借助數形結合，實現算理一致性

［摘 要］ 為了借助數形結合，實現算理一致性，文章以“兩位數乘兩位數筆算乘法”一課為例，在教學中設計了三個環節：開門見山，直接探究計算方法；層層追問，體現乘法算理一致性；提問質疑，深化乘法算理和算法。借助數形結合不僅能幫助學生掌握兩位數乘兩位數筆算乘法的算理和算法，還能讓學生感悟轉化思想在乘法計算中的應用。

［關鍵詞］ 算理一致性；筆算乘法；數形結合

學生在學習“兩位數乘兩位數筆算乘法”之前已經接觸了表內乘法、兩位數乘一位數的筆算乘法等內容，已經具有探究乘法算理和算法的經驗，本單元的學習內容是對兩位數乘一位數乘法的知識遷移。課始，教師出示生活情境中的乘法例題，讓學生嘗試解決兩位數乘兩位數筆算乘法；然后，全班學生一起交流筆算乘法的計算方法，并比較不同方法之間的相同點和不同點，體現數形結合思想和算理一致性；最后，全班學生一起提問質疑，解決更多與兩位數乘兩位數筆算乘法相關的問題。

一、開門見山，直接探究計算方法

師：（出示例題：學校要在花壇里擺一些盆花，每行14盆，有12行，一共有多少盆花？）同學們，這節課我們來研究“兩位數乘兩位數筆算乘法”，你們能用不同的方法來探究14×12可以怎么計算嗎？請你們先在點子圖中圈一圈，再列式算一算。

生1：（邊說邊指圖1）我把12分成6和6，先算上面的6個14，算式是6×14=84；再算下面的6個14，算式是6×14=84；最后把上面和下面加起來，算式是84＋84=168。

生2：（邊說邊指圖2）我把12分成2和10，先算上面的2個14，算式是2×14=28；再算下面的10個14，算式10×14=140；最后把這兩部分加起來，算式是28＋140=168。

生3：（邊說邊指圖3）我是用列豎式的方法計算的，先用14乘12個位上的“2”，算式是14×2=28；再用14乘12十位上的“10”，算式是14×10=140；最后把28和140相加，算式是28＋140=168。

生4：（邊說邊指圖4）我把14分成10和4，先算左邊的10個12，算式是10×12=120；再算右邊的4個12，算式是4×12=48；最后把120和48加起來，算式是120＋48=168。

生5：（邊說邊指圖5）我把14分成7和7，先算左邊的7個12，算式是7×12=84；再算右邊的7個12，算式是7×12=84；最后把左邊和右邊兩部分加起來，算式是84＋84=168。

評析：在新課導入和探究環節中，教師去除了過多的干擾因素，直接出示例題讓學生探究兩位數乘兩位數筆算乘法的計算方法。從學生“拆數”的角度看，有的學生把14拆成兩個相同的數，有的學生把14拆成10和4，有的學生把12拆成兩個相同的數，還有的學生把12拆成10和2；從學生探究兩位數乘兩位數筆算乘法的書寫形式看，有的學生用三個算式來表示計算過程，有的學生用列豎式的方式來表示計算過程。

二、層層追問，體現乘法算理一致性

1. 溝通計算方法之間的聯系

師：剛才同學們想到這五種方法來計算兩位數乘兩位數的乘法，我們一起來看這五種計算方法，你們能在點子圖中找到算式中的這些數嗎？（學生在點子圖中分別指出算式中的數）

師：我們通過點子圖得到這些算式的方法，在數學上叫作數形結合。這種數學思想方法幫助我們根據直觀的點子圖寫出抽象的算式，而且圈出來的部分和算式是一一對應的。同學們，我們觀察這五種計算方法，它們有什么共同點？

生1：這五種計算方法都是把一個數拆成10和幾或者兩個相同的數。

生2：這五種計算方法都是把兩位數乘兩位數的乘法轉化為兩位數乘一位數的乘法，再把兩個算式的結果加起來。

師：如果我們把兩位數乘兩位數的乘法看作新問題，把兩位數乘一位數的乘法看作舊知識，就是先把新問題轉化成舊知識，再利用推理的方法解決新問題。

2. 溝通不同乘法的計算方法

師：同學們，轉化的方法在表內乘法、兩位數乘一位數乘法中都有體現，你們找到了嗎？

生3：我們在計算表內乘法的時候，是把表內乘法轉化為幾個相同加數的和來計算。比如5×9，我們就是用加法5＋5＋5＋5＋5＋5＋5＋5＋5=45或者9＋9＋9＋9＋9=45來計算的。

生4：我有補充，我們計算表內乘法的時候可以把要計算的乘法口訣轉化為已經知道的乘法口訣。比如要計算5×9，如果我們知道4×9=36，可以利用“4個9加1個9等于5個9”得到5×9=36＋9=45；如果我們知道3×9=27，可以利用“3個9加2個9等于5個9”得到5×9=27＋2×9=45。

生5：我們在計算兩位數乘一位數的時候，先拆分一個兩位數，然后用表內乘法和整十數乘法來計算。比如14×3，我們可以把14分成10和4，利用表內乘法3×4和整十數乘法10×3來計算。

師：我們在計算乘法的時候，都用到了轉化法。我們把表內乘法轉化為已經學過的相同加數的加法，把兩位數乘一位數的乘法轉化為已經學過的表內乘法和整十數乘法，把兩位數乘兩位數的乘法轉化為兩位數乘一位數的乘法和整十數乘法。如果要計算三位數乘兩位數的乘法，你們會怎么轉化呢？

生6：我們可以把三位數乘兩位數的乘法轉化為三位數乘一位數的乘法和整十數的乘法。

評析：為了幫助學生體會乘法算理的一致性，教師設計了兩個任務：第一個任務是溝通計算方法之間的聯系，先引導學生比較點子圖與算式，滲透數形結合的思想方法；再引導學生比較五種方法之間的聯系，引出轉化思想；第二個任務是溝通不同乘法的計算方法，引導學生用轉化的觀點來看待表內除法、兩位數乘一位數的乘法和三位數乘一位數的乘法等，促使學生在比較中感受算理一致性。

三、提問質疑，深化乘法算理和算法

師：同學們，我們知道了兩位數乘兩位數筆算乘法的計算方法，你們還有什么疑問嗎？四人小組先交流一下。

師：（投影展示學生的問題）剛才老師收集了同學們的一些問題：第一個問題是交換兩個乘數的位置，積是否會變化？第二個問題是加法的計算方法是相同數位相加，乘法的計算方法為什么不能相同數位相乘呢？第三個問題是怎么快速判斷兩位數乘兩位數乘法的積到底是幾位數？同學們，請先在小組里想一想這三個問題，你們能解決這些問題嗎？

生1：我們小組解決了第一個問題，認為交換兩個乘數的位置，積不會變化。比如兩位數乘兩位數23×12=276，交換兩個乘數的位置就是12×23=276，所以它們的積是不變的。

生2：我們小組解決了第二個問題，認為乘法的計算方法是不能用相同數位相乘的。比如兩位數乘兩位數45×19=855，如果是相同數位相乘就是十位乘十位40×10=400，個位乘個位5×9=45，這樣45×19=400＋45=445，計算結果是錯誤的。

生3：我們小組解決了第三個問題，認為可以通過估算快速判斷兩位數乘兩位數乘法的積。比如，65×53肯定是四位數，我們可以把65估計成60，把53估計成50，兩個數都小估后是60×50=3000，所以這個算式的積肯定比3000要大，一定是四位數；28×29的積肯定是三位數，我們可以把28估計成30，把29估計成30，兩個數都大估后是30×30=900，所以這個算式的積肯定比900小，一定是三位數；37×29的積不能判斷，我們可以把37估計成40，把29估計成30，兩個數都大估后是40×30=1200，所以不能判斷這個算式的積是三位數還是四位數。

評析：俗話說：“學貴有疑，小疑則小進，大疑則大進。”這句話告訴人們在學習過程中要不斷反思學習過程和學習結果，從而不斷質疑學習過程并提出新的問題，再尋找新問題的解決方案，促進數學知識的深度學習。本節課中教師巧妙地安排了提問質疑的環節，引導學生圍繞“兩位數乘兩位數筆算乘法”這個主題提出新問題并解決這些問題，幫助學生深刻地理解和掌握筆算乘法。

總之，在運算教學中教師不僅要教學計算方法和算理，還要幫助學生溝通前后相關知識的聯系與區別，促進學生認識到算理一致性。比如，乘法計算都可以利用數形結合思想讓抽象的豎式與直觀的圖示進行一一對應，計算過程都是通過拆分一個數把新問題轉化為舊知識。