基于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)探究2023年全國乙卷解析幾何題的解法

侯有岐

摘?要：文章基于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的視角，以2023年全國乙卷理科第20題解析幾何為例，通過三思路八解法，闡述如何明晰運(yùn)算目標(biāo)、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、優(yōu)化解題思路、簡化運(yùn)算程序等，從而達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的目的.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算；解析幾何；運(yùn)算程序；運(yùn)算素養(yǎng)

中圖分類號：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0014-05

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求解運(yùn)算結(jié)果等[1].

筆者現(xiàn)以2023年全國乙卷理科解析幾何第20題為例，展示如何根據(jù)問題的特點(diǎn)，明晰運(yùn)算的目標(biāo)，加強(qiáng)理解思維分析，優(yōu)化解題思路，簡化運(yùn)算順序，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與素養(yǎng).希望助力高三備考復(fù)習(xí)，現(xiàn)與讀者分享交流.

1 ?試題呈現(xiàn)

題目?（2023年全國乙卷理科第20題）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1a>b>0的離心率為53，點(diǎn)A-2，0在C上.

（1）求C的方程；

（2）過點(diǎn)-2，3的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

2 試題分析

本題第（1）問是求曲線方程，屬于常規(guī)問題，答案是C：y29+x24=1；第（2）問是求證動(dòng)線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)的問題，主要考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，方程的思想，解決問題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).我們重點(diǎn)分析第（2）問，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會抽象形與數(shù)之間的關(guān)系，從而正確理解運(yùn)算對象，合理設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，巧妙簡化運(yùn)算過程，達(dá)到“解一題，會一類，通一片”的目的.

3 多法破解

思路1?常規(guī)解法：依題設(shè)直線，聯(lián)立曲線方程，韋達(dá)定理，設(shè)而不求.

解法1?設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），R（-2，3）， 直線PQ的方程為

y=k（x+2）+3.

聯(lián)立y=k（x+2）+3，4y2+9x2=36，

整理，得

（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+16k（k+3）=0，

則△=-27×64k>0，解得k<0，

則x1+x2=-8k（2k+3）4k2+9，x1x2=16k（k+3）4k2+9.

又A（-2，0），故lAP：y=y1x1+2（x+2）.

令x=0，得M（0，2y1x1+2）.

同理可得N（0，2y2x2+2）.

即MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y1x1+2+y2x2+2）.

所以y1x1+2+y2x2+2=y1（x2+2）+y2（x1+2）（x1+2）（x2+2）

=（kx1+2k+3）（x2+2）+（kx2+2k+3）（x1+2）（x1+2）（x2+2）

=2kx1x2+（4k+3）（x1+x2）+4（2k+3）x1x2+2（x1+x2）+4

=3.

故MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）.

所以線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

評注?該法屬于解析幾何中處理直線與曲線相交問題的通解通法，一般從問題出發(fā)，問什么求什么，按部就班地逐步進(jìn)行，對學(xué)生的邏輯推理要求較低，但對數(shù)學(xué)運(yùn)算要求較高，往往使很多學(xué)生在考場上望而卻步，從而放棄解答.

如果我們抓住點(diǎn)M，N坐標(biāo)表達(dá)式的特點(diǎn)再多想一點(diǎn)：把x+2看成整體，就可以大大簡化運(yùn)算.

解法2?設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），R（-2，3），直線PQ的方程為

y=k（x+2）+3，

聯(lián)立y29+x24=1，y=k（x+2）+3，

整理，得

（4k2+9）（x+2）2+（24k-36）（x+2）+36

=0.

由△>0得k<0，且

（x1+2）+（x2+2）=36-24k4k2+9，

（x1+2）（x2+2）=364k2+9.

又A（-2，0），故lAP：y=y1x1+2（x+2）.

令x=0，得M（0，2y1x1+2）.

同理可得N（0，2y2x2+2）.

所以yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2

=2k+3（x1+2+x2+2）（x1+2）（x2+2）

=2k+3×（36-24k）/（4k2+9）36/（4k2+9）

=3.

故線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）.

所以線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

評注?解法2是對解法1的優(yōu)化，緊緊抓住點(diǎn)M，N坐標(biāo)表達(dá)式的特點(diǎn)，從整體視角將x+2代入橢圓方程化簡整理，比直接將直線方程y=kx+2k+3代入表現(xiàn)在運(yùn)算上的繁簡差別是明顯的.更何況，整體思想也是新課程改革實(shí)施的大單元教學(xué)的靈魂所在，它既能讓教師從全局把握授課內(nèi)容，又能幫助學(xué)生構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，抓住問題本質(zhì)，從而提升思維能力.

解法3?設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），依題意，直線PQ不可能垂直于x軸，可設(shè)其方程為y=k（x+2）+3，將直線PQ方程代入橢圓方程得

4（kx+2k+3）2+9x2-36=0.①

記f（x）=4（kx+2k+3）2+9x2-36，其兩根為x1，x2，由韋達(dá)定理和多項(xiàng)式因式分解定理得（其中D=4k2+9），D（x1+x2）=-8k（2k+3），

f（x）=D（x-x1）（x-x2） .

又直線AP和AQ的方程為

（xi+2）y=yi（x+2）（i=1，2），

令x=0，得yM=2y1x1+2，yN=2y2x2+2.

所以線段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2

=2k+3x1+2+3x2+2

=2k+3（x1+x2+4）（x1+2）（x2+2）

=2k+3［D（x1+x2）+4D］D（-x1-2）（-x2-2）

=2k+3［-8k（2k+3）+4（4k2+9）］f（-2）

=2k+3（-24k+36）36

=3.

故線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）.

所以線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

評注?解法3也是對解法1的優(yōu)化，具體體現(xiàn)在以下三個(gè)步驟：（1）不把①式化為Ax2+Bx+C=0的形式；（2）不是利用x1+x2=-BA，而是利用A（x1+x2）=-B；（3）利用Ax2+Bx+C=A（x-x1）（x-x1），這樣既節(jié)省了表達(dá)，又減少了運(yùn)算量.

考慮到直線PQ是過定點(diǎn)R（-2，3）的動(dòng)直線，所以不妨利用特例（如直線PQ過原點(diǎn)）先猜出定點(diǎn)坐標(biāo)，然后再證明猜想.

解法4?設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），R（-2，3），首先考慮特殊性，當(dāng)直線PQ過原點(diǎn)，容易求出點(diǎn)P（-2，322），Q（2，-322），進(jìn)而求出yM=3+32，yN=3-32，此時(shí)線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)（0，3）.

下面只需證明：當(dāng)線段MN的中點(diǎn)為（0，3）時(shí)，R，P，Q三點(diǎn)共線即可.

設(shè)M（0，3+t），N（0，3-t），則直線AM的方程為y=3+t2（x+2），

聯(lián)立y29+x24=1，y=3+t2（x+2），

得（t2+6t+18）x2+4（3+t）2x+4t2+24t=0.

當(dāng)△>0時(shí)，由xA·xP=4t2+24tt2+6t+18及xA=-2，得xP=-2t2-12tt2+6t+18.

所以P（-2t2-12tt2+6t+18，18t+54t2+6t+18）.

同理Q（-2t2-12tt2+6t+18，18t+54t2+6t+18）.

則kRP=（18t+54）/（t2+6t+18）-3（-2t2-12t）/（t2+6t+18）+2=-t212.

用-t代t，同理可得kRQ=-t212.

所以R，P，Q三點(diǎn)共線.

故線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

評注?“先猜后證”的特例法是合情推理的重要應(yīng)用，也是近幾年高考解析幾何大題的常用方法之一（如2022年全國乙卷理科第20題），體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

思路2?齊次化處理，優(yōu)化運(yùn)算.

借助直線方程將橢圓（或雙曲線）方程中的“非二次”項(xiàng)湊“齊二次”，處理斜率之和（積）為定值問題，可以優(yōu)化運(yùn)算.

解法5?設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），R（-2，3），直線AP，AQ的方程分別為

y=y1x1+2（x+2），

y=y1x1+2（x+2），

當(dāng)x=0時(shí)，yM=2y1x1+2，yN=2y2x2+2，即有

yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2.

又直線PQ的方程為y=k（x+2）+3，即

y-k（x+2）3=1.

將y-k（x+2）3=1代入橢圓方程

化簡整理，得

19·（yx+2）2-13·yx+2+k3+14=0.

由韋達(dá)定理有

yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2=--1/31/9=3.

故線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）.

所以線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

評注?緊緊抓住yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2表達(dá)式右邊的特點(diǎn)，將直線PQ的方程y=k（x+2）+3變?yōu)閥-k（x+2）3=1，便于“齊次化”，“齊次化”的實(shí)質(zhì)為巧妙運(yùn)用“1”的代換，對學(xué)生有一定的運(yùn)算要求，需要學(xué)生熟練掌握代數(shù)運(yùn)算法則，但相較于常規(guī)解法，該法精簡了運(yùn)算的程序.

考慮到運(yùn)算的繁簡程度，可借助于坐標(biāo)軸平移，簡化直線PQ方程，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化運(yùn)算的目的.

解法6?將y軸左移兩個(gè)單位，則在新坐標(biāo)系下R（0，3），A（0，0），橢圓方程變?yōu)?/p>

y29+（x-2）24=1.

易得直線PQ的斜率存在，設(shè)為k（k<0），直線PQ方程：y=kx+3，得y-kx3=1.

橢圓的方程化為

4y2+9x2-36x=0.

將y-kx3=1代入上式，得

4y2+9x2-36x·y-kx3=0.

即4（yx）2-12（yx）+（9+12k）=0.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由韋達(dá)定理得

y1x1+y2x2=3.

易得直線AP方程為y=y1x1x.

令x=2，得y=2y1x1.

即M（2，2y1x1），同理N（2，2y2x2）.

所以線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

y1x1+y2x2=3.

所以MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），

則原題中MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）.

故線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

評注?相較于解法5，我們在解法6中將y軸左移兩個(gè)單位后，整個(gè)解題過程運(yùn)算量更小，體現(xiàn)了解析幾何“多思少算”的解題思想.

思路3?同構(gòu)思想，簡化運(yùn)算.

在解析幾何中，經(jīng)常出現(xiàn)共點(diǎn)引雙線的模型，這類問題一般難度較大，對學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和化歸與轉(zhuǎn)化能力要求較高，如果巧妙地利用同構(gòu)的方法可以化繁為簡，輕松地解決問題.本題中的直線AP，AQ就屬于共點(diǎn)引雙線的模型.

解法7?設(shè)M（0，m），N（0，n），R（-2，3），則

直線AP的截距式方程為x-2+ym=1.

即x=2my-2.

代入橢圓方程整理，得

（m2+1）y2-18my=0.

得yP=18mm2+1.

則xP=2myP-2.

得xP+2=2myP=36m2+1.

所以kPR=yP-3xP+2

=6m-m2-112.

同理kQR=6n-n2-112.

因?yàn)閗QR=kPR，

所以6m-m2-1=6n-n2-1.

即m2-n2=6（m-n）.

又m≠n，所以m+n=6.

故線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，3）.

解法8?設(shè)M（0，m），N（0，n），R（-2，3），再設(shè)直線AP的方程為x=my-2，

代入橢圓方程整理，得

（9m2+4）y2-36my=0.

得yP=36m9m2+4.

則xP=myP-2.

得

xP+2=myP=36m29m2+4.

所以kPR=yP-3xP+2

=yP-3myP

=36m/（9m2+4）-336m2/（9m2+4）

=36m-27m2-1236m2

=1m-34-13m2.

同理kQR=1n-34-13n2.

因?yàn)閗QR=kPR，

所以1m-13m2=1n-13n2.

即1m2-1n2=3m-3n.

又m≠n，所以1m+1n=3.

又yM=2m，yN=2n，

所以線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1m+1n=3.

故線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，3）.

點(diǎn)評?如果題目涉及兩種聯(lián)立直線與圓錐曲線化簡，求解同類目標(biāo)，直線方程為同構(gòu)式時(shí)，則只需計(jì)算出其中一種結(jié)果，另一種結(jié)果同構(gòu)變量替換即可，在解答題中常以“同理可求”體現(xiàn).

4 結(jié)束語

新一輪課程改革要求我們的課堂教學(xué)不僅要實(shí)現(xiàn)從知識立意到素養(yǎng)立意的轉(zhuǎn)變，更重要的是要實(shí)現(xiàn)從解題到解決問題的轉(zhuǎn)變，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).可以采用“預(yù)、練、積”的模式進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)，解決問題不求貪多，力爭實(shí)現(xiàn)“解一題，會一類，通一片”的效果.通過“預(yù)”，達(dá)到理解運(yùn)算對象、探究運(yùn)算思路、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、執(zhí)行運(yùn)算操作的目的；通過“練”，明白為什么練、練什么、怎樣練，減少訓(xùn)練的盲目性，提高針對性和有效性；通過“積”，使學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算由能力上升到素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［責(zé)任編輯：李?璟］