一道二元最值問題的多解性研究

蔡飛

摘?要：最值問題是高中數學教學中的重點內容，也是難點內容.通過對一道基礎題的最值問題研究，將解題方法進行歸類，尋求此類問題的通性通法.

關鍵詞：最值問題構造；解題方法；一題多解

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0077-03

本文主要分析一道二元條件最值問題，從不同的視角去審視，以不同的切入點進行探究.

1 試題背景

題目?已知x2+y2=4，求x+2y的最大值.

2 解法探究

解法1?（向量法）設a=（x，y），b=（1，2），由已知可得a=2，b=5.

所以x+2y=a·b=abcos≤25，當且僅當a和b同向時等號成立.

點評?向量法求解最值問題常用于一次式或確定角度問題.根據條件和結論的特點，將其轉化為向量形式，利用向量的數量積，往往能避免繁雜的湊配技巧，使解答過程直觀又易接受.

解法2?（構造反對稱）

（x+2y）2=x2+4xy+4y2，①

（2x-y）2=4x2-4xy+y2，②

①+②，得

（x+2y）2+（2x-y）2=5x2+5y2=20.

所以（x+2y）2=20-（2x-y）2≤20.

所以（x+2y）max=25，當且僅當2x=y時等號成立.

點評?根據題設條件的特點，構造反對稱將非對稱問題化歸對稱型，此法主要通過構造完全平方式將含xy項消去，同時得到k（x2+y2）.

解法3?（判別式法）令x+2y=m，

所以x=m-2y.

代入x2+y2=4中整理，得

5y2-4my+m2-4=0.

關于y的一元二次方程，

Δ=16m2-20（m2-4）≥0，

解得-25≤m≤25.

所以（x+2y）max=25.

點評?將二元問題轉化為以某個變量為主元的二次方程，當二次項系數不為零時，根據方程有實數解得判別式大于或等于零列不等式，最后通過解不等式求得最值.

解法4?（消元法）根據對稱性可知，當x＞0，

y＞0時，x+2y取得最大值.

因為x2+y2=4，所以y=4-x2，x∈（0，2）.

所以x+2y=x+24-x2.

設f（x）=x+24-x2，則

f ′（x）=1-2x4-x2

=4-x2-2x4-x2.

令g（x）=4-x2-2x，易知當x∈（0，2）時，

g（x）單調遞減，且g（255）=0，所以x∈（0，255）時，f ′（x）＞0，f（x）單調遞增，x∈（255，2）時，f ′（x）＜0，f（x）單調遞減.

即（x+2y）max=f（x）max=f（255）=25.

點評?消元法是解決這類二元最值問題常用的方法之一，通過簡單的構造和化簡，構造一個只含有一個參數變量的函數式，從而將二元函數的最值問題轉化為一元函數的最值問題.

解法5?（利用齊次式化歸一元問題）

根據對稱性可知，當x＞0，y＞0時，x+2y取得最大值.

所以（x+2y）2=4（x+2y）2x2+y2

=4x2+16xy+16y2x2+y2

=4x2/y2+16x/y+16x2/y2+1.

令t=xy，因為x＞0，y＞0，所以t＞0.

構造f（t）=4t2+16t+16t2+1，

f ′（t）=-8（2t-1）（t+2）（t2+1）2，

當t=12，即x=255，y=455時，f（t）max=20.

所以（x+2y）max=25.

點評?齊次化處理往往是解決雙變量最值問題時優先考慮的一種將雙變量轉化為單變量問題的重要手段.本題將待求式進行平方，將待求式與已知式變成齊次式，然后實現消元，將二元問題轉化為一元問題.

解法6?（數形結合）

設x+2y=m，則點（x，y）在直線x+2y=m上.

因為x2+y2=4，則點（x，y）在以O為圓心，2為半徑的圓上.

當直線與圓相切時，m取得最大值

d=m12+22=2.

解得m=±25.

所以（x+2y）max=25.

點評?數形結合是高中數學中的重要方法.本題主要把涉及雙變量的表達式“翻譯”為幾何條件，轉化為線性規劃問題，利用幾何的直觀性，得知雙變量的取值范圍.

解法7［1］?（三角換元）因為x2+y2=4，可設x=2cosθ，y=2sinθ，

所以x+2y=2cosθ+4sinθ=25sin（θ+）≤25，

當cosθ=55，sinθ=255，即x=255，y=455時，

（x+2y）max=25.

點評?三角換元是換元法中比較重要的一種，通過三角換元可將題目中的斜率、最值、范圍等問題轉化為三角函數問題.通常，已知條件為二元二次式（尤其是圓或橢圓方程）時，會考慮三角換元.三角換元是將多變量問題轉化為單變量問題的一種相對高效的解題策略.

解法8［2］?（函數偏導求極值）根據對稱性可知，當x＞0，y＞0時，x+2y取得最大值.

令x+2y=m，對x+2y=m和x2+y2=4分別關于x求導可得：

1+2y′=0，③

2x+2yy′=0.④

③④聯立，得y=2x.

代入x2+y2=4，可得x=255，y=455.

此時為x＞0，y＞0時的唯一極值點.

所以（x+2y）max=25.

點評?在二元函數中，如果要對其中一個變量求導，可把另一個變量視為固定值，則可將二元函數

“當作”一元函數來理解.

解法9?（柯西不等式）

若a，b，c，d都是實數，則（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當且僅當ad=bc時等號成立.

由柯西不等式得

（x+2y）2≤（x2+y2）（12+22）=20.

所以（x+2y）max=25，當且僅當2x=y時等號成立.

點評?本例主要應用柯西不等式的二元形式進行解題.使用柯西不等式時一定要注意已知條件和待求代數式之間的聯系，通過配湊使之滿足定理使用的條件.

解法10?（拉格朗日乘數法）

求目標函數z=f（x，y）在約束條件φ（x，y）=0下的極值，構造拉格朗日函數L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y），其中λ是待定系數，則極值點滿足方程組

fx（x，y）+λφx（x，y）=0，fy（x，y）+λφy（x，y）=0，φ（x，y）=0.

構造拉格朗日函數

f（x，y，λ）=x+2y+λ（x2+y2-4），

令f（x，y，λ）的各偏導數等于0，得

fx=1+2λx=0，fy=2+2λy=0，fλ=x2+y2-4=0.

所以x=-12λ，y=-1λ，x2+y2-4=0.

當λ=-54，x=255，y=455時，

（x+2y）max=25.

點評?拉格朗日乘數法能夠解決多變量、多個約束條件下的最優化問題.在解決多元函數的條件極值中，只需按照解題步驟逐步推進即可.

3 結束語

本文解法中利用代入消元、齊次式消元、三角換元將二元問題化歸為一元問題，從而實現模型的簡化.消元思想是高中數學常用的思想方法之一.在柯西不等式的使用中，本文主要利用了柯西不等式的向量形式和二維形式.在解決不等式或最值問題中，柯西不等式的使用往往能起到化繁為簡的效果.另外，數形結合的方法在數學中也是重要的思想方法.文中還補充了函數偏導求極值以及拉格朗日乘數法求條件極值兩種方法.對于高中生而言，掌握上述兩種方法，對于復雜的多元問題更容易上手.對于最值問題，沒有通法通解，需要我們從不同的維度去思考分析，找到適合自己的方法.

參考文獻：

［1］甘志國.例談用三角換元法解重點大學自主招生試題[J].數理化解題研究，2019（10）：34-37.

[2]余鐵青.例談條件極值在多元函數最值問題中的應用[J].數理化解題研究，2020（22）：5-6.

［責任編輯：李?璟］