深度體驗，發展幾何素養

［摘 要］ 文章以“尺規作圖”教學為例，分析幾何作圖意義及幾何作圖教學的策略，發展學生的幾何素養。

［關鍵詞］ 尺規作圖；幾何體驗；空間觀念

一、緣起

圖形與幾何是小學數學的重要內容，學習圖形與幾何是學生發展幾何直觀和空間觀念的重要路徑［１］。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標》）將空間觀念和幾何直觀作為學生數學核心素養的重要組成部分，并強調其重要的價值。可見，讓學生形成良好的空間觀念是圖形與幾何教學的重要目標。

在日常教學中，幾何的抽象性以及操作的復雜性，使其成為教師難教、學生難學的教學內容。在數學課堂中，部分教師缺乏從高觀點、高視野的角度培養學生空間觀念的能力，開展幾何教學時追求形式化結果；過于重視幾何計算教學，忽視了幾何概念的抽象性，導致學生無法在頭腦中建立圖形與幾何的知識結構表象。比如五年級學生仍然將周長和面積概念混淆，在運用圖形轉化時對表面積和體積的知識構建無法形成表象等。可見，“泛泛而學”沒有給學生的空間感增量，反而窄化了學生空間觀念的發展路徑。

那么，如何解決以上的問題呢？筆者認為，作圖作為一種簡單易行的直觀手段，對發展學生空間觀念的作用不言而喻。

二、作圖為空間觀念的發展建構橋梁

學生的空間觀念不是憑空產生的，要借助觀察和操作來培養。曹培英在《跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究》中提出：應該在小學階段通過探索性畫圖活動，讓學生積累感性認識，進而在發展學生空間觀念的同時，切實改善、強化中小學數學教學的銜接［２］。

1. 操作與想象的嫁接，會用數學的眼光觀察現實世界

作圖是“做中學、創中學”的學習活動，學生利用作圖工具，通過動手操作研究、驗證、思考數學的本質，能將抽象的、符號化的數學知識轉化成具體的操作。整個活動過程是理論與實踐的有機結合，是直觀操作與抽象想法有效結合，操作是“腳手架”，通過“腳手架”能把深奧的幾何問題變得可視化、簡單化和現實化。

2. 猜想與推理的合一，會用數學的思維思考現實世界

學生在作圖時，先要確定作圖對象和進行初步的構思，然后對作圖步驟進行推敲和有條理地表現作圖的過程，最后思考結論是否合理。在作圖中學生經歷“動手操作→積極想象→分析推理→驗證知識”的構建過程，從“眼見為實”的具象操作到直觀想象，再到有理有據的推理思考，對幾何本質進行更有深度的體驗，對幾何的理解更加深刻、全面，自身的推理意識也在作圖過程中逐步形成。

3. 圖形與語言的轉化，會用數學的語言描述現實世界

在尺規作圖中，學生在理解、完成了幾何語言、作圖語言和符號語言的轉化后，如何描述和交流是重點過程，它是學生幾何知識建構的重要環節。在描述和交流的過程中，學生能夠更加直觀地感知幾何概念，這既有助于進一步思考幾何的本源問題，也有助于在相互探討中一起探究、發現數學結論，達到學會用數學的思維思考問題的目的。

三、作圖的教學策略

史寧中教授指出：作圖教學，要教想法，要教想象力，而非作圖技巧。因此，教師要引導學生經歷積累操作經驗的過程，在幾何學習中進行深度體驗。

1. 本質解讀，以明確性方向創造作圖空間

教學中教師對幾何教學的認識，對學生發展空間觀念和幾何直觀形成有直接影響，個人教學理念的更新程度也會影響學生學習的效果。其中，教師對幾何教學理解淺表化是造成幾何教學流于形式的根本原因。比如，部分教師用“教師操作，學生觀察”替代“學生操作”，并認為這“無關緊要”［３］。教師這樣的認識直接剝奪了學生動手操作的權利，學生學到的只是表象，“知其然卻不知其所以然”，即使會操作也只是暫時的記憶，沒過幾天就會忘記。因此，教師對教材進行本質解讀，顯得尤為重要。

（1）完善幾何教學理念，提升教學專業素養

教師要對圖形與幾何的內容進行充分的研究，認識內容的價值和意義。教師可以通過閱讀新課標，感悟新課標對圖形與幾何的高度重視，可以通過參加幾何主題的教學研討活動來開闊自己的視野，可以通過觀看其他優秀教師的教學課堂或者實錄借鑒優秀的做法。更重要的是，教師要在長期的圖形與幾何教學中不斷進行反思，在教學經驗的積淀中突破對圖形與幾何教學的認識障礙。

比如，在教學“用尺規畫等長線段”時，筆者感悟到直觀操作的重要性，為學生認識圓規設計了實踐教學。

師：自己來玩一玩圓規，試著在本子上畫一畫。

學生進行操作，初“玩”圓規。

師：第一次用圓規，你們有什么感受呢？

生1：我感覺圓規好神奇，跟尺子不同，可以畫出曲線來。

生2：與其他作圖工具相比，我認為圓規的構造比較特別、復雜，每個部件都是有用處的。

生3：我用來畫了彎彎的線，還畫出了很多大小不一樣的圓形。

生4：我看別人畫的時候很方便，一轉就可以，但是我自己有點難轉動，跟我想的很不一樣。

學生第一次拿到圓規后對圓規的興趣超出了筆者的想象，他們拿起圓規在紙上一遍遍嘗試，直到畫出圓。通過學生的反饋來看，筆者深刻認識到動手操作是學生學習幾何時不可替代的內容。教師只有完善這一理念，才能在此基礎上掌握幾何教學的本質，挖掘幾何教學的多維價值，保證幾何概念教學的正確方向。

（2）多維度設定教學目標，促進多元發展

幾何的深度體驗強調學生要充分感受幾何學習的深度、廣度和知識的關聯度。在教學目標設定時，教師要從多重視角出發，深挖幾何的學習價值，深層促進學生多元發展。幾何的深度體驗對學生的學習層次的豐富性提出了要求，幾何作圖教學不能只關注知識技能，要超越符號表征記憶與理解的淺表化教學層面，教師在關注學生知識學習的同時要關注情感、技能、數學思考等多元發展。

比如在教學尺規作圖“探索三角形的三邊關系”一課時，筆者設計了教學目標：通過用尺規作三角形，體會“兩短邊之和大于第三邊能作出三角形”及其道理，感悟給定三邊三角形的形狀和大小的唯一性；經歷想象、操作、驗證、反思、說理等過程，發展幾何直觀和推理意識；在尺規作圖的過程中，感受尺規作圖的價值。

以上目標，可以看出通過對三角形三邊關系的探索，學生進入了構思與想象、操作與驗證、推理與表達、反思與調整的幾何世界，知道“兩短邊之和大于第三邊能作出三角形”并不是唯一重點。在設定目標時，學生一定要有操作、有體會、有想象、有發現、有推理、有語言。

2. 深度體驗，以高階性思維探尋作圖空間

幾何作圖的學習必須經歷具體到抽象的過程，這一過程的深度體驗有助于學生直觀形象地理解抽象復雜的幾何思維，有助于學生以高階性思維探尋作圖空間，促進幾何直觀的形成。

（1）借助直觀操作，支撐學生概念抽象

小學生的形象思維占主體地位，需要通過操作活動積累經驗，形成獨特的感受。學生經歷從形象到半具象、再到抽象的過程，從而形成概念。動手操作在學生形成抽象的數學概念過程中有支撐作用［４］。

在教學“對于探索三角形的三邊關系”時，教師一般利用小棒進行操作觀察，但小棒易產生誤差，固定的小棒長度限制了學生自主探索的思維，導致學生缺乏對三角形關系本質的感悟。因此，筆者設計了直觀操作活動：如圖1，判斷線段c中的哪一條線段可以與線段a和線段b圍城一個三角形？要求作圖操作，并保留作圖痕跡。

把尺規作為操作工具，學生可以通過畫弧構建符合給定長度的運動軌跡，觀察弧是否有相交點及相交點的位置來判斷是否能夠圍成三角形（如圖2）。

在此過程中，學生經歷了想象、嘗試、分析、思考、驗證等思維過程，作圖痕跡是其思維的直觀體現。這樣的過程充滿著數學魅力，激發了學生探索知識的興趣，鍛煉了學生的動手操作能力和想象力。在運用尺規助力探索的過程中，不同層次和水平的學生都得到了不同的發展。

（2）有效利用過程資源，促進學生深度思考

當前，教師在幾何作圖教學中普遍存在的問題是忽視課堂教學中學生的生成性資源。特別是在作圖時，部分教師急于進行方法講授，很大程度上降低了思維難度，減少了給學生思考的時間和空間。因此，教師要有效利用過程資源，引導學生基于課堂中的生成性資源開展深入思考，在此基礎上實現深度學習。

比如，在“給定三邊作三角形”中，學生在不斷的嘗試中暴露了困惑——想湊上第三個頂點很困難。筆者聚焦這個困難，并利用這一資源推動和深化學生的學習，讓學生學會從兩條線段“湊不上”到一次次調整后“湊上”，再到通過畫弧線找交點的方法來確定頂點，體現了圓規畫弧的價值，并因為作圖中的困難引發了學生思考“為什么兩條弧的交點就是三角形的第三個頂點”。

學生在尺規作圖中不僅需要會操作，更需要會思考，要不斷想象、思考、操作、反思，激發思考的動力和探索的欲望，從而豐盈深度思考的空間。

3. 優化評價，以過程性體驗發展空間思維

新課標提出：“評價不僅要關注學生數學學習結果，還要關注學生數學學習過程……采用多元的評價主體和多樣的評價方式，鼓勵學生自我監控學習的過程和結果。”［５］特別是對于圖形與幾何的學習，學生的過程性體驗尤為重要。

（1）設置過程評價標準，提升學生學習效能感

學生在情感方面得到滿足才能構建起核心素養。因此，教師在幾何教學中不能只靠學習結果來開展教學，要注重學生在學習過程中的學習體驗，從而促進學生自我效能感的提升。教師可以通過評價對學生進行引導，比如評價學生的學習態度、學習習慣、學習思維等。

比如，在“尺規作圖”的教學中，教師對學生的課堂評價不能只是作圖正確是否，還要從是否細心等態度和習慣方面進行評價，并評價學生的作圖先后順序、作圖技巧等內容（如表1）。此外，教師在課堂中要對不同的學生做出具體的評價，這樣不同層次的學生才能意識到自己的不足之處，才能提高學習質量。

尺規作圖的教學不單是技能的習得，教師要鼓勵學生嘗試、探索和反思，讓學生會想象、會思考、會操作、會表達，并引導他們在全方位參與學習活動的基礎上開展深層次的探究與學習活動，獲得豐富的學習感悟與情感體驗，從而在一節課之中真正有所得、有所悟、有所生成和發展。

（2）完成多元評價，營造良好學習氛圍

教師在幾何教學中及時有效的課堂評價是促進小學數學幾何概念深度教學的重要途徑。師生“兩位一體”共同參與的評價方式改變了以前教師主體評價的單一模式，呈現為教師評價、生生互評、自我評價、小組評價、全班評價等多種形式、多元主體的交互評價。對學生來說，學生在自評和互評的過程中收獲的不僅是知識，更是一種課堂主人翁的歸屬感。

比如，在尺規作圖中“三角形的三邊關系”教學中，教師可以組織學生分小組學習、討論，將師評和生評有效結合。在小組之間進行評價的環節，教師可以引導學生在展示學習成果的基礎上，結合自身在操作活動中獲得的經驗對操作活動的過程與結果展開多方面的評價。全部匯報結束以后教師對所有小組進行總結，并引入師評。在這個過程中，學生和教師的評價是共存的，提高了課堂效率，促進了學生的自主探究學習，促進了學生核心素養的發展。

在尺規作圖教學中，教師要發展學生動手操作能力、想象力和推理意識，要充分利用直觀操作把學生隱性的思維通過顯性的表征表現出來，從而發展學生的幾何素養。

參考文獻：

［１］ 陶家友. 關聯調用核心知識 理性構建基本圖形——一道尺規作圖題的解法探究賞析及教學價值導向［Ｊ］． 數學通報，２０２２，６１（０３）：４１－４６．

［２］ 曹培英. 跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究［Ｍ］. 上海：上海教育出版社，２０１７.

［３］ 金楊建，范秋彤．第１４講尺規作圖［Ｊ］． 中學數學教學參考，２０２２（０８）：２４－２８.

［４］ 方運加. 數學教學基本功——畫幾何直觀圖［Ｊ］. 中小學數學（小學版），２０２０（０５）：５－７.

［５］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（２０２２年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，２０２２.