初中數學中數形結合思想的應用

陳磊

摘要：數形結合思想是中學數學的重要思想，能夠幫助學生有效提高學習數學的能力，發展思維能力，培養學習數學的興趣，本文中以數形結合思維為基礎，分析數形結合思想在初中數學解題中的作用，探討數形結合思想在初中數學解題中的應用，以提升初中數學的教學質量和效率.

關鍵詞：初中數學；數形結合；運用舉例

1 利用數軸解決相關問題

利用數軸可以解決不等式問題、中位數和眾數問題等.解不等式是初中數學中一類典型的數形結合問題，不等式是初中數學的一個重要內容，而數軸對解答不等式問題具有重要作用，不僅要求學生可以解出一元一次不等式，還要求學生能用數軸標出不等式的解集，此內容在中考數學中出現的概率很大.利用數軸可以清晰直觀地表示數，降低問題難度，有助于解題.值得注意的是，解一元一次不等式中的過程中要關注是否變號（當未知數的系數為負數時，系數化1后不等式的不等號要改變方向，例如“<”要變為“>”）、數軸上的實心圓和空心圓是否正確（“≤，≥”對應實心圓，而“<，>”對應空心圓）.

例1不等式組x≥-2，x<1的解集在數軸上表示為（）.

思考：解答不等式的解集問題時，為了將不等式的解集在數軸上清晰地表示出來，重點要表示出界點，關注界點是否實心，以及解集對應的開口方向是否正確.本題涉及界點，則重點在于判斷界點是否實心及解集對應的開口方向.

解：x≥-2是從-2出發向右畫出的線，且-2處是實心點.

而x<1從1出發向左畫出的線，且1處是空心點.

故正確答案選：A.

拓展訓練1今年6月11日，某省份的九個地區最高氣溫和最低氣溫如圖1所示，則這九個地區該天最高氣溫的眾數為（）.

A.27℃

B.29℃

C.30℃

D.31℃

分析：本題考查了眾數的意義，注意眾數可以不止一個.可以在數軸上分別表示出九個地區的溫度，數據每出現一次就標記一次，出現最多的溫度就是眾數.

解：根據眾數的概念，如圖2所示，標記最多的是31℃.

故正確答案選：D.

2 利用直角坐標系解決函數問題

函數問題在初中數學中占有半壁江山，常見的函數類型包括反比例函數、一次函數以及二次函數等，而解答函數問題往往對學生的邏輯能力有較高要求，因此根據數形結合的特點，數形結合思想成為求解函數問題的有效工具.解答函數問題時，為了讓復雜的函數形象化，一般需要畫出函數的圖象，把握函數關系式中參數的作用.特別注意的是，學生要熟練掌握函數關系的類型.

例2如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+3與y軸交于點A，過點A與x軸平行的直線交拋物線y=13x2于B，C兩點，則BC的長為.

分析：解答二次函數相關問題時，要注意函數圖象的四個重點，即開口方向、對稱軸、頂點坐標和特殊點，特別是與x軸或y軸的交點.

解：由題意得，點A的坐標為（0，3）.

所以過點A與x軸平行的直線的方程為y=3.

將y=3代入y=13x2，得3=13x2.

解得x=±3.

故BC的長為6.

拓展訓練2如圖4，已知二次函數的圖象經過A（2，0），C（0，12）兩點，且對稱軸為直線x=4，設頂點為P，與x軸的另一交點為B，求二次函數的表達式及頂點的坐標.

分析：本題可以先設出二次函數的表達式，再將圖象的已知信息代入解析式中，計算得到參數即可得二次函數表達式和頂點坐標.

解：設二次函數的表達式為y=ax2+bx+c（a≠0）.

由題意，可得-b2a=4，c=12，4a+2b+c=0.

解得a=1，b=-8，c=12.

所以二次函數的表達式為y=x2-8x+12.

故點P的坐標為（4，-4）.

3 利用圖形解決實際問題

利用圖形還可以解答以生活實際為背景的問題，例如概率問題和三角函數問題等.對于簡單的概率問題，可以利用樹形圖表示出關系，使得題目更加簡單化、直觀化.解決實際問題一般需要根據題意畫出圖形，并利用圖形中得到的幾何關系求解，

“如教師在對三角函數進行講解時，教師可以引申到解析三角形的應用上面來”.

一般出現在選擇題或解答題中，難度不高，但較為繁瑣，畫出圖形有助于找出其中隱藏的關系.

例3有A，B兩個黑色的盒子，A盒中有3張紙條，分別標有數字0，2，5，B盒中也有3張紙條，分別標有數字0，1，4，則6張紙條除了數字不同以外沒有任何不同，從A，B中各自隨機拿出一張紙條，用樹狀圖的方法，求拿出的兩張紙條上數字之和等于6的概率.

分析：概率問題含有較強的邏輯性，若只在腦海中思考則解題有較大的難度，而利用數形結合更容易得到答案.本題主要考查計算隨機事件概率的方法，由樹狀圖求得所有等可能的結果與“摸出的兩個球上數字之和是6”的情況，利用概率公式即可求解.

解：如圖5所示，

故“兩張紙條上數字之和等于6”的概率P=29.

拓展訓練3如圖6所示，有一個晾衣支架放置在水平地面上，已知支架的兩條邊OA，OB的長108 cm，OA與水平方向OC的夾角為59°，求點A，B之間的距離（精確到0.1 cm）.

分析：本題需要利用數形結合求解，根據題意畫出等腰三角形OAB，過點O向AB作高，交點為D，則OD為△OAB的中線，將問題轉化到直角三角形OAD中求解即可.

解：根據題意可得圖7，過點O作OD⊥AB于點D.

在Rt△AOD中，則有

∠OAD=∠AOC=59°.

又cos∠OAD=ADOA，OA=108，所以

AD=108cos 59°.

所以AB=2AD=2×108×0.52≈112.3（cm）.

答：點A，B之間的距離約為112.3 cm.

從上述內容可以看出，數形結合對解答教材中數學問題具有不可或缺的作用，在數學教學活動中正確運用數形結合思想.

數與形的關系是初中數學教學的重要內容，熟練掌握運用數軸、圖形和直角坐標系等解答相關問題的思路，為后續的學習打下堅實基礎.

參考文獻：

王美玲.初中數學課程教學中數形結合思想的運用探討.數學學習與研究，2015（16）：132，134.

騰敏.初中數學教學中數形結合思想的運用研究.求知導刊，2015（24）：132.