基于數學運算素養探究2023年全國乙卷解析幾何題的解法

侯有岐

摘?要：文章基于數學運算素養的視角，以2023年全國乙卷理科第20題解析幾何為例，通過三思路八解法，闡述如何明晰運算目標、設計運算程序、優化解題思路、簡化運算程序等，從而達到提升學生數學運算素養的目的.

關鍵詞：數學運算；解析幾何；運算程序；運算素養

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0014-05

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.主要包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求解運算結果等[1].

筆者現以2023年全國乙卷理科解析幾何第20題為例，展示如何根據問題的特點，明晰運算的目標，加強理解思維分析，優化解題思路，簡化運算順序，從而提高學生的數學運算能力與素養.希望助力高三備考復習，現與讀者分享交流.

1 ?試題呈現

題目?（2023年全國乙卷理科第20題）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1a>b>0的離心率為53，點A-2，0在C上.

（1）求C的方程；

（2）過點-2，3的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點.

2 試題分析

本題第（1）問是求曲線方程，屬于常規問題，答案是C：y29+x24=1；第（2）問是求證動線段的中點為定點的問題，主要考查了橢圓的簡單幾何性質，方程的思想，解決問題的能力及轉化與化歸的數學思想，體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學核心素養.我們重點分析第（2）問，引導學生學會抽象形與數之間的關系，從而正確理解運算對象，合理設計運算程序，巧妙簡化運算過程，達到“解一題，會一類，通一片”的目的.

3 多法破解

思路1?常規解法：依題設直線，聯立曲線方程，韋達定理，設而不求.

解法1?設P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），R（-2，3）， 直線PQ的方程為

y=k（x+2）+3.

聯立y=k（x+2）+3，4y2+9x2=36，

整理，得

（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+16k（k+3）=0，

則△=-27×64k>0，解得k<0，

則x1+x2=-8k（2k+3）4k2+9，x1x2=16k（k+3）4k2+9.

又A（-2，0），故lAP：y=y1x1+2（x+2）.

令x=0，得M（0，2y1x1+2）.

同理可得N（0，2y2x2+2）.

即MN的中點坐標為（0，y1x1+2+y2x2+2）.

所以y1x1+2+y2x2+2=y1（x2+2）+y2（x1+2）（x1+2）（x2+2）

=（kx1+2k+3）（x2+2）+（kx2+2k+3）（x1+2）（x1+2）（x2+2）

=2kx1x2+（4k+3）（x1+x2）+4（2k+3）x1x2+2（x1+x2）+4

=3.

故MN的中點坐標為（0，3）.

所以線段MN的中點為定點.

評注?該法屬于解析幾何中處理直線與曲線相交問題的通解通法，一般從問題出發，問什么求什么，按部就班地逐步進行，對學生的邏輯推理要求較低，但對數學運算要求較高，往往使很多學生在考場上望而卻步，從而放棄解答.

如果我們抓住點M，N坐標表達式的特點再多想一點：把x+2看成整體，就可以大大簡化運算.

解法2?設P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），R（-2，3），直線PQ的方程為

y=k（x+2）+3，

聯立y29+x24=1，y=k（x+2）+3，

整理，得

（4k2+9）（x+2）2+（24k-36）（x+2）+36

=0.

由△>0得k<0，且

（x1+2）+（x2+2）=36-24k4k2+9，

（x1+2）（x2+2）=364k2+9.

又A（-2，0），故lAP：y=y1x1+2（x+2）.

令x=0，得M（0，2y1x1+2）.

同理可得N（0，2y2x2+2）.

所以yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2

=2k+3（x1+2+x2+2）（x1+2）（x2+2）

=2k+3×（36-24k）/（4k2+9）36/（4k2+9）

=3.

故線段MN的中點坐標為（0，3）.

所以線段MN的中點為定點.

評注?解法2是對解法1的優化，緊緊抓住點M，N坐標表達式的特點，從整體視角將x+2代入橢圓方程化簡整理，比直接將直線方程y=kx+2k+3代入表現在運算上的繁簡差別是明顯的.更何況，整體思想也是新課程改革實施的大單元教學的靈魂所在，它既能讓教師從全局把握授課內容，又能幫助學生構建知識結構，抓住問題本質，從而提升思維能力.

解法3?設P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），依題意，直線PQ不可能垂直于x軸，可設其方程為y=k（x+2）+3，將直線PQ方程代入橢圓方程得

4（kx+2k+3）2+9x2-36=0.①

記f（x）=4（kx+2k+3）2+9x2-36，其兩根為x1，x2，由韋達定理和多項式因式分解定理得（其中D=4k2+9），D（x1+x2）=-8k（2k+3），

f（x）=D（x-x1）（x-x2） .

又直線AP和AQ的方程為

（xi+2）y=yi（x+2）（i=1，2），

令x=0，得yM=2y1x1+2，yN=2y2x2+2.

所以線段MN中點的縱坐標為

yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2

=2k+3x1+2+3x2+2

=2k+3（x1+x2+4）（x1+2）（x2+2）

=2k+3［D（x1+x2）+4D］D（-x1-2）（-x2-2）

=2k+3［-8k（2k+3）+4（4k2+9）］f（-2）

=2k+3（-24k+36）36

=3.

故線段MN的中點坐標為（0，3）.

所以線段MN的中點為定點.

評注?解法3也是對解法1的優化，具體體現在以下三個步驟：（1）不把①式化為Ax2+Bx+C=0的形式；（2）不是利用x1+x2=-BA，而是利用A（x1+x2）=-B；（3）利用Ax2+Bx+C=A（x-x1）（x-x1），這樣既節省了表達，又減少了運算量.

考慮到直線PQ是過定點R（-2，3）的動直線，所以不妨利用特例（如直線PQ過原點）先猜出定點坐標，然后再證明猜想.

解法4?設P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），R（-2，3），首先考慮特殊性，當直線PQ過原點，容易求出點P（-2，322），Q（2，-322），進而求出yM=3+32，yN=3-32，此時線段MN的中點為定點（0，3）.

下面只需證明：當線段MN的中點為（0，3）時，R，P，Q三點共線即可.

設M（0，3+t），N（0，3-t），則直線AM的方程為y=3+t2（x+2），

聯立y29+x24=1，y=3+t2（x+2），

得（t2+6t+18）x2+4（3+t）2x+4t2+24t=0.

當△>0時，由xA·xP=4t2+24tt2+6t+18及xA=-2，得xP=-2t2-12tt2+6t+18.

所以P（-2t2-12tt2+6t+18，18t+54t2+6t+18）.

同理Q（-2t2-12tt2+6t+18，18t+54t2+6t+18）.

則kRP=（18t+54）/（t2+6t+18）-3（-2t2-12t）/（t2+6t+18）+2=-t212.

用-t代t，同理可得kRQ=-t212.

所以R，P，Q三點共線.

故線段MN的中點為定點.

評注?“先猜后證”的特例法是合情推理的重要應用，也是近幾年高考解析幾何大題的常用方法之一（如2022年全國乙卷理科第20題），體現了由特殊到一般的數學思想方法.

思路2?齊次化處理，優化運算.

借助直線方程將橢圓（或雙曲線）方程中的“非二次”項湊“齊二次”，處理斜率之和（積）為定值問題，可以優化運算.

解法5?設P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），R（-2，3），直線AP，AQ的方程分別為

y=y1x1+2（x+2），

y=y1x1+2（x+2），

當x=0時，yM=2y1x1+2，yN=2y2x2+2，即有

yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2.

又直線PQ的方程為y=k（x+2）+3，即

y-k（x+2）3=1.

將y-k（x+2）3=1代入橢圓方程

化簡整理，得

19·（yx+2）2-13·yx+2+k3+14=0.

由韋達定理有

yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2=--1/31/9=3.

故線段MN的中點坐標為（0，3）.

所以線段MN的中點為定點.

評注?緊緊抓住yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2表達式右邊的特點，將直線PQ的方程y=k（x+2）+3變為y-k（x+2）3=1，便于“齊次化”，“齊次化”的實質為巧妙運用“1”的代換，對學生有一定的運算要求，需要學生熟練掌握代數運算法則，但相較于常規解法，該法精簡了運算的程序.

考慮到運算的繁簡程度，可借助于坐標軸平移，簡化直線PQ方程，從而實現優化運算的目的.

解法6?將y軸左移兩個單位，則在新坐標系下R（0，3），A（0，0），橢圓方程變為

y29+（x-2）24=1.

易得直線PQ的斜率存在，設為k（k<0），直線PQ方程：y=kx+3，得y-kx3=1.

橢圓的方程化為

4y2+9x2-36x=0.

將y-kx3=1代入上式，得

4y2+9x2-36x·y-kx3=0.

即4（yx）2-12（yx）+（9+12k）=0.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），由韋達定理得

y1x1+y2x2=3.

易得直線AP方程為y=y1x1x.

令x=2，得y=2y1x1.

即M（2，2y1x1），同理N（2，2y2x2）.

所以線段MN的中點的縱坐標為

y1x1+y2x2=3.

所以MN的中點坐標為（2，3），

則原題中MN的中點坐標為（0，3）.

故線段MN的中點為定點.

評注?相較于解法5，我們在解法6中將y軸左移兩個單位后，整個解題過程運算量更小，體現了解析幾何“多思少算”的解題思想.

思路3?同構思想，簡化運算.

在解析幾何中，經常出現共點引雙線的模型，這類問題一般難度較大，對學生的數學運算能力和化歸與轉化能力要求較高，如果巧妙地利用同構的方法可以化繁為簡，輕松地解決問題.本題中的直線AP，AQ就屬于共點引雙線的模型.

解法7?設M（0，m），N（0，n），R（-2，3），則

直線AP的截距式方程為x-2+ym=1.

即x=2my-2.

代入橢圓方程整理，得

（m2+1）y2-18my=0.

得yP=18mm2+1.

則xP=2myP-2.

得xP+2=2myP=36m2+1.

所以kPR=yP-3xP+2

=6m-m2-112.

同理kQR=6n-n2-112.

因為kQR=kPR，

所以6m-m2-1=6n-n2-1.

即m2-n2=6（m-n）.

又m≠n，所以m+n=6.

故線段MN的中點為定點，其坐標為（0，3）.

解法8?設M（0，m），N（0，n），R（-2，3），再設直線AP的方程為x=my-2，

代入橢圓方程整理，得

（9m2+4）y2-36my=0.

得yP=36m9m2+4.

則xP=myP-2.

得

xP+2=myP=36m29m2+4.

所以kPR=yP-3xP+2

=yP-3myP

=36m/（9m2+4）-336m2/（9m2+4）

=36m-27m2-1236m2

=1m-34-13m2.

同理kQR=1n-34-13n2.

因為kQR=kPR，

所以1m-13m2=1n-13n2.

即1m2-1n2=3m-3n.

又m≠n，所以1m+1n=3.

又yM=2m，yN=2n，

所以線段MN的中點的縱坐標為1m+1n=3.

故線段MN的中點為定點，其坐標為（0，3）.

點評?如果題目涉及兩種聯立直線與圓錐曲線化簡，求解同類目標，直線方程為同構式時，則只需計算出其中一種結果，另一種結果同構變量替換即可，在解答題中常以“同理可求”體現.

4 結束語

新一輪課程改革要求我們的課堂教學不僅要實現從知識立意到素養立意的轉變，更重要的是要實現從解題到解決問題的轉變，從而提高學生的數學核心素養.可以采用“預、練、積”的模式進行數學運算教學，解決問題不求貪多，力爭實現“解一題，會一類，通一片”的效果.通過“預”，達到理解運算對象、探究運算思路、設計運算程序、執行運算操作的目的；通過“練”，明白為什么練、練什么、怎樣練，減少訓練的盲目性，提高針對性和有效性；通過“積”，使學生的數學運算由能力上升到素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［責任編輯：李?璟］