小學生的“幾何直觀”能力的培養策略

［摘 要］ 幾何直觀教學能讓“數形”有效溝通。在小學數學教學中，教師要加強學生的直觀感知、直觀操作和直觀創造。幾何直觀不是簡單的“數形結合”，而是引導學生“以形解數”“以形助數”。教師要有意識地培育學生的幾何直觀能力，讓學生能借助圖形思考、探究等形成敏銳的觀察力、洞察力。

［關鍵詞］ 小學數學；幾何直觀；培養策略

“幾何直觀”能力是學生的數學核心素養的重要組成。幾何直觀有兩層含義：一是“能通過圖形描述問題”，二是“能根據圖形分析問題”。幾何直觀是一種洞察力，是一種瞬間的直覺推理、直覺靈感［１］。幾何直觀既能用于思路的大膽猜想、猜測，也能用于結果的預測。教師在數學教學中要有意識地培育學生的幾何直觀能力，讓學生能借助圖形形成敏銳的觀察力、洞察力。

一、直觀感知：引導學生用圖形進行表征

幾何直觀能力包括幾何直觀感知力、思維力和想象力。在小學數學學科教學中，教師可以引導學生直接借助圖形來表征問題、表征題意、表征數量關系等，以此發展學生的直觀感知力。

借助圖形進行表征，關鍵是要發展學生的理解能力、感知能力、聯想能力，讓學生學會從圖形的視角來考量問題、思考問題。直觀感知很大程度上是“看”出來的，而不是“做”出來的。幾何直觀是一種直接的判斷，它依賴于學生的“敏感性精神”（帕斯卡爾語）。比如，在教學“求一個數比另一個數多（少）多少的問題”這部分內容時，有的教師喜歡用“移動數”“相差數”等來引導學生思考，卻忽略了學生的年齡、心理特征，導致學生在數學分析的過程中往往被搞得“云里霧里”。為此，筆者在教學中引導學生用圖形來表征數量關系。當學生用線段表示原來的數量大小之后，會積極主動地用線段圖表示移動的數量（包括一個數量增加的數量和另一個數量減少的數量）。通過圖形的表征，學生能發現“兩個數量的相差數”，在多次的圖形表征的過程中自主建構“相差數”與“移動數”的關系。在這里，教師不僅要引導學生建構關系，更要引導學生形成借助圖形進行感知、思考的能力、習慣、品質等。

教師在教學中要積極主動地發展學生“會用圖形說話”“善用圖形說話”“樂用圖形說話”的能力?！坝脠D形說話”不僅是讓學生學會用圖形表征，更是要發展學生的圖形識讀、解讀等能力，“用圖形說話”成為學生幾何直觀素養的重要標識。

學生的直觀感知能力是建立在學生對相關數學知識理解能力的基礎之上，教師要不斷提升學生的直觀感知能力、文字理解能力、圖文溝通能力等，培育學生對文字語言、符號語言和圖形語言的轉譯能力。對于學生來說，幾何直觀不僅是學生數學學習的手段，還是學生數學學習的目的，用圖形描述、用圖形說話、用圖形研討問題等應成為學生數學學習的常態。

二、直觀操作：引導學生用圖形進行探究

幾何直觀能力不僅包括直觀感知力，而且包括直觀操作力、直觀思維力、想象力等。在小學數學學科教學中，教師不僅要引導學生直觀表征，更要引導學生直觀操作。直觀操作不僅包括圖形的操作，而且包括實物的操作、學具的操作等。通過直觀操作，能讓學生抽象、提煉事物的本質屬性。操作不僅能讓學生表征相關的問題，更能讓學生思考、理解相關的問題。一般而言，直觀操作往往以直觀感知、直觀表象等為基礎，通過直觀操作能引發學生的直觀思考、深化學生的直觀探究。

比如教學“分數的初步認識（一）”這一部分內容時，筆者引導學生借助長方形紙、圓形紙、正方形紙等進行操作，讓學生通過“折一折”“涂一涂”等操作來表征“”。在學生操作的過程中，教師要引導學生進行比較，讓學生抽取操作過程中的相同因素。學生發現，在對相同的長方形紙平均分的過程中，每一份的形狀都不相同，但都可以表示“”。同時，盡管平均分的對象不同，有的學生將長方形平均分成2份，有的學生將正方形平均分成2份，還有的學生將圓平均分成2份，每一份的形狀各不相同，但都可以用“”來表示。借助長方形操作的學生，通過比較發現，盡管有時候每一份的形狀、大小完全不相同，卻可以用同一個分數表示，原因就在于整個的長方形被分成了相同的份數、表示相同的份數等。在操作的過程中，學生對每一份的形狀、大小等進行比較，進而抽象、提煉出分數的本質屬性，即“分數只與平均分的份數和表示的份數有關，與每一份的形狀等要素沒有關系”。在直觀性的操作中，學生不僅認識了分數的意義，還認識了分數中的分子、分數線、分母的意義。借助幾何直觀，分數對于學生來說不再是一個符號，更是一種操作性的過程、一種數學化的確證與表征。通過直觀性的操作、觀察、比較，能讓學生對圖形進行幾何直觀的思考、概括、歸納、總結。

幾何通常被稱為學生心智的“磨刀石”。在數學教學中，教師引導學生進行直觀操作就是讓學生借助圖形進行探究，磨礪學生的思維，發掘學生的探究潛力，助推學生的數學發現。華羅庚說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”借助幾何直觀，學生能有效突破思維、認知的桎梏、瓶頸，從而理解數學知識的內在關聯，理解數學知識的本質，助推數學深度學習。

三、直觀創造：引導學生用圖形進行建構

幾何直觀能力不僅要讓學生“以形解數”，更要引導學生“以形表數”。幾何直觀能激發學生的創造性思維，引發學生的創造性想象，助推學生的創造性建構。對于學生來說，幾何直觀不僅是一種方法，也是一種能力和素養。教師要培養、鞏固學生的幾何直觀能力，激發學生進行幾何直觀建構、直觀創造。

德國數學家希爾伯特在《直觀幾何》一書中提出，圖形可以幫助人們發現問題、描述問題、研究問題，可以幫助人們探尋問題解決的思路，可以幫助人們理解、記憶得到的結果［２］。在小學數學學科教學中，教師要引導學生將生活化的文字語言與數學化的符號語言、圖形化的直觀語言等有機結合起來，從而助推學生更好地思考、探究。

比如教學“解決問題的策略——轉化”這一課的相關內容時，學生遇到這樣一個問題：計算+++……一開始，大多數學生想到用“通分”的方法。為此，筆者對算式進行拓展，讓學生感受、體驗如果用“通分”的方法很煩瑣。由此，筆者引導學生思考：用一根線段表示“1”，如何表示各個分數？在此基礎上，學生進行創造性的直觀建構：有的學生用一個長方形表示“1”，有的學生用圓形表示“1”，進而逐步將其他相關的分數表示出來。通過建構性、創造性、多元化的表征，能讓學生生形成幾何直觀思維。比如，有的學生認為，后一個分數都是前一個分數的一半；有的學生認為，隨著計算的分數越來越多，這些分數的和越來越接近“1”，但永遠不等于“1”；有的學生認為，可以用“1”減去最后的一個分數，就得到前面的若干個分數的和；還有的學生通過計算兩個分數相加、三個分數相加、四個分數相加等，發現了結果與最后一個分數的關系等。直觀性的創造能引發學生創造性的思維與想象，幫助學生深刻感悟“轉化”的數學思想。

幾何直觀包含數學學科中的兩大領域——“數”和“形”。教師要通過幾何直觀教學，讓“數形”有效溝通。但幾何直觀不是簡單的“數形結合”，而是引導學生善于“以形解數”“以形助數”，讓學生借助圖形解決有關的代數問題。教學中，教師應當引導學生以圖形思考、用圖形探究、借圖形建構和創造，從而培養學生的幾何直觀能力和幾何直觀素養。教師要架構具體的幾何直觀與抽象性、概括性的數學概念之間的橋梁，引導學生逐步學會用“形”思考、發現、分析、探究、建構問題。教師要引導學生穿梭于圖形直觀與抽象概念之間，不斷培育學生的幾何直觀素養，不斷增強其洞察力，豐富其想象力，發展其表達力，盤活其創造力。

參考文獻：

［１］ 黃曉華. 數形結合：小學數學問題教學的秘鑰［Ｊ］. 福建基礎教育研究，２０１７（１２）：１０１－１０２.

［２］ 楊海榮. 小學數學結構化課程整合的實踐與研究［Ｊ］. 小學數學教師， ２０２１（Ｚ１）：１０－１４.