，1-b=25，即a=25，b=35，c=45時符合取等條件.

最后綜合①②，所求最小值為15.

解法2：利用“輪換對稱”思想來解決，如圖1所示求解圖中b-a，c-b，1-c的線段的最小值.

圖1

為了簡化問題，設λ1=b-a，λ2=c-b，λ3=1-c，λ0=a.易知λ1，λ2，λ3是輪換對稱的，那么可以假設λ1≥λ2≥λ3，則3λ1≥λ1+λ2+λ3，又因為λ1+λ2+λ3=1-a，所以3λ1≥1-a，因此3λ1≥1-λ0.

①當b≥2a時，即b-a≥a，也就是λ1≥λ0.又3λ1≥1-λ0，則不等式兩端左右相加整理得到4λ1≥1，則λ1≥14.λ1=14時，3λ1≥1-λ0取等時，此時λ0=λ1=λ2=λ3=14.

②當a+b≤1時，即λ0+λ0+λ1≤1，則2λ0≤1-λ1，即1-λ1≥2λ0.又因為3λ1≥1-λ0，則6λ1≥2-2λ0，故1-λ1≥2λ0與6λ1≥2-2λ0兩個不等式，左右兩邊相加消去λ0，得到5λ1≥1，即λ1≥15.λ1=15時，不等式3λ1≥1-λ0取等時，此時λ0=25，λ1=λ2=λ3=15.

綜合①②，所求最小值為15.

4" 概念的定義新

概念的定義新是指題目中給出了一個學生之前沒有學習過的新定義（包括新概念、新符號、新運算、新公式等）作為情境，設計一系列問題，以考查學生的自學能力、對新知識的理解和遷移能力、對新問題的探究和創新能力等學科核心素養.

T19：離散對數在密碼學中有重要的應用.設p是素數，集合X={1，2，…，p-1}，若u，v∈X，m∈N，記uv為uv除以p的余數，um，為um除以p的余數；設a∈X，1，a，a2，，…，ap-a，兩兩不同，若an，=b（n∈{0，1，…，p-2}），則稱n是以a為底b的離散對數，記為n=log（p）ab.

（1）若p=11，a=2，求ap-1，.

（2）對m1，m2∈{0，1，…，p-2}，記m1m2為m1+m2除以p-1的余數（當m1+m2能被p-1整除時，m1m2=0）.證明：log（p）a（bc）=log（p）ablog（p）ac，其中b，c∈X.

（3）已知n=log（p）ab.對x∈X，k∈{1，2，…，p-2}，令y1=ak，，y2=xbk，.證明：x=y2yn（p-2），1.

賞析：該題是以密碼學基本理論和初等數論中的費馬小定理為情境，以“離散對數”的新定義為載體來設問，考查學生指數和對數的運算、數學抽象、數學創新等核心素養.本題涉及的同余的概念是數學文化中的“中國剩余定理”，這是小學所學習過的余數概念的相關知識，讓學生感到既熟悉又陌生.

解：（1）p=11，a=2時，210=1024=93×11+1，所以ap-1=210.=1.

（2）記n=log（p）a（bc），n1=log（p）ab，n2=log（p）ac.

則有m1，m2∈N使得an1=pm1+b，an2=pm2+c，所以an1+n2=p2m1m2+p（m1c+m2b）+bc≡bc（mod p）.

又根據n的定義，an≡bc（mod p）≡bc（mod p），所以an≡an1+n2（mod p）.

因為1，a，a2，，…，ap-2，兩兩不同，并且根據費馬小定理，即當k，r∈N時，有ak（p-1）+r≡ar（mod p）.

而n，n1，n2或n=（n1+n2）+p-1，在兩種情況下都有n=n1n2.

因此log（p）a（bc）=log（p）ablog（p）ac.

（3）因為n=log（p）ab，所以an≡b（mod p）.另一方面，y2yn（p-2），1≡y2yn（p-2），1≡（xbk，）·（ak，）n（p-2）≡（xbk）akn（p-2）≡（xbk）bk（p-2）≡xbk（p-1）≡x（mod p）.

由于x∈X，所以x=y2yn（p-2），1.

評注：本題作為壓軸題，創造性地考查了學生的自組織學習能力［2］、信息提煉和整合能力、知識遷移能力以及創新思維能力等核心素養.［3］

參考文獻

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系說明［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］趙思林，高崢，熊露.數學核心素養的內涵探究［J］.內江師范學院學報，2020，35（6）：12-17.

［3］尤娜，汪洋，趙思林.2022年高考數學全國卷創新型試題賞析［J］.教育科學論壇，2022（35）：16-19.