基于“平均分”思想的“歸一問題”教學(xué)探究

［摘 要］ “歸一問題”一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，小學(xué)生對一些無現(xiàn)實(shí)模型支撐的“歸一問題”感到困惑和難以理解。教師可以基于“平均分”思想引導(dǎo)學(xué)生分析思考，幫助學(xué)生直觀理解和解決此類問題，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中理解解決問題背后的數(shù)學(xué)原理，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果和興趣。

［關(guān)鍵詞］ “平均分”思想；“歸一問題”；等分除法；包含除法

數(shù)學(xué)中的“歸一問題”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，也是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。“歸一問題”要求將一個(gè)整體按照一定的比例或關(guān)系分成若干份，探索每份的數(shù)量或比例。學(xué)習(xí)這類問題，學(xué)生不僅能夠培養(yǎng)比例思維和分?jǐn)?shù)運(yùn)算能力，還能夠提高解決實(shí)際問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。這類問題還涉及不同單位和數(shù)量的轉(zhuǎn)換及比較，且相關(guān)比例內(nèi)容的學(xué)習(xí)在小學(xué)知識結(jié)構(gòu)上相對滯后。學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了比，但是不會通過比例關(guān)系解決問題，導(dǎo)致解決問題的效果不佳。因此，如何讓學(xué)生有效地學(xué)習(xí)“歸一問題”，是數(shù)學(xué)教學(xué)中亟待解決的問題。

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生相對容易理解和掌握具有現(xiàn)實(shí)意義并有實(shí)際模型的“歸一問題”，比如根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”求“速度”，根據(jù)“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”求“單價(jià)”。對于一些無現(xiàn)實(shí)模型支撐的“歸一問題”（如“菜籽榨油”問題），學(xué)生感覺比較抽象，無法分析和解決問題。下面，筆者以“菜籽榨油”問題為例，探討利用“平均分”思想來解決這類問題，幫助學(xué)生更直觀地理解和解決此類“歸一問題”，并在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生理解問題背后的數(shù)學(xué)原理，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果和興趣。

一、教學(xué)引入

1. 問題呈現(xiàn)

如果10千克菜籽可以榨4千克油，求1千克菜籽可以榨油多少千克？榨取1千克油需要菜籽多少千克？

2. 問題分析

學(xué)生初看這個(gè)問題會有點(diǎn)懵，心中充滿疑惑：題目中的菜籽和油都是以“千克”作為數(shù)量單位，它們能不能相除？如果可以相除，那么如何解釋其實(shí)際意義？用誰除以誰呢？因此，如何幫學(xué)生消除疑惑，理解題意，師生共同分析解決問題是教學(xué)的關(guān)鍵。

3. 問題解決

人們在分物的時(shí)候常常要求做到“公平”，在“分”的時(shí)候每個(gè)人要“分”得同樣多，也就是每份分得同樣多，這種分法叫平均分。“平均分”是分物時(shí)所用的一種思想方法。從學(xué)生視角看，“平均分”是有形的，對正處于直觀形象思維階段的小學(xué)生來說，理解“平均分”的難度不大。

首先，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考問題的實(shí)際意義，即將一定數(shù)量（千克數(shù)）的菜籽按照一定對應(yīng)關(guān)系榨出相應(yīng)數(shù)量（千克數(shù)）的油；然后，通過“平均分”思想的引導(dǎo)，將總量分成若干等份，每份量的大小即為所求。教師可以和學(xué)生共同進(jìn)行這樣的分析：如圖1所示，在“1千克菜籽可以榨油多少千克”問題中，“1千克菜籽”占“10千克菜籽”的，就是把“10千克菜籽”平均分成10份，每份量為1千克菜籽。那么“1千克菜籽”可以榨油多少千克呢？那是把“4千克油”也平均分成10份，每份油為4÷10=0.4，所以1千克菜籽可以榨油0.4千克。其中的“4”代表“油的總量4千克”，“10”代表“油的份數(shù)10”。（4÷10并不是兩個(gè)相同單位的量相除）因此，結(jié)果單位和被除數(shù)單位一致。

以此類推，如圖2所示，在“榨取1千克油需要菜籽多少千克”問題中，“1千克油”占“4千克油”的，也就是要把“4千克油”平均分成4份，這樣每份量為1千克油。那么榨取“1千克油”需要多少千克菜籽呢？那肯定是把“10千克菜籽”也平均分成4份，每份菜籽量為10÷4=2.5，所以榨取1千克油需要菜籽2.5千克。其中的“10”代表“菜籽總量10千克”，“4”代表“菜籽份數(shù)4”。這種分析解決問題的方法是基于“平均分”思想（等分除法），緊扣“單一量”，將“歸一”法很清晰地展現(xiàn)出來，學(xué)生容易理解其中的道理，能夠更深層次地體會到前后知識之間的聯(lián)系，即知其然，又知其所以然。

4. 原理分析

“平均分”思想的原理是將一個(gè)整體按照一定的份數(shù)進(jìn)行等分，然后求出每一份的大小，或者已知平均分的每一份的大小求份數(shù)。這種方法的優(yōu)勢是簡單和直觀，不需要進(jìn)行復(fù)雜的換算和運(yùn)算，只需要采用簡單的除法，根據(jù)等分除法或包含除法就可以得到答案。這種方法的局限是需要保證總量、份數(shù)和每份量都是整數(shù)，否則會涉及小數(shù)的除法，會增加難度和誤差。為了說明“平均分”思想的原理，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用“平均分”模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式來輔助說明：“平均分”模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為“每份量=總量÷份數(shù)”或“份數(shù)=總量÷每份量”。教師引導(dǎo)學(xué)生將此模型與“路程=速度×?xí)r間”模型、“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”模型（如圖3）進(jìn)行對比，“平均分”模型實(shí)質(zhì)是這兩種實(shí)際模型的一般化形態(tài)，由此讓學(xué)生更好地理解“平均分”模型的意義。

二、教學(xué)拓展

在解決問題的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行拓展與深化：如果10千克菜籽可以榨4千克油，照這樣計(jì)算，3千克菜籽可以榨油多少千克？榨取5千克油需要菜籽多少千克？

先分析第一個(gè)問題：要求3千克菜籽可以榨油多少千克，可以根據(jù)“平均分”模型求出1千克菜籽榨油=4÷10，那么3千克菜籽榨油=4÷10×3=1.2（千克）；還可以根據(jù)“平均分”模型求出榨取“1千克油”需要菜籽=10÷4，那么3千克菜籽榨油=3÷（10÷4）=1.2（千克），這里要用到“包含除法”。

再分析第二個(gè)問題：要求榨取5千克油需要菜籽多少千克，可以根據(jù)“平均分”模型求出1千克菜籽榨油=4÷10，那么榨取5千克油需要菜籽=5÷（4÷10）=12.5（千克），這里要用到“包含除法”；還可以先根據(jù)“平均分”模型求出榨取“1千克油”需要菜籽=10÷4，那么榨取5千克油需要菜籽=10÷4×5=12.5（千克）。

在以上問題中，菜籽和油的數(shù)量都是整數(shù)，如果數(shù)量是小數(shù)如何用“平均分”模型來理解呢？比如，如果5.2千克菜籽可以榨2.08千克油，求1千克菜籽可以榨油多少千克？按照上述的理解，將“2.08千克油”平均分成5.2份，所以1千克菜籽榨油=2.08÷5.2=0.4（千克）。這時(shí)，學(xué)生有點(diǎn)懵了：平均分成5.2份？這個(gè)怎么理解啊？此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把“菜籽量”和“油量”都擴(kuò)大100倍來進(jìn)行考慮，將原題變成“如果520千克菜籽可以榨208千克油，求1千克菜籽可以榨油多少千克”，這樣根據(jù)“平均分”模型得出1千克菜籽榨油=（2.08×100）÷（5.2×100）=0.4（千克）。教師引導(dǎo)學(xué)生將這個(gè)解答方法與解答“2.08÷5.2”相對照，讓學(xué)生理解被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大100倍后，根據(jù)商不變的規(guī)律，結(jié)果保持不變。

三、教學(xué)反思

“平均分”思想方法和除法的兩種含義（等分除法和包含除法）緊密聯(lián)系，學(xué)生對“平均分”思想方法理解并不困難。因此，教師引導(dǎo)學(xué)生用“平均分”思想來認(rèn)識“單一量”的本質(zhì)，用“平均分”模型來解決“歸一問題”，可以讓學(xué)生回到問題的原點(diǎn)，從本原性上思考這類問題。

在教學(xué)中，教師可以通過實(shí)例演練來鞏固學(xué)生的理解，可以設(shè)計(jì)一些類似的問題讓學(xué)生獨(dú)立思考，讓學(xué)生根據(jù)不同的情況選擇合適的方法來解決。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，思考解決問題的方法是否通用，是否存在更簡便的解決方法。比如，教師可以讓學(xué)生思考“平均分”模型與“路程=速度×?xí)r間”模型、“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”模型的異同及聯(lián)系；可以讓學(xué)生探討一下“菜籽榨油”過程中各數(shù)據(jù)之間究竟存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，為什么會有這樣的關(guān)系；還可以引導(dǎo)學(xué)生理解“教學(xué)拓展”中“照這樣計(jì)算”的含義。這樣可以激發(fā)學(xué)生的思維和創(chuàng)造力，讓他們能夠在不同的情境下靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具去探究數(shù)學(xué)的奧秘。通過這樣的實(shí)踐與反思，學(xué)生可以不斷提高解決問題的能力，并且加深對數(shù)學(xué)原理的理解。

綜上所述，基于“平均分”思想解決“歸一問題”具有很好的效果，它能夠幫助學(xué)生更直觀地理解并解決問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力和應(yīng)用能力，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)比例內(nèi)容作鋪墊；同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和探究習(xí)慣。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視基于“平均分”思想的教學(xué)方法幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，通過不斷地引導(dǎo)學(xué)生思考和實(shí)踐，讓學(xué)生不僅能掌握解決問題的方法，還能深入理解方法背后的原理。