結構化教學數量關系，助力高段學生有效解決問題

［摘 要］ 數學解決問題離不開數量關系的探索、分析和應用。研究者從學科本質和學生學習需要的角度分析和統整數量關系主題的相關內容，進行有關聯的、結構化的教學實踐，避免學生孤立、碎片化地學習知識和方法，以實現學生知識與方法的遷移，形成與發展學生的核心素養。

［關鍵詞］ 數量關系；結構化；核心素養

數量關系是提高學生發現和提出問題、分析和解決問題能力以及培養模型意識和應用意識的重要載體。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）將“數與代數”領域的內容整合為“數與運算”“數量關系”兩個主題，第一次明確提出數量關系主題教學，并特別提出要設計體現結構化特征的課程內容。新課標在內容組織上呈現明顯的結構化特點，學科一致性也得到體現，要求教師對“數量關系”內容進行整體建構和進行結構化教學，幫助學生完善認知體系，發展學生思維能力和核心素養。

一、高段學生對“數量關系”理解情況調查

為了了解高段學生對“數量關系”的認識和理解，筆者對本校六年級50名學生進行了學情調查，調查情況見表1。

通過以上調查，筆者發現學生在“數量關系”的學習上存在一些問題。

1. 數量關系理解片面化

原有教材除了在四年級“常見數量關系”教學中和五年級方程教學中明確提出“數量關系”，其他時候只是在個別習題中提出過。部分教師和學生以為只有某幾e977b5d38da7fcc795e276f1067f334b類例題（如天平、方程、正反比例等）才存在數量關系，將數量關系作為一種特殊題型的專題訓練，缺乏在一般問題中分析數量關系的習慣。

2. 數量關系學習碎片化

學生的思維仍處于算術思維或不穩定的代數思維階段。解決不同問題時，學生喜歡將問題中的未知數作為數量關系式的結果，比如求速度時使用數量關系式“路程÷時間=速度”，求時間時使用數量關系式“路程÷速度=時間”等。這種“程序性知識點”加重了學生的學習負擔，說明他們缺乏結構性的數量關系表達和分析能力。

3. 數量關系應用淺顯化

高段問題包含較為復雜的數量關系，需要學生綜合運用所學的知識和方法，特別是運用數量關系模型及其拓展模型去分析和解決。大部分學生在解決復雜問題時雖然能找到相應的數量關系，但是不會用合適的方式表達，如文字、畫圖、表格、關系式、字母式等，缺乏深入的應用和拓展能力，這是他們學習的難點。

二、建構數量關系體系，提升解決問題的能力

在數量關系主題內容教學時，教師要將其作為一個整體來理解，以模型作為數量關系的核心概念，以建立各學段不同內容之間的聯系。

1. 知識系統化，構建數量關系整體認知

吳正憲在《“數與運算”內容結構化問題分析與教學實踐》中提出以“數量關系”為核心的問題解決可以分為三個階段：運算意義、建立模型、用字母表示關系或規律。

要實現知識系統化，教師既要對教材知識體系進行梳理，還要發現并揭示其內在的邏輯與關聯。比如，第一學段，學生需要在理解加、減、乘、除四則運算意義的基礎上，經歷看圖、分與合、畫一畫、擺一擺或說一說的過程，初步感悟數量關系。此時，教學的要點不是要求學生寫出相應的“數量關系式”，而是要體驗和感受分量與總量之間的關系；第二學段，學生在理解四則運算意義的基礎上建立模型和解決問題，感悟速度、單價是用兩個量之間的倍數關系來描述事物的屬性，加法模型和乘法模型是解決問題的常用數學模型；第三學段，教學的重點是數量關系模型的拓展應用，重點是學生對數量關系的分析與判斷。教師可以把數量關系的結構與運算本身的結構相整合，進而厘清數量關系的主體脈絡（如圖1）。

隨著數的認識擴展到小數、分數，則兩個量的非整數倍就可以用小數、分數（百分數）或比來表示（如圖2）。

這樣的內容結構體系雖然無法全面覆蓋所有小學的數量關系（如正、反比例關系以及兩積之和關系等），但是知識結構化有助于教師更關注知識層面上的全景建構，讓學生充分感受和體驗“數量關系”的意義，把握知識結構、方法結構，提升數學素養。

2. 教學結構化，培養數量關系分析意識

學生解決問題時經常直接列式計算，缺乏分析數量關系的過程，導致求解復雜問題時錯誤百出。比如，數量關系“多與少”的學習，對于問題“小明有15個蘋果，比小紅少3個，小紅有幾個蘋果”，學生錯誤率經常過半。這些“已知比較量，求標準量”的逆運算模型是學生學習的薄弱點，產生了“單位‘1’已知就用乘法算式，單位‘1’未知就用除法算式”這樣不科學的思維模式。

學生在列式解決問題前一定要養成數量關系分析的過程，如圖3。為培養數量關系分析意識，教師要引導學生進行訓練。

（1）無問題式的數學信息加工訓練

教師出示沒有問題的數學信息，讓學生關注信息加工過程。比如，“小明比小紅多3個”→誰是標準量、誰多→畫線段圖（建議先畫標準量，再畫比較量）→列數量關系式：小紅蘋果數+3=小明蘋果數。

比如，學生在學習分數問題時呈現的思維路徑：“小明蘋果數比小紅蘋果數多”→誰是單位“1”，把什么平均分成4份，另一個量是幾份→畫線段圖（建議：先畫單位“1”）→列數量關系式：小紅蘋果數×（1+）=小明蘋果數。

（2）靈活運用加法模型和乘法模型

四則運算的意義是分析數量關系的基礎，減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，但是學生的順向思維多于逆向思維。為遵循學生的思維特點，在教學解決問題時教師可以把信息中的“數量關系”統一用加法和乘法模型表示出來，降低學生從具體情境中發現數量關系的難度，讓學生利用四則運算的意義來思考解法。比如學情測試的分數問題可以用同一條數量關系式來統整，再利用四則運算的意義找出解法，如圖4。

在統一的數量關系模型之下，為這些不同方法之間建立一座橋梁，讓學生可以在更高層次的視角下關注問題中的數量關系，建構解決問題的一般模型，開放性地發展算術思維和代數思維。當然，這種結構性的方法適合復習教學或六年級教學，避免學生因未學習四則運算和方程的意義而混淆這些不同的思路。

（3）模型的拓展應用

數量關系不僅包括問題解決中的關系，也包括探索規律中的關系。數量關系不僅要找關系，還要能用含有符號的式子表達關系。這是新課標增加的內容，實際上是對數量關系的符號表達，是數學的跨領域應用和內部發展的關鍵。但多數情況下學生不習慣用字母式，只能粗略地表達變化規律。這需要教師在日常教學中因材施教，讓學生適時進行拓展學習，體會數學符號化表示的優勢。

比如，在三角形找規律的練習中，教師可以適時追問若是四邊形會怎樣？在學生能夠迅速解決問題且興趣正濃時，教師追問五邊形、六邊形、七邊形……n邊形情況下小棒數量和圖形數量之間的關系，讓學生發現用字母式比用語言、文字或圖畫表示的規律更加簡潔清晰：x個n邊形的小棒數量=（n-1）x+1。學生經歷這一研究過程后，能快速求解“已知小棒數量，求能拼成幾個n邊形”的問題。

在日常教學中，教師可以根據學情適時地用字母式來開展教學。比如，在圓柱體積教學中，讓學生利用字母式清晰表示變化情況并預測結果：圓柱的底面半徑擴大2倍，體積會如何變化？V=πr2h和V=π（2r）2h。以此讓學生充分經歷字母式建構過程，習慣用字母式表示并解決問題，感受字母式的優勢，培養符號意識與推理意識。

3. 評價一致化，提升數量關系應用能力

在解決問題的評價中，教師大多對列式計算進行結果性導向評價，很少對數量關系分析進行過程性評價，導致高段學生對數量關系的應用不充分。在結構化教學過程中，教師要通過評價來關注落實情況，讓學生養成分析數量關系的習慣。

（1）評價層次量表

筆者根據教學內容設計了數量關系理解程度的評價層次量表，如表2。

（2）“說”出數量關系

“算”具有明顯的結果導向，“說”更側重于過程導向。教師可以從“說”的角度來評價學生的學習，讓學生上臺說題，利用視頻記錄和教師點評的方式讓學生學習進步。

（3）“寫”出數量關系。

評價數量關系學習情況的題型可以多樣化，如畫圖、連線、選擇等形式（如表3），以此讓學生對數量關系不陌生。

三、回顧與反思

總之，在數量關系主題的教學中，教師要引導學生立足真實問題情境，經歷發現和提出問題、分析和解決問題的過程，用數和符號來表達實際情境中的數量關系，并建立恰當的數學模型，實現從四則運算意義的理解到模型建立，以及解決問題從個別化到一般化，從而促進學生核心素養的發展。