循證教學：讓學生的數學學習真正發生

［摘 要］ “證據”是教師循證教學的重要依托，它能助推教師的教學創新。循證教學是一種基于“證據”的教學，具有科學性、合理性、指向性、高效性等特質，能讓學生的數學學習真正發生、深度發生、持續發生。

［關鍵詞］ 小學數學；循證教學；學習發生

學生的數學學習如何真正發生？學生的數學學習如何深度發生？學生的數學學習如何持續發生？這三個問題是一個必須回答和有現實緊迫感的問題。在提升學生學習力、發展學生核心素養的背景下，這三個問題的意義和價值更加凸顯出來。筆者認為，一切的教學只有基于學生的“最近發展區”才是有效的教學。循證教學是一種基于“證據”的教學，是一種具有科學性、現實性品質的教學。教師只有不斷地發掘、收集、管理、應用“證據”，才能讓學生數學學習走向自然、走向深度、走向高效。“證據”是教師教學的“導航儀”“方向盤”，是學生數學學習的“腳手架”“發動機”，是教學診斷的“聽診器”“溫度計”。實踐證明，基于“證據”的循證教學，能精準定位學生“學的目標”、優化學生“學的方式”、精確點擊“學的反饋”。

一、循證教學：讓學生的數學學習真正發生

學生的數學學習真正發生的一個重要前提是：學生的數學學習是內生的而不是外塑的。換言之，學生的數學學習是一種自主的、自發的、自能的學習過程。基于“證據”的循證教學時，教師要充分發現“證據”、發掘“證據”、收集“證據”等，進而能設計切入學生數學學習“最近發展區”的預案。可以這樣說，教師設計的預案其背后的“證據”越豐富，預案的針對性、實效性就越強，預案也就越能切入學生數學學習的“最近發展區”。為此，教師要舒展自我多種感官，用眼睛去看學生的課堂表現、課后作業；用耳朵去聽學生的課堂發現、課后交流；用頭腦去判別、判定學生的錯誤成因、障礙、困惑等。只有這樣，教師才能獲得關于學生數學學習的第一手的“現場資料”。這些來自學生的直接的現場資料，就是教師教學的最有力、最有效的“證據”。

基于“證據”的數學教學，超越了傳統的經驗性教學，更不是那種主觀臆測性的教學。在循證教學中，“證據”是載體、媒介，“證據”是驅動引擎。“證據”從來源上可以分為學科性“證據”和學情性“證據”；從屬性上可以分為顯性“證據”和隱性“證據”；從特質上可以分為定性“證據”和定量“證據”；從功能上可以分為直接“證據”和間接“證據”。

比如教學“分數的初步認識（一）”這一部分內容時，筆者借助問卷調查法對學生的分數前概念等進行調查。結果發現，學生對分數的認識不是“一張白紙”：有的學生知道“一半”這樣的一個概念，有的學生知道“半個”這樣的概念，還有的學生知道“一半的一半”這樣的概念等。基于這樣的“證據”，筆者在教學中就充分應用學生的“前概念”“前理解”，引導學生自主建構“分數”的概念，從“一半”“半個”等“前概念”引導學生建構“”這個分數，尤其是引導學生建立“一個物體的一半是半個”這樣的一種科學性的分數概念。這樣的分數概念建構能為學生后續學習“一個物體的幾分之幾”以及“許多物體組成的整體的幾分之一”等相關知識奠定堅實基礎。在引導學生借助已有知識經驗、生活經驗建構分數“”之后，筆者引導學生建構“一半的一半”“半個的半個（學生的說法）”所對應的分數“”。這種基于“證據”的數學教學順應了學生的認知經驗、認知傾向、認知風格，讓學生的數學學習自然發生、真正發生。

循證教學要求教師在教學中積極地發掘、收集“證據”。基于“證據”開展的循證教學，讓學生的數學學習成為一個內生性的過程，讓學生的數學學習從傳統的“要我學”轉向“我要學”。學生的學習動機是內生的，學生的學習動力是自發的，學生的學習方式是自主的，學生的學習狀態是自由的。在循證教學中，正如美國教育心理學家奧蘇貝爾所說：“如果將全部的教育心理學歸為一句話，我一言以蔽之，就是要把握學生已經知道了什么，并據此開展教學。”

二、循證教學：讓學生的數學學習深度發生

基于“證據”的循證教學，要讓教師有“證”可依、有“證”必依、用“證”必嚴（嚴格）、違“證”必糾（糾正錯誤等）。這就要求教師在教學中不僅要發掘“證據”、收集“證據”，還要精心篩選、遴選“證據”，豐富、完善“證據”，讓“證據”經得住審視、經得住拷問、經得住衡量。只有“證據”有力、“證據”有效、“證據”科學、“證據”合理，學生的數學學習才能深度發生。

基于“證據”的循證教學，教師要積極尋找感性“證據”、現象“證據”，尋找理性“證據”、本質“證據”，要從“證據”的表層潛入“證據”的內里，從現象“證據”過渡到本質“證據”。只有這樣，“證據”才能成為學生數學學習有力、有效的支撐。

比如教學“平行四邊形的面積”這一部分內容時，筆者借助訪談法了解學生對“平行四邊形的面積”的一些原始性的認識、想法：有的學生認為平行四邊形的面積等于底乘高，有的學生認為平行四邊形的面積等于底乘斜邊，有的學生認為平行四邊形的面積等于底和斜邊的和，有的學生認為平行四邊形的面積等于平行四邊形四條邊的長度和等。筆者還了解學生對平行四邊形的面積推導的一些原始性的認識、想法：有的學生認為可以將平行四邊形放置到方格紙中，用數方格的方法來進行測量；有的學生認為可以將平行四邊形推拉成長方形，借助于長方形的面積來推導平行四邊形的面積；有的學生認為可以將平行四邊形沿著高剪拼成長方形，借助于長方形的面積來推導平行四邊形的面積等。這樣的一些“原始材料”是學生數學原初觀念、思考的呈現，是學生的內隱思維、認知的可視化。這樣的“證據”對于教師的教學設計具有重要的意義和價值，是教師教學設計首先要思考、研究的問題。針對學生可能會出現的諸種關于平行四邊形的面積、平行四邊形的面積推導的猜想，教師應針對性、多樣性地設計出與之相匹配的教學預案。比如，引導學生辨析、比較平行四邊形的周長和平行四邊形的面積；引導學生觀察平行四邊形推拉成長方形的過程，進而讓學生發現平行四邊形推拉成長方形或長方形推拉成平行四邊形時面積發生變化而周長不變的特性；引導學生沿著平行四邊形的高剪開，將平行四邊形分成兩個直角梯形或一個直角三角形和一個直角梯形，然后拼成長方形等。多樣性的教學預案讓教師的教學與學生的學習能“對鉚”，讓教師的教學更具有針對性、實效性，讓學生的數學學習能深度發生。

循證教學是一種“看得見”“摸得著”的教學，是一種“有根有由”“有理有據”的教學。小學數學循證教學不僅要注重學生數學學習的顯性“證據”，更要注重學生數學學習的隱性“證據”；不僅要注重現象“證據”，更要注重本質“證據”；不僅要注重質性“證據”，更要注重量化“證據”等。只有讓“證據”從淺表走向本質，才能讓學生的數學學習深度發生。教師要不斷地豐富“證據”、完善“證據”，讓“證據”會說話、能說話，要充分發揮“證據”的育人功能，彰顯“證據”的育人價值，讓“證據”不僅成為教學的起點、依據、條件，還成為教學的載體、媒介。

三、循證教學：讓學生的數學學習持續發生

循證教學中的“證據”不是一成不變的，而是動態發展生成著的。教師要跟進“證據”、跟蹤“證據”，對“證據”進行應用、評價。只有跟進“證據”，才能讓學生的數學學習持續發生。在小學數學循證教學中，教師要善于將“證據”串接、并聯、混聯起來，從而深化學生的認知、理解。教學中，教師還要及時補充相關“證據”，讓“證據”成為“證據”鏈、“證據”塊、“證據”群，讓“證據”彼此之間相互支撐、相互支持、相互促進、相互映射，讓“證據”形成一種規模效應。循證教學是一種“以終為始”的教學方式，是一種“逆向教學”方式，是一種“追求理解的教學設計”。

“循證”這一術語原本發端于20世紀90年代的醫學領域。當時的“循證醫學”旨在通過系列性技術手段來獲得對病人的最優診斷、臨床決策依據等。因此，將“循證”這一術語、思想和方法引入數學學科教學時，就是要消除教師教學的主觀臆斷、臆測，消除那些偽化教學、虛化教學等，讓教學更具有科學性、合理性、持久性的品質、品性。在循證教學中，好的“證據”不僅能讓教師把握學生的認知水平，還能對學生數學學習形成有效預測。比如教學“三角形的高”這一部分內容時，通過對以往學生數學學習問題、障礙、困惑的記載，筆者發現學生容易畫出銳角三角形的高，而對于鈍角三角形的高尤其是在三角形外部的高，學生不容易理解。

基于此，筆者在教學中將“高”的內涵、定義作為教學的重點，引導學生將“垂直”概念作為教學的先行組織者，讓學生過一點作已知直線的垂線。此外，筆者引出多種變式，讓學生過一點畫不同方向直線的垂線，讓學生從直線外不同方向的點向直線引垂線等。這樣的先行組織為學生學習“三角形的高”等相關知識奠定了堅實的基礎。學生在畫三角形高的過程中，能夠深刻認識到三角形的底和高的對應關系，認識到每一個三角形都有三條與之相對應的高等。“三角形的高”的循證教學能為學生后續學習“平行四邊形的高”“梯形的高”等相關知識等奠定堅實基礎。可以這樣說，從“垂直”中的“點到直線的距離”“直線與直線之間的距離”到“畫高”中的“三角形的高”（點到直線的距離）與“平行四邊形的高”“梯形的高”（兩條直線之間的距離）等，學生的數學學習是持續發生的。持續發生的數學學習不僅能讓學生把握“畫三角形的高”和“畫平行四邊形的高”“畫梯形的高”的區別，還能讓學生認識“垂直”“距離”“高”等相關概念的一致性。循證教學讓教師的教學決策更優化，讓學生的數學思維、認知顯性化，讓學生的數學學習持續發生。

小學數學循證教學以“證據”診斷結果等為依據，改變了教師教學的機械性、盲目性狀態。循證教學開辟了學生數學學習更多的、更大的可能，賦予了學生充分的自主性、自能性學習的時空，讓學生的數學學習走向了深刻、深度。高質量的數學課堂教學需要教師的循證思維，需要依靠教師的循證認知。唯有如此，數學循證教學才具有科學性、合理性，才具有指向性、高效性。

循證教學要求教師在教學中不斷收集、整理“證據”，不斷豐富、完善“證據”，不斷補充、拓展“證據”；要求教師精準聚焦“證據”，有效跟蹤“證據”，靈活應用“證據”。“證據”是教師循證教學的重要依托，它能助推教師的教學創新。教師要在循證教學中牢固樹立實證性的思維，形成循證性的認知。實踐證明，循證教學能助推學生的數學學習真正發生，也能助推學生的數學學習深度發生、持續發生。