量（liàng），量（liáng）也

［摘 要］ 量感的培養有利于提升學生數學的核心素養、空間想象觀念和估計意識。教師在量感教學時要引導學生在深度體驗中形成度量意識，讓學生借助數感、估算等參照來深化對量感的理解，在課后實踐中豐富對量感的認知，在數學推理中掌握度量的策略。

［關鍵詞］ 量感；體驗；參照；實踐；推理；策略

“量感”作為《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）提出的核心素養，引起了廣大數學教育者的關注。新課標指出，量感是指事物的可測量屬性及其大小關系的直觀感知［１］。“量感”中的“量（liàng）”作為名詞，是指數學對象的數學屬性，在教學中教師要先對數學對象進行界定（如線段、周長、面積的含義），再明確度量的數學屬性（如多少、長短、大小、厚薄、粗細、輕重、快慢等），這是定性分析。在教學中教師要創設合理的情境讓學生知道度量的意義，產生統一度量單位的需求，形成度量意識?！傲浚╨iáng）”作為動詞，是指在明確度量對象的數學屬性后進行的度量活動，需要學生在豐富體驗的基礎上建立單位量的清晰表象，再在單位量的疊加中體會度量單位的產生與發展，學會靈活地選取度量單位，借助參照來測量形成度量策略，這是定量研究。“量感”中的“感”是指學生在度量活動中的直觀感受與獲得的體會、經驗，是最終留在學生頭腦中對量感的個性化理解。

量感的培養是一個長期的、在深度體驗下不斷轉化的過程，具有獨特性與抽象性。因此教師要立足學生原有認知，根據不同維度的量感的共性與特性，制定適宜的度量活動來發展學生的量感，促進學生量感從感性到理性再到辨析的提升發展。

一、深度體驗，建立“量”的表象

具身認知理論強調學生通過身體體驗、經驗和實踐來學習，教師要引導學生在真實可感的體驗活動中積累具身經驗，豐富量感的感知，為量感的建立提供生長土壤［２］。學生只有經歷過程，才會理解度量的必要性，從而建立量感。

比如，教學“認識厘米”時，教師可以采用故事導入：“裁縫鋪做衣服，老師傅讓小徒弟剪下4拃長的布，卻短了不少?！边@樣能引發學生思考為什么會有偏差，從而產生統一度量單位的需求。在建立1厘米的表象時，教師引導學生通過觀察1厘米長的小棒，捏在手里談談感受，然后拿走小棒比畫1厘米，閉上眼睛想象1厘米和找找身邊約長1厘米的物體等系列活動，調動學生視覺、觸覺等多感官的深度體驗，在實際的觀察、操作、想象中建立單位量感，形成度量意識。

比如，用1厘米長的小棒測量紙片長度時，教師引導學生擺小棒，在不斷擺出小棒的過程中理解單位的疊加即度量工具（單位）的產生與意義，使學生在擺小棒的過程中先體會這樣擺很麻煩，接著思考擺完的圖形像什么，在完善尺子特征的過程中，體會單位量的疊加，數字標記法的簡潔、直觀（如圖1）。

教學中由于沒有給學生足夠多的小棒，因此大部分學生會遇到測量困難，但仍有小組測量成功，此時教師可順勢追問：“為什么可以用小紙條、小方塊代替小棒來測量？”讓學生明確小紙條、小方塊的寬度都是1厘米，不管用什么材料來擺，都是借助1厘米這個標準量，擺10個1厘米，就是10厘米。然后，教師引導學生將創造的尺子的1厘米與真實直尺的1厘米進行比較，體會直尺是由若干個1厘米（單位量）組成的。度量工具的產生本質上是單位量的疊加，教師讓學生在單位量的疊加中經歷度量工具（尺）的產生與發展，回溯到度量的本源，能使學生建立清晰的單位量感與不同量感。

二、借助參照，深化度量內涵

學生量感的建立離不開標準，即單位量的清晰表象，但實際生活中往往需要不同的度量單位，不同的度量場景需要學生能在頭腦里靈活地選取參考標準［３］。教師要創設具體的情境活動，培養學生借助參照物來度量的意識，這是發展量感的重要組成部分。

1. 借助數感，實現量感的建立

數感是指數與數量、數量關系及其運算結果的直觀感受，是在具體情境中可以抽象化的數字；而量感是在具體情境中具有單位的量。簡單來說，帶上單位的數是量，而抽象的量是數，兩者有所不同但不可分割，可見量感的建立離不開數感的加持（如圖2）。

在教學“認識公頃”一課時，1公頃的大小對于小學生而言較難感知，而且實踐操作難度大。為此，教師在課前帶領學生去操場先比畫出1平方米的場地，再手拉手圍成邊長是10米的正方形，初步感知100平方米的大小。在學習了1公頃是邊長100米的正方形面積即“1公頃=10000平方米”后，教師引導學生思考1公頃里有幾個100平方米，將1公頃與100平方米間的面積關系，轉化為1與100的關系，實現量感到數感的轉化（如圖3）。

學生在體驗中學會利用參照來理解抽象的度量單位，度量單位的具象化是發展學生量感的有力推手，借助100平方米的中間量在抽象中找出具體的數量關系，能使得數與量相融。教師可以布置課后尋找身邊1公頃的實踐活動，學生有了先前的經驗后，自然會想到如果一下子找不出1公頃，可以將1公頃進行轉化。教師要引導學生通過活動來感受1公頃的大小，將抽象的度量單位融入豐富的生活實踐中，在數與量的聯系中將度量單位可視化，加深對量感的理解。

2. 借助估算，深化量感的轉化

課堂練習是衡量課堂學習成果的重要載體，是教學環節中的重要組成部分。教師在量感教學的練習設計中要體現層次性，對量感具象化的內容進行剖析，根據抽象程度的高低設計層層遞進的練習題組，引導學生在辨析中提升估算水平，發展量感。

比如，“毫米和分米”的教學是在學生已經學習了厘米與米的基礎上新學習的長度單位，學生在認識了4個長度單位后，對它們間的關系是否已經有了清晰的認識，教師可以在練習鞏固時設計成題組進行考查。

（1）寫上合適的單位

一支鉛筆的長度約15（ ）；一杯水的高度約1（ ）；一元硬幣的厚度約1（ ）；教室門的高度約2（ ）。

（2）小明家里有一件物品，大約3分米高，你能猜出是什么嗎？

A. 衣柜 B. 臺燈 C. 書桌

（3）有一件物品，比9厘米長，又比2分米短，你猜它是（ ）。

這三道題的設計從正向的由物估長，到逆向的由長想物，在長度單位的變化中提升學生的空間想象能力，發展量感。第一題考查學生對單位的整體把握，難度較低；第二題考查學生是否能建立3分米的清晰表象，此時就可借助水杯高度約1分米，3杯水的高度約3分米作為參考，在衣柜、臺燈、書桌的高度比較中加強對3分米的感知，培養有根據的估計意識；第三題考查學生對長度區間的認識和不同單位間的換算，難度較大。在解題之前，學生先要明確統一單位，把2分米換算為20厘米；然后教師逐步引導學生先比畫9厘米有多長，想象比9厘米長是多長，發散學生的思維；最后，教師拋出“又要比20厘米短”的另一限制條件，聚攏學生的思維，在學生頭腦里留下一條在一定范圍里不斷變長、變短的線，使答案的不確定性和多樣性啟發學生去思考。在教學后教師可以讓學生制作思維導圖或數學小報來梳理各個長度單位間的關系，豐富長度單位與物體間的聯系，加深量感的建立。量感的建立需要學生在已有單位量的基礎上，在靈活選取合適的度量單位的過程中不斷感悟與加深。

三、課后拓展，豐富度量認知

1. 注重課前體驗

好奇心是學生學習的動力，學生帶著好奇與疑問進入課堂，數學課堂才會從教師的單向輸出變成學生的主觀輸入。小學數學學習是立足于學生的生活經驗，原有經驗越豐富，對于抽象數學知識的理解才會越清晰。在教學“千克與克”內容前教師可布置“質量實踐體驗單”（如表1），讓學生體驗由具體的1千克、500克或若干克的實物，到抽象研究質量間的關系，在逐步完成體驗單的過程中，積累與千克、克相關的生活經驗，為后續學習奠定基礎。

2. 關注課后思考

學習金字塔理論表明相較于講授、閱讀等被動學習，實踐探究、合作討論等主動學習在單位時間內的知識保持率更高?！半p減”背景下，教師布置實踐活動作業，替換書面性的重復刷題，既能減輕學生課業負擔，又能提高學習效率。比如學習“千克與克”后，教師把課外作業設計為“質量實踐思考單”（如表2），由加深感知質量的體驗活動與深入探究質量本質的思考活動組成，是直觀感受與抽象研究的有機結合。

數學課堂之外的生活實踐活動不僅能調動學生對數學知識的興趣，還能激發學生對數學知識的探究欲。新課標將除長度之外，人為規定的量都劃入了社會實踐領域，可見量感的形成依賴于豐富的生活實踐。量感的培養不能局限于數學課堂，教師要引導學生學會用數學眼光觀察現實世界，在一次次實踐活動中積累數學活動經驗。教師可以將學生在實踐活動中豐富、精彩的過程性資料通過班級群、學校公眾號等社交平臺進行推送，吸引更多學生參與其中。

四、數學推理，掌握度量策略

學生度量策略的形成與發展，有賴于教學過程中量感推理能力的培養。學生只有親身經歷猜想、推理、實驗、驗證等過程，才能內化數學知識。學生量感的培養既要學習量感的相關知識，還要鍛煉綜合的數學分析與推理能力。

比如，在“平行四邊形的面積”教學時，教師先在方格圖上呈現圖形，讓學生借助觀察、比較、想象、操作學會數格子或轉化（切割、平移）的方法來計算面積；然后，呈現沒有方格紙的平行四邊形，拋出“沒有方格紙，如何求平行四邊形面積”的問題，放手讓學生進行小組合作，經歷“提出猜想—動手操作—類比推理”等一系列活動；最后，歸納總結平行四邊形的面積公式，讓學生實現從感性認識到理性概括的跨越，為圖形面積的學習奠定基礎。

比如，在“三角形的面積”和“梯形的面積”教學時，由于三角形和梯形的面積均可用倍拼法來解答，教師可將獨立的2課時整合為1課時，幫助學生體會數學方法的一致性。在第2課時教師可讓學生了解我國古人的面積計算方法，拓展到面積度量的歷史，幫助學生體會度量方法的發展性。

在第1課時教師可以讓學生先復習上一節課平行四邊形的面積計算公式及其推導方法，然后出示不同的三角形（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）和梯形（直角梯形，等腰梯形，普通梯形），并直接拋出核心問題：“如何得到三角形和梯形的面積計算公式？是否可以借助之前的方法？”選擇直角三角形和直角梯形來研究的學生會通過沿中位線分割再貼補成長方形的方法，而選擇其他圖形的學生會發現再加上一個完全相同的圖形即可拼成平行四邊形。教師要重點引導學生體會倍拼法的合理性與普適性，在經歷“猜想—驗證（轉化）—檢驗”的過程中，學會轉化的推理策略，發展量感。

在第2課時的教學中，教師引導學生先回憶不同圖形（長方形、平行四邊形、三角形、梯形）的面積計算公式及推導過程，并提出核心問題：“除了倍拼法，有沒有其他的面積推導方法？如果只有一個圖形（三角形、梯形），你還能推導它的面積公式嗎？”問題激發了學生的數學思考，他們通過分割或折疊的方法將圖形轉化為其他圖形進行計算。此時，教師可以順勢介紹《九章算術》中的“以盈補缺”的方法來豐富學生的認識，讓學生感受古人的智慧，積累數學活動經驗，培養數學分析與推理的綜合能力（如圖4）。

量感的培育不是一蹴而就的，是學生具身學習下長期的體驗與感悟。教師要引導學生在深度體驗下感受度量的意義與價值，在具體情境中引導學生靈活地選取參照來度量，在生活經驗的改造中豐富、發展量感，在數學推理中掌握度量策略，最終形成量化思維。

參考文獻：

［１］ 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（２０２２版）［M］. 北京：北京師范大學出版社， ２０２２.

［２］ 梁培斌，張先鋒. 量感的內涵、特征、價值與培養策略［Ｊ］. 江蘇教育， ２０２０（６５）：３３－３５，３９

［３］ 高博豪，吳立寶，郭桁. 量感的內涵與特征［Ｊ］. 天津師范大學學報（基礎教育版），２０２２，２３（０５）：７－１２