立足教材探新解 優(yōu)化認(rèn)知提素養(yǎng)

摘?要：不等式是高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考的重要考點(diǎn)，是考查學(xué)生核心素養(yǎng)的重要載體.通過(guò)對(duì)一道競(jìng)賽試題的深入探究，有利于學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的整體把握，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新探究意識(shí).

關(guān)鍵詞：不等式；一題多解；核心素養(yǎng)；構(gòu)建知識(shí)

中圖分類號(hào)：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???文章編號(hào)：1008-0333（2024）13-0025-06

本題是2023年北京市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的一試題，簡(jiǎn)單大氣、意蘊(yùn)優(yōu)美.學(xué)生可以從不同的角度解答本題，綜合性地考查學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的整體把握，要求學(xué)生具有嚴(yán)密的邏輯思維，較強(qiáng)的知識(shí)探究與轉(zhuǎn)化能力[1].本題考查了三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)線、三角恒等變換、解三角形、不等式、線性規(guī)劃、數(shù)列、直線與圓的位置關(guān)系，導(dǎo)數(shù)、圖象的平移與變換、參數(shù)方程等數(shù)學(xué)知識(shí)；數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、設(shè)而不求、換元法等思想方法.筆者經(jīng)過(guò)深入探究發(fā)現(xiàn)，該題可以從“數(shù)”“形”兩個(gè)維度給予解答[2].

1 解法探究

題目?已知x是一個(gè)銳角，那么8sinx+1cosx的最小值是.

1.1 函數(shù)視角

解法1?設(shè)f（x）=8x+11-x2，x（0，1），則

f ′（x）=x（1-x2）1-x2-8x2.

令f ′（x）=0，解得x=255.

所以當(dāng)x∈（0，255）時(shí)，f ′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（255，1）時(shí)，f ′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=255時(shí)，f（x）有最小值f（255）=55.

解法2?f（x）=8sinx+1cosx，x∈（0，π2），

則f ′（x）=cosx·tan3x-8sin2x.

令f ′（x）=0，解得x=x0，其中tanx0=2，

所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f ′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x0，π2）時(shí)，f ′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=x0時(shí)，sin x0=255，cos x0=55，f（x）有最小值f（x0）=55.

1.2 三角恒等變換視角

解法3?（萬(wàn)能公式）由萬(wàn)能公式知，sinx=2t1+t2，cosx=1-t21+t2，其中t=tanx2，x∈（0，π2），則

8sinx+1cosx=4+4t2t+1+t21-t2.

令g（x）=4+4x2x+1+x21-x2，x∈（0，1），則

g′（x）=（x2+x-1）［x2+x（1-x2）+（1-x2）2］x2（1-x2）2.

令g′（x）=0，解得x=5-12，則

當(dāng)x∈（0，5-12）時(shí)，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（5-12，1）時(shí)，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增.故當(dāng)x=5-12時(shí)，g（x）有最小值g（5-12）=55.1.3 不等式視角

解法4?（多元基本不等式）因?yàn)?=sin2x+cos2x=sin2x4+sin2x4+sin2x4+sin2x4+cos2x，

由多元均值不等式知，1≥55sin8xcos2x28.

即sin4xcosx≤24（15）52，當(dāng)且僅當(dāng)sin2x4=cos2x，即tanx=2時(shí)，等號(hào)成立.

8sinx+1cosx=2sinx+2sinx+2sinx+2sinx+1cosx

≥5524sin4xcosx

≥552424（1/5）5/2=55，

當(dāng)且僅當(dāng)2sinx=1cosx，即tanx=2時(shí)，等號(hào)成立.

綜上所述，8sinx+1cosx的最小值為55.

解法5?（二元基本不等式）令z=8sinx+1cosx，則λz=8λsinx+λcosx，λ>0.

所以λz+1=8λsinx+λcosx+sin2x+cos2x

=4λsinx+4λsinx+sin2x+λ2cosx+λ2cosx+cos2x.

由均值不等式知zλ+1≥334λsinx·4λsinx·sin2x+33λ2cosx·λ2cosx·cos2x=3316λ2+33λ24，

當(dāng)且僅當(dāng)4λsinx=sin2x，λ2cosx=cos2x， 即sin2x=（4λ）23，cos2x=（λ2）23時(shí)，等號(hào)成立.

由sin2x+cos2x=1，知

（4λ）23+（λ2）23=1，

等式兩邊同時(shí)3次方，解得λ=255.

由zλ+1≥3316λ2+33λ24，知

z·255+1≥3，

解得z≥55.

所以8sinx+1cosx的最小值為55.

解法6?（基本不等式）設(shè)λ為正實(shí)數(shù)，則λsinx+cosx=λ2+1sin（x+θ），其中

cosθ=λλ2+1，sinθ=1λ2+1.

易知λ2+1≥λsinx+cosx.

所以

λ2+1（8sinx+1cosx）≥（λsinx+cosx）·（8sinx+1cosx）≥8λ+1+8cosxsinx+λsinxcosx≥8λ+1+42λ.

當(dāng)且僅當(dāng)8cosxsinx=λsinxcosx，即sinx=8λ+8，cosx=λλ+8時(shí)，等號(hào)成立.

此時(shí)滿足

λ2+1=λsinx+cosx=λ8+λλ+8，

解得λ=2，

易知5（8sinx+1cosx）≥25，

即8sinx+1cosx≥55.

解法7?（柯西不等式）設(shè)α=（22sinx，1cosx），β=（2sinx，cosx），由柯西不等式知，

5=22sinx·2sinx+1cosx·cosx

≤8sinx+1cosx·2sinx+cosx

≤8sinx+1cosx·5，

解得8sinx+1cosx≥55，

當(dāng)且僅當(dāng)8/sinx2sinx=1/cosxcosx，即sin x=255，cos x=55時(shí)，

8sinx+1cosx有最小值55.

解法8?（權(quán)方和不等式） 8sinx+1cosx=432（sin2x）12+132（cos2x）12≥（4+1）32（sin2x+cos2x）12=55，當(dāng)且僅當(dāng)4sin2x=1cos2x，即sin x=255，cos x=55時(shí)，8sinx+1cosx有最小值55.

評(píng)析?權(quán)方和不等式：已知a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn>0，則

當(dāng)-10時(shí)，∑ni=1am+1ibmi≥（∑ni=1ai）m+1（∑ni=1bi）m，

當(dāng)且僅當(dāng)a1b1=a2b2=…=anbn時(shí)，等號(hào)成立.

解法9?（赫爾德不等式） 由題知，

（8sinx+1cosx）23（sin2x+cos2x）13≥（8sinx）23（sin2x）13+（1cosx）23（cos2x）13=5.

即

（8sinx+1cosx）23≥5，解得8sinx+1cosx≥55，當(dāng)且僅當(dāng)8/sinxsin2x=1/cosxcos2x，即sin x=255，

cos x=55時(shí)，8sinx+1cosx有最小值55.

評(píng)析?赫爾德不等式：已知a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn>0，p，q>0，p+q=1，則

∑ni=1api·∑ni=1bqi≤（∑ni=1ai）p·（∑ni=1bi）q，當(dāng)且僅當(dāng)a1b1=a2b2=…=anbn時(shí)，等號(hào)成立.

1.4 方程的齊次式視角

解法10?（8sinx+1cosx）2（sin2x+cos2x）=65+64tan2x+tan2x+16tanx+16tanx=65+16tan2x+…+16tan2x4個(gè)+tan2x+2tanx+…+2tanx8個(gè)+8tanx+8tanx≥65+

1515164×1×28×82=125，

當(dāng)且僅當(dāng)16tan2x=tan2x=2tanx=8tanx，即tanx=2時(shí)，8sinx+1cosx的最小值為55.

1.5 三角函數(shù)線

解法11?如圖1所示，在單位圓x2+y2=1第一象限上任取一點(diǎn)P，直線OP與x=-1，y=8分別交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，N.

設(shè)∠POx=θ，θ∈（0，π2），

則A（-1，-tanθ），B（8tanθ，8）.

|OA|+|OB|=8sinθ+1cosθ，

又|AB|=（1+8tanθ）2+（8+tanθ）2，

所以8sinθ+1cosθ表示的幾何意義為點(diǎn)H（8，1）到曲線C：y=8x（x<0）上點(diǎn)的距離d.

如圖2，以H為圓心，r為半徑構(gòu)造輔助圓H，當(dāng)圓H與曲線C相切時(shí)，圓H的半徑r最小，即8sinθ+1cosθ的最小值為相切圓的半徑.

設(shè)切點(diǎn)E（x0，y0），則y0=8x0.

直線HE的斜率為

kHE=y0-1x0-8=-1x0，

點(diǎn)E（x0，y0）處的切線方程為

y-y0=x0（x-x0），

整理，得y=x0x+8x0-x20.

聯(lián)立y=x0x+8x0-x20，y=8x，消y，得

x0x2+（8x0-x20）x-8=0.

又64-x30+（-x30）≥16，等號(hào)成立的條件是x0=-2，所以由Δ=x30+64x30+16=0，解得x0=-2.

即切點(diǎn)為E（-2，-4）.

由圖易知，|HE|≥55.

所以8sinx+1cosx的最小值為55.

說(shuō)明?經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換x′=22x+22y，y′=-22x+22y， 雙曲線一支C：xy=8（x<0）的方程變?yōu)镃′：x′2-y′2=16，x′<0，點(diǎn)H（8，1）的坐標(biāo)變?yōu)镠′（922，-722），雙曲線C′左支的左焦點(diǎn)為

F′1（-42，0），易知直線H′F′1的方程為x′+177y′+42=0，聯(lián)立x′=-177y′-42，x′2-y′2=16，解得直線H′F′1與曲線C′的左支交點(diǎn)為Q′（-43215，-7215），此時(shí)|Q′H′|=16915>

55，即直線H′F′1與曲線C′在左支的交點(diǎn)Q′不是雙曲線左支上到點(diǎn)H′的距離最近的點(diǎn)，下面從參數(shù)方程的角度給出距離最小值的求法.

解法12?設(shè)過(guò)點(diǎn)H′（922，-722）的直線參數(shù)方程為x′=922+tcosθ，y′=-722+tsinθ（t為參數(shù)），θ∈（0，π4）∪（3π4，π），代入C′：x′2-y′2=16，得

t2cos2θ+（92cosθ+72sinθ）t=0，

解得t=-2·9cosθ+7sinθcos2θ.

令h（θ）=9cosθ+7sinθcos2θ，則

h′（θ）=sin2θ（9cosθ+7sinθ）+9sinθ+7cosθcos22θ.

令h′（θ）=0，解得θ=θ0，其中

sinθ0=1010，cosθ0=-31010.

當(dāng)θ∈（3π4，θ0）時(shí)，h′（θ）>0，h（θ）單調(diào)遞增；當(dāng)θ∈（θ0，π）時(shí)，h′（θ）<0，h（θ）單調(diào)遞減.

所以當(dāng)θ=θ0時(shí)，h（θ）有最大值h（θ0）=

-5102，所以t有最大值55，即曲線C′上的點(diǎn)到點(diǎn)H′距離的最小值為55.

事實(shí)上，上述過(guò)程也可不經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，直接利用直線的參數(shù)方程求解得到t=8cosθ+1sinθ.經(jīng)過(guò)以上探究，便可以找到相似的高考真題.

例?（2021年全國(guó)乙卷理11）設(shè)B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上頂點(diǎn)，若C上任意一點(diǎn)P都滿足|PB|≤2b，則C的離心率的取值范圍是（??）.

A.［22，1）????B.［12，1）

C.（0，22］D.（0，12］

1.6 線性規(guī)劃視角

解法13?設(shè)sinx=m，cosx=n，m，n∈（0，1），則

m2+n2=1.

令8m+1n=z，則

n=mmz-8=1z+8/z2m-8/z.

構(gòu)造函數(shù)h（x）=1z+8/z2x-8/z，其中z為常數(shù)，對(duì)應(yīng)圖象為曲線C，可由y=8/z2x的圖形向右平移8z個(gè)單位，向上平移1z個(gè)單位得到，求z的最小值，即求1z的最大值.由圖3知，當(dāng)曲線C與x2+y2=1（x>0，y>0）相切時(shí)，1z取得最大值，z取得最小值.

設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則x20+y20=1，切線的斜率為k1=-x0y0.

又函數(shù)h（x）=1z+8/z2x-8/z在點(diǎn)（x0，y0）處的切線斜率為k2=h′（x0）=-8（x0z-8）2，其中y0=x0x0z-8，所以k2=-8y20x20.

由k1=k2知，-x0y0=-8y20x20，解得x0=2y0.

又x20+y20=1，所以x0=255，y0=55.

此時(shí)z=8x0+1y0=55.

所以8sinx+1cosx的最小值為55.

1.7 數(shù)列視角

解法14?由sin2x+cos2x=1知，sin2x，12，cos2x成等差數(shù)列，

不妨假設(shè)sin2x=12-d，cos2x=12+d，d∈（-12，12），sinx=12-d，cosx=12+d，

所以8sinx+1cosx=81/2-d+11/2+d.

由權(quán)方和不等式知

432（1/2-d）12+132（1/2+d）12≥212-32+1·（4+1）32（1/2-d+1/2+d）12=55，

當(dāng)且僅當(dāng)41/2-d=11/2+d，

即d=-310時(shí)，等號(hào)成立.

所以8sinx+1cosx的最小值為55.

1.8 高等數(shù)學(xué)視角

解法15?（偏導(dǎo)數(shù)）設(shè)直線l的方程為8x+y-z=0，z為常數(shù)，曲線C的方程為1x2+1y2=1，x>1，y>1，由二元一次不等式的知識(shí)知，z=8x+y有最小值，無(wú)最大值.

當(dāng)直線l與曲線C相切時(shí)，z有最小值，設(shè)切點(diǎn)（x0，y0），方程1x2+1y2=1兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，-2x-3-2y-3·y′=0，解得y′=-（yx）3.

又因?yàn)樵邳c(diǎn)（x0，y0）處的切線方程為z=8x+y，所以

y′|x=x0=-（y0x0）3=-8.

即y0=2x0.

又因?yàn)?x20+1y20=1，

所以x0=52，y0=5.

則當(dāng)x=52，y=5時(shí)，z=8x+y的最小值為55.

綜上所述，8sinx+1cosx的最小值為55.

解法16?（構(gòu)造拉格朗日函數(shù)） 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L（a，b，λ）=8a+1b-λ（a2+b2-1），a，b∈（0，1），則La=-8a2-2λa=0，Lb=-1b2-2λb=0，Lλ=1-a2-b2=0.

解得λ=-4a3，λ=-12b3，a2+b2=1.

易知a=255，b=55.

所以8a+1b的最小值為55.

即8sinx+1cosx的最小值為55.

拓展?已知常數(shù)a，b>0，x是一個(gè)銳角，那么asinx+bcosx的最小值是（a23+b23）32.

2 結(jié)束語(yǔ)

本題是一道簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單的好題，要求學(xué)生具有較高的創(chuàng)新思維能力與轉(zhuǎn)化化歸能力.因此在平時(shí)的教學(xué)中要及時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，重視通性通法，注意知識(shí)之間的融會(huì)貫通，充分運(yùn)用一題多解、一題多變、多題一解，站在數(shù)學(xué)建構(gòu)的角度讓學(xué)生對(duì)知識(shí)、思想、方法進(jìn)行更深層次的再認(rèn)識(shí).

參考文獻(xiàn)：

［1］

王大成.2022年全國(guó)高考甲卷第23題解析[J].數(shù)理化解題研究，2023（16）：27-30.

[2] 李波.滴水見(jiàn)彩虹 小題亦精彩：對(duì)2015年重慶市高考數(shù)學(xué)文科14題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（04）：40-42.

［責(zé)任編輯：李?璟］