核心素養視角下構造法在高考解題中的應用

方成

摘?要：通過研究高考題，嘗試從不同角度觀察問題結構，找到問題的隱含信息，構造與之關聯的函數、方程、不等式、數列、向量等，使其轉化到學生熟悉的情境中，從而化繁為易，靈活解題.

關鍵詞：核心素養；高考試題；構造法；問題結構；轉化

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0065-03

在高中數學學習中，構造法是學生研究問題最基本、最重要的思想方法之一，高考試題中也經常出現它的蹤影.構造的過程實際上是一種創新思維的過程，反映了學生數學知識的深度與廣度，同時也顯露出自身的數學素養.然而，“構造法”難在如何“構造”，而且“構造”也沒有一般的途徑，因此學生解決問題甚感困難.

1 構造法的概念與解題價值

構造法是指根據問題的條件或結論所具有的特征和性質，通過構造合適的數學模型來解決問題的方法.這種方法不僅強調通過建立具體的數學模型來分析和解決實際問題，從而培養學生的問題解決能力、數學思維能力和創新意識，而且可以幫助學生更好地理解數學概念，提高數學學習的效果，并把數學知識應用到實際生活中.學生學習數學概念的過程，就是學生掌握數學本質的過程.

2 高考數學解題中的構造類型

2.1 構造數列

例1?（2018年江蘇卷第14題）已知集合A=x|x=2n-1，n∈N*，B=x|x=2n，n∈N*，

將A∪B的所有元素從小到大依次排列構成一個數列an，記Sn為數列an的前n項和，則使得Sn>12an+1成立的n的最小值.

分析?將A∪B的所有元素從小到大依次排列構成一個數列an，所以我們首先要找集合A，B的相似之處，構造一個數列an，再分析它和Sn>12an+1之間的關系，從而找出最小值.先來列舉B=2，4，8，16，32…，與A相比，元素間隔大，所以從Sn中加了幾個B中元素考慮.

1個：n=1+1=2，S2=3，12a3=36；

2個：n=2+2=4，S4=10，12a5=60；

3個：n=4+3=7，S7=30，12a8=108;

4個：n=8+4=12，S12=94，12a13=204；

5個：n=16+5=21，S21=318，12a22=396;

6個：n=32+6=38，S38=1 150，12a39=780.

發現21≤n≤38時Sn-12an+1發生變號，于是采用二分法查找：S30=687，12a31=612，所以所求n應在22～29之間；S25=462，12a26=492，所以所求n應在25～29之間；

S26=503，12a27=516，因為S27>

12a28，而S26<12a27，故答案為27.

2.2 構造函數

例2?已知函數f（x）=1x-x+alnx.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明：f（x1）-f（x2）x1-x2

解析?（1）由題意可知：函數f（x）=1x-x+alnx的定義域為（0，+∞）.

對函數f（x）進行求導，得

f ′（x）=-x2+ax-1x.

令g（x）=-x2+ax-1，

①若a<0時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減；

②若a>0時，Δ=a2-4≤0，即0

結合①②，得當a≤2時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減.

③若Δ>0時，即a>2時， x=a±a2-42，故f（x）在（0，a-a2-42）和（a+a2-42，+∞）上單調遞減，在（a-a2-42，a+a2-42）上單調遞增.

綜上所述，當a≤2時，函數f（x）在（0，+∞）單調遞減，當a>2時，f（x）在（0，a-a2-42）和（a+a2-42，+∞）上單調遞減，在（a-a2-42，a+a2-42）上單調遞增.

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，由（1）小題可知，當a>2時，x1=a-a2-42，x2=a+a2-42，此時x1

要證f（x1）-f（x2）x1-x2

f（x1）-f（x2）>（a-2）（x1-x2）.

又f（x1）-f（x2）=x2-x1x2x1+（x2-x1）+alnx1x2，

由x1x2=1，得

f（x1）-f（x2）=2（x2-x1）+alnx1x2.

即證2（x2-x1）+alnx1x2>（a-2）（x1-x2）.

即證alnx1x2>a（x1-x2）.

令x1x2=t，則0

由x1x2=1知，x1=t，即證lnt>t-1t.

令g（t）=lnt-t+1t，則g′（t）=1t-12t-12t3≤1t-12×2×1t=0，故g（t）單調遞減.

因為g（1）=0，故g（t）>0，所以lnt>t-1t .

2.3 構造方程

例3?（2022年全國新高考Ⅰ卷21題）已知點 A（2，1）在雙曲線C：x2a2-x2a2-1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP， AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面積.

解析?（1）將點A的坐標代入雙曲線方程得a2=2，所以雙曲線C的方程為x22-y2=1.構造直線y=kx+m，聯立解得（2k2-1）x2+4kmx+2m2+2=0，由根與系數的關系與兩直線斜率之和為0，解得斜率k=-1.

（2）設直線AP的傾斜角為θ（0<θ<π2），由題意可知∠PAQ=π-2θ.

因為tan∠PAQ=22，所以tanθ=2.

又因為y1-1x1-2=2，x212-y21=1，得到

x1=10-423.

所以AP=3x1-2=43（2-1）3.

同理，x2=10+423，

AQ=3x2-2=43（2+1）3.

由tan∠PAQ=22，有sin∠PAQ=223.

故S△PAQ=12APAQsin∠PAQ=1629.

2.4 構造不等式

例4?已知函數f（x）=x-lnx.若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導數相等，證明：f（x1）+f（x2）>8-8ln2.

證明?函數f（x）的導函數為f ′（x）=12x-1x，因為函數f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導數相等，則

12x1-1x1=12x2-1x2.

變形，得12x1-12x2=1x1-1x2=2（12x1-12x2）（1x1+1x2）.

化簡，得1x1+1x2=12.

由基本不等式可知

12x1x2=x1+x2≥24x1x2.

因為x1≠x2，所以x1x2>256.

由題意得f（x1）+f（x2）=x1-lnx1+x2-lnx2=12x1x2-ln（x1x2）.

設g（x）=12 x-lnx，則g（x）′=14x（x-4），當g′（x）=0，得x=16.當x>16時，g（x）單調遞增.故g（x1x2）>g（256）=8-8ln2.

即f（x1）+f（x2）>8-8ln2.

2.5 構造圖形

例5?已知正方體的棱長為1，每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為.

分析?當截面為正三角形時，如圖1，首先需要構造出一個棱長為1的正方體，確定截面在正方體什么位置時，每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等.設當平面α與正方體相交于A，B，C時，當AC=BC=AB時，每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等，面積為S△ABC=32.

當截面為六邊形對，如圖2，如果平面平移至圖2位置時，截面面積值最大，此時六邊形每個頂點都在正方體各個棱的中點處.

則六邊形邊長為（12）2+（12）2=22.

則六邊形CBDEFG的面積為

SBDEFGC=6×34×（22）2=334，最大值為334.

3 結束語

當數學問題出現時，一種解題思路是從已知條件出發，探求問題結論，但有時這種做法并不奏效.此時，就要打破常規，洞穿問題結構，構造數學對象.而這個數學對象與所給條件、結論之間存在某種“關系”，能使問題趨向簡單化.在構造數學對象的過程中，學生的思維不僅得到了提升，并且對原有的知識進行了再創造.因此，在高考數學解題活動中，學生要具備扎實的數學基礎，活躍的數學思維，看穿問題本質，構造新的問題條件特征，從而尋求最佳的解題途徑，達到高校選拔人才的目的［1］.

參考文獻：

［1］

傅海倫，賈冠軍．數學思想方法發展概論［M］.濟南：山東教育出版社，2009.

［責任編輯：李?璟］