例談基于核心素養的教材習題教學

摘 要：本文從人教A版教材中的圓錐曲線習題出發，通過改變題目條件，引導學生深入思考，得到該習題的一般形式和本質，并將習題加以應用和延伸.教師應重視對教材習題的教學，重視學生對問題的思考過程，這對提升學生的核心素養有較大的幫助.

關鍵詞：核心素養；深入思考；拓展延伸

人教A版《普通高中教科書數學必修第一冊》“主編寄語”中指出：“重視嚴格的數學訓練，獨立完成作業.本套書中的習題是精心挑選的，看似不難，但寓意深刻，要高度重視.”［1］但是，有些習題并不被教師和學生重視，往往是“淺嘗輒止”.筆者以《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊》中第三章《圓錐曲線方程》第116頁習題3.1“綜合運用”第11題為例，在課堂教學中嘗試引導學生深入思考，逐步提升學生的核心素養.

1 習題呈現

如圖1，矩形ABCD中，｜AB｜=2a，｜BC｜=2b（a＞b＞0）.E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，R′，S′，T′是線段CF的四等分點.證明直線ER與GR′、ES與GS′、ET與GT′的交點L，M，N都在橢圓x2a2＋y2b2=1（a＞b＞0）上.

2 習題的變式

2.1 一般到特殊，將“矩形”變化為“正方形”

思考1：矩形的特殊形式是正方形，橢圓的特殊形式是圓.如果將習題條件中的矩形改為正方形，交點都在圓上嗎？除了原習題的方法以外，還有其他解法嗎？

如圖2，邊長為2a的正方形ABCD中，E，F，G，H分別是正方形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，R′，S′，T′是線段CF的四等分點.直線ER與GR′、ES與GS′、ET與GT′的交點L，M，N都在什么圖形上？

解法1：由題意可知，OR=CR′，EO=GC，∠EOR=∠GCR′，則△EOR≌△GCR′，所以∠OER=∠CGR′.

從而∠EGL＋∠GEL=π2，則∠GLE=π2.

故交點L在以線段GE為直徑的圓x2＋y2=a2上.

同理可得交點M，N都在圓x2＋y2=a2 上.

解法2：由題意可知，點E（0，-a），G（0，a），R14a，0，R′a，34a.

直線ER的斜率k1=4，直線GR′的斜率k2=-14，所以 k1k2=-1，從而 ER⊥GR′，即∠GLE=π2.

故交點L在以線段GE為直徑的圓x2＋y2=a2上.

同理可得交點M，N都在圓x2＋y2=a2 上.

點評：如果用原習題的方法，先要求出交點L，M，N的坐標，然后驗證其滿足圓的方程.而上述方法則是依據圓的一個結論，即圓的直徑所對的圓周角是直角，從而得到交點在圓上.解法1是幾何法，通過三角形全等間接得到直角；解法2是代數法，由斜率乘積為-1得到直角，都比原習題的方法簡潔.

2.2 特殊到一般，從“四等分點”推廣到“n等分點”

思考2：上面是從一般到特殊，這是應用數學結論的常見方式.反之，能否從特殊到一般呢？如果將“四等分點”改為“n等分點”，交點還都在橢圓上嗎？除了原習題的方法以外，是否有其他解法呢？

如圖3，矩形ABCD中，｜AB｜=2a，｜BC｜=2b，（a＞b＞0）.E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，R1，R2，…，Rn-1是線段OF的n等分點，R′1，R′2，…，R′n-1 是線段CF的n等分點.直線ER1與GR′1、ER2與GR′2、… 、ERn-1與GR′n-1 的交點L1，L2，…，Ln-1都在橢圓x2a2＋y2b2=1 （a＞b＞0）上嗎？

解法1：由題意可知，點E（0，-b），G（0，b），Riina，0，R′ia，n-inb（i=1，2，…，n-1），則直線ERi為y=nbiax-b，直線GR′i為y=-ibnax＋b.

由y=nbiax-b，

y=-ibnax＋b， 得x=2nin2＋i2a，y=n2-i2n2＋i2b，即點Li2nin2＋i2a，n2-i2n2＋i2b.

所以2nin2＋i2a2a2+n2-i2n2＋i2b2b2=4n2i2（n2＋i2）2＋（n2-i2）2（n2＋i2）2=（n2＋i2）2（n2＋i2）2=1.

故交點Li （i=1，2，…，n-1）都在橢圓x2a2＋y2b2=1 （a＞b＞0）上.

解法2：由題意可知，點E（0，-b），G（0，b），Riina，0，R′ia，n-inb（i=1，2，…，n-1），

則直線ERi的斜率k1=nbia，直線GR′i的斜率k2=-ibna，所以 k1k2=-b2a2.

故交點Li （i=1，2，…，n-1）都在橢圓x2a2＋y2b2=1 （a＞b＞0）上.

點評：將“四等分點”改為“n等分點”，結論仍然成立.解法1是判斷點在橢圓上的

常規算法，解答過程更具一般性，含字母的計算也有助于學生數學運算素養的形成；解法2依據橢圓x2a2＋y2b2=1 （a＞b＞0）上的點與橢圓短軸兩個端點的連線斜率乘積為-b2a2，不需要求出交點Li （i=1，2，…，n-1）的坐標，這使運算更加簡便，提高了解題的效率.

2.3 類比遷移，由“橢圓”聯想到“雙曲線”

思考3：進一步，雙曲線與橢圓也有類似的結論，雙曲線y2b2-x2a2=1上的點與雙曲線兩個頂點的連線斜率乘積為b2a2，能否改變習題的條件，使得交點Li （i=1，2，…，n-1）都在某條雙曲線上呢？

如圖4，矩形ABCD中，｜AB｜=2a，｜BC｜=2b，（a＞b＞0）.E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，R1，R2，…，Rn-1是線段OF的n等分點，R′1，R′2，…，R′n-1 是線段DH的n等分點.直線ER1與GR′1、ER2與GR′2、… 、ERn-1與GR′n-1 的交點L1，L2，…，Ln-1都在什么圖形上？

點評：解法與上述橢圓中的解法相同，此處省略.教學的關鍵在于如何引導學生改變習題的條件得到雙曲線.注意到橢圓結論中斜率乘積為-b2a2，而雙曲線結論中斜率乘積為b2a2，故只需改變其中一個斜率的符號即可，所以將條件“R′1，R′2，…，R′n-1 是線段CF的n等分點”改為“R′1，R′2，…，R′n-1 是線段DH的n等分點”.

3 習題的本質

思考4：習題條件中“取線段的n等分點”比較繁瑣，該習題是否具有簡單的一般形式？習題的本質又是什么？

如圖5，矩形ABCD中，｜AB｜=2a，｜BC｜=2b（a＞b＞0）.E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，R是線段OF上的點，R′是線段CF上的點，｜OR｜=m，｜CR′｜=s，當m，s滿足什么條件時，直線ER與GR′的交點L在橢圓x2a2＋y2b2=1 （a＞b＞0）上？

解：由題意可知，點E（0，-b），G（0，b），R（m，0），R′（a，b-s），則直線ER的斜率k1=bm，直線GR′的斜率k2=-sa.

又當交點L在橢圓x2a2＋y2b2=1 （a＞b＞0）上時，k1k2=-b2a2 ，所以 -sbma=-b2a2 ，即 ma=sb.

故當m，s滿足ma=sb時，直線ER與GR′的交點L在橢圓x2a2＋y2b2=1 （a＞b＞0）上.

點評：“ma=sb”與“R1，R2，…，Rn-1是線段OF的n等分點，R′1，R′2，…，R′n-1 是線段CF的n等分點”意義相同，則習題的一般形式是當m，s滿足ma=sb時，直線ER與GR′的交點L在橢圓x2a2＋y2b2=1 （a＞b＞0）上.又上述解法都是依據“斜率乘積為常數”，故習題的本質是若平面內動點P與兩個定點的連線斜率乘積為常數t，點P的軌跡是曲線C（除去兩個定點），則當t=-1時，曲線C是圓；當tlt;0且t≠-1時，曲線C是橢圓；當t＞0時，曲線C是雙曲線.

4 習題的應用

思考5：學習要能學以致用，用以促學，學用相長.該習題有什么應用嗎？

點G，F 以及交點L1，L2，…，Ln-1都在橢圓x2a2＋y2b2=1 （a＞b＞0）上，意味著如果先描出點G，F 以及交點L1，L2，…，Ln-1，再用一條光滑的曲線連接起來，就可得到橢圓x2a2＋y2b2=1 （a＞b＞0）位于第一象限的部分圖象，最后依據橢圓的對稱性可畫出完整的橢圓.方便起見，描出橢圓上的五個點即可，不妨將這種方法稱為畫橢圓的“五點作圖法”.如圖6，用“五點作圖法”畫橢圓的步驟如下.

（1）在平面直角坐標系xOy中作矩形ABCD，｜AB｜=2a，｜BC｜=2b，分別取四條邊的中點E，F，G，H.

（2）取線段OF的四等分點R，S，T及線段CF的四等分點R′，S′，T′.

（3）連接直線得到ER與GR′、ES與GS′、ET與GT′的交點L，M，N.

（4）用一條光滑的曲線連接點G，L，M，N，F得到橢圓位于第一象限的部分圖象.

（5）依據橢圓的對稱性在其他象限描點、連線，可得到完整的橢圓.

點評：在生產中，鉚工常用此法在矩形內畫橢圓.同理，也可以用類似的方法畫雙曲線.另外，若將矩形特殊化為正方形，則畫出的圖形是該正方形的“內切圓”.不妨稱該橢圓為矩形的“內切橢圓”，矩形的長、寬分別是其“內切橢圓”的長軸長、短軸長，稱該雙曲線為矩形的“外切雙曲線”，矩形的對角線所在直線是其“外切雙曲線”的漸近線，長、寬分別是其“外切雙曲線”的虛軸長、實軸長.

5 結語

綜上可見，編者對這道教材習題的設計寓意深刻，教師如果不引導學生深入思考，那就錯失了一次幫助學生提升核心素養的良機.

引導學生深入思考，使得所學知識容易用上，這比知識的學習更為重要.因此，教師通過對教材習題的組織整合、拓展延伸，可以讓學生樂于解題，減少死記硬背和“機械刷題”，豐富學生的學習經歷，激發學生的學習熱情.此外，這種方式可以提高學生的獨立思考能力，用數學解決實際問題的能力.這些能力的提高對于學生未來的發展具有重要意義.

參考文獻

［1］

人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書數學必修第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2019.