新高考函數題的探索

摘 要：近幾年的數學新高考，有許多以初等函數為背景來命制的壓軸題.這些題以高等數學知識為背景，即試題的設計來源于高等數學，但解決的方法卻是高中階段所學的初等數學知識，但高等解法能夠極大地簡化解題過程.本文就與函數的凹凸性有關的試題進行背景分析或探究其初高等解法對比.

關鍵詞：新高考數學；高觀點；解題思路；函數題

縱觀近幾年的數學新高考，以初等函數為背景來命制的壓軸題越來越普遍.這些函數題往往滲透高等數學背景.此類題目設計形式新穎，成為高考試卷中一道亮麗的風景線.［1］筆者將與函數的凹凸性有關的試題進行背景分析，并探究其初、高等解法的不同之處.

1 函數的凹凸性有關知識

函數的凹凸性是函數的重要性質，也是刻畫連續函數的重要方法.在直觀上說，它能夠反映函數圖象彎曲的方向，在高等數學中具有廣泛的應用價值.

1.1 函數的凹凸性的判定定理

設f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內具有一階和二階導數，有以下結論.

（1） 若在（a，b）內f″（x）＞0，則f（x）在［a，b］上的圖形是凹的.

（2） 若在（a，b）內f″（x）＜0，則f（x）在［a，b］上的圖形是凸的.

如果把這個判別法中的閉區間換成其他各種區間（包括無窮區間），那么結論也成立.

1.2 凹函數的“切線不等式”

若f（x）是區間I上的可微凹函數，則經過點（x0，f（x0））（x0∈I）的切線一定在曲線y=f（x）的下方，即x∈I，不等式f（x）≥f（x0）＋f′（x0）·（x-x0）成立，并且等號成立的充分必要條件是x=x0.

1.3 HermiteHadamard不等式［2］

若f（x）是區間［a，b］上的凹函數，a≤x1＜x2≤b，則有fx1＋x22≤1x2-x1∫x2x1f（x）dx≤f（x1）＋f（x2）2.當且僅當f（x）是線性函數時等號成立.

若f（x）是區間［a，b］上的凸函數，a≤x1＜x2≤b，則有

f（x1）＋f（x2）2≤1x2-x1∫x2x1f（x）dx≤fx1＋x22，當且僅當f（x）是線性函數時等號成立.

當f（x）=ex時，ex1＋x22≤ex2-ex1x2-x1≤ex1＋ex22.

其對數形式為x1x2＜x1-x2ln x1-ln x2＜x1＋x22（x1＞x2＞0）.

2 以函數的凹凸性為背景的新高考函數題的初、高等解法對比研究

2.1 函數的凹凸性在簡化解題思路中的應用

對于有些新高考函數題，初等解法比較繁瑣，分類討論標準多，計算復雜，技巧性強，但是學生極難想到.以下給出兩個例子，在這兩個例子中，函數的凹凸性能夠極大地簡化解題過程，且解法具有一般性.

例1 （2023年全國甲卷理科數學第21題）已知f（x）=ax-sin xcos3 x，x∈0，π2，若f（x）＜sin 2x恒成立，求a的取值范圍.

初等解法：設g（x）=f（x）-sin 2x，然后根據恒成立問題的一般做法分類討論.

高等解法：令h（x）=sin xcos3x＋sin 2x，

則題目轉換為ax＜h（x）在x∈0，π2時恒成立.

由于h″（x）＞0，于是h（x）是凹函數.又q（x）=3x是h（x）在x=0處的切線（如圖1），由定理2可知，滿足題設條件的a的范圍為（-∞，3］.

分析：本題的初等解法雖然是恒成立問題的常規問題，但是分類討論標準比較繁瑣，計算復雜，學生在考場上極難做到全對.相對于初等解法繁瑣的分類討論，本題高等解法巧妙地利用了函數的凹凸性，利用數形結合的方法，能夠很好地解決初等解法帶來的困難，極大地簡化了解題過程，而且對于學生來說更容易理解.因此了解高等解法對學生解決初等函數題幫助很大.

例2 ［2022年全國Ⅱ卷第22題第（3）問］已知函數f（x）=xeax-ex.

設n∈N*，證明：112＋1＋122＋2＋…＋1n2＋n＞ln（n＋1）.

初等解法：x＞0，總有xe12x-ex＋1＜0成立，令t=e12x，則t＞1，t2=ex，x=2ln t.

故2tln t＜t2-1，即2ln t＜t-1t對任意的t＞1恒成立，所以對任意的n∈N*，有2lnn＋1n＜n＋1n-nn＋1，整理，得到ln（n＋1）-ln n＜1n2＋n，

故112＋1＋122＋2＋…＋1n2＋n＞ln 2-ln 1＋ln 3-ln 2＋…＋ln（n＋1）-ln n=ln（n＋1），故不等式成立.

高等解法：初等解法中，ln（n＋1）-ln n＜1n2＋n是構造函數并結合前一問的結論得到的，高等解法中，前文提到的不等式x1x2＜x1-x2ln x1-ln x2＜x1＋x22（x1＞x2＞0）可以幫助我們快速得到結論.

令x1=n＋1，x2=n，就能得到ln （n＋1）-ln n＜1n2＋n，以下證明方法同初等解法.

分析：本題的初等解法非常巧妙，但是學生難以想到，即使明白命題人的本意仍然很難解決問題.但是本題高等解法利用了HermiteHadamard不等式的特殊形式，快速地得到了本題需要使用的重要不等式ln（n＋1）-ln n＜1n2＋n，避免了初等解法極難想到的問題，因此對學生的解題有極大幫助，而且對于學生來說更容易理解.

2.2 函數的凹凸性在函數命題中的體現

函數的凹凸性不僅能夠簡化解題，而且在函數命題當中也有重要體現，以下例子將探究新高考函數題的命題背景.

例3 （2023年新高考19題）已知函數f（x）=a·（ex＋a）-x.

（1）討論f（x）單調性.

（2）證明：當a＞0時，f（x）＞2ln a＋32.

初等解法：（1）略.

（2）根據（1）中求出的函數單調性，得f（x）min=f（-ln a）=a（e-ln a＋a）＋ln a=1＋a2＋ln a.

要證f（x）＞2ln a＋32，即證1＋a2＋ln a＞2·ln a＋32，即證a2-12-ln a＞0恒成立，

然后求導，判斷單調性即可得證.

高等解法：第（2）問相當于求證g（x）=aex＋a2-2ln a＞x＋32，

由于g″（x）＞0，于是g（x）是凹函數.

由定理2可知，g（x）≥x＋1＋a2-ln a.

又a2-ln a-12＞0（初等解法已證），

所以x＋1＋a2-ln a＞x＋32，故g（x）＞x＋32得證.

命題背景分析：本題是新高考導數題中的常見題型，初等解法是十分常規的.在對比研究過程中，我們發現，兩種方法殊途同歸，均避免不了證明a2-12-ln a＞0.

為了考查不等式a2-12-ln a＞0的證明，但將其直接作為第（2）問考查，則區分度較小.為了區分不同水平的考生，命題老師以函數的凹凸性（凹函數的切線不等式）為背景，將不等式a2-12-ln a＞0進行包裝，將問題引向縱深，提高了試題的區分度.

例4 （2021年新高考22題）已知函數f（x）=x（1-ln x）.

（1）討論f（x）的單調性.

（2）設a，b為兩個不相等的正數，且bln a-a·ln b=a-b，證明：2＜1a＋1b＜e.

初等解法：極值點偏移的常規做法，略.

高等解法：由命題背景可知，不等式的左端，即2＜1a＋1b部分可以用高等解法解答，解答過程如下.

研究函數f（x）=ln x，由于f″（x）lt;0，所以f（x）是凹函數.

因此有如果0lt;x1lt;x2，fx1＋x22gt;1x2-x1∫x2x1f（x）dx，

即x2ln x2-x1ln x1x2-x1-1lt;lnx1＋x22.

令x1=1a，x2=1b，由條件，得1x2ln1x1-1x1·ln1x2=1x1-1x2，

故有x2ln x2-x1ln x1x2-x1=1.

所以lnx1＋x22gt;0，即x1＋x22gt;1，x1＋x2gt;2.

分析：本題是極值點偏移的常規問題，在高中階段，學生反復訓練過此類題型.在考場上，學生不會對本類題型感到陌生.因此，初等解法是比較常規的解法.高等解法雖然只能解決問題的一半，但了解HermiteHadamard不等式的命題背景，可以讓考生對問題理解得更為透徹，答題時也能更加得心應手.

3 對高中數學教與學的建議

3.1 對教的建議

在江蘇高考改革后，需要高中數學教師具有更完備的高等數學知識，并用“高觀點”居高臨下地看待新高考函數題，從而深刻理解高中數學問題的來龍去脈.因此，想要把學生教好，前提是應注重對以高等數學為背景的各類試題研究分析，從而準確把握新高考函數命題的走向.只有做到這一點，才能讓教師在教的過程中更加深入淺出，切中要害.

另外，盡管新高考函數題中出現了以高等數學數為背景的試題，但對于大多數試題，運用中學數學的基本知識和基本思想方法仍然是最簡單的解題方法，只有小部分的試題，高等解法能夠簡化解題步驟.因此，通過中學生熟悉的常規解法來解決這類題型，這才是教學過程的根本和核心之所在.當學生學有余力時，教師可以適當地向學生傳授一些高等數學的有關結論，能夠讓學生在解題中更加得心應手.

3.2 對學的建議

相對于老高考，新高考函數題對于學生有著更高的要求，不僅要求學生有扎實的基礎，而且要求學生有靈活思考和變通的能力.因此，高中生在學的過程中，不僅要付出更多的努力，而且要改善學習方法，以得到更好的學習效果.適當地學習高等數學知識，有益于學生了解試題的來源，拓寬學生解題思路，開闊學生解題視野，提高學生數學認知水平.

參考文獻

［1］陳鴻斌.一道高考試題背后的高等數學背景［J］.河北理科教學研究，2021（1）：55-57＋64.

［2］匡繼昌.常用不等式［M］.濟南：山東科學技術出版社，2004.

［3］姜衛東.“居高臨下”方能“深入淺出”——具有高等數學背景的試題的背景分析及解法探微［J］.數理化解題研究，2020（25）：60-62.