二次函數動點問題解題教學設計

陳進發

摘要：二次函數動點問題作為中考數學的壓軸題，在一定程度上能夠拉開學生中考數學成績的差距.從學生的做答情況和數據統計來看，學生對二次函數動點問題的掌握情況并不樂觀.本文中結合二次函數動點問題中的面積最值問題和特殊點存在問題的典型例題，分析了對應題型的解題思路與方法.

關鍵詞：初中數學;二次函數;動點問題

二次函數動點問題一直是初中學生的學習重點.由于二次函數動點問題能夠綜合幾何、方程、一次函數、不等式等多個內容，考查模式多樣，因此二次函數動點問題備受命題人的喜愛，二次函數動點問題也通常會作為壓軸題出現在中考數學試卷上.一道綜合性的二次函數動點問題往往需要教師花費一節課的時間帶領學生探究，這大大降低了課堂的教學效率，不利于學生數學成績的提高.筆者把自己對二次函數動點問題中兩個常見題型解題教學設計呈現給大家，供大家討論并批評指正.

1 教學分析

1.1 教學目標

知識技能：通過代數和幾何兩個板塊的知識進行解決.

數學思考：建立數感和符號意識，提高學生的思維邏輯能力和空間想象能力.

情感態度：建立二次函數常見動點問題的整體框架，緩解學生的畏難情緒；提高邏輯思維能力和知識應用能力.

1.2 教學重難點

教學重點：掌握解決二次函數中面積最值問題的常見方法.

教學難點：對二次函數中的面積最值問題的分析和解讀；對數形結合、分類討論思想的滲透.

2 教學過程

2.1 復習鞏固

基于前幾節課的復習成果，筆者在本節課初始環節利用課件或多媒體等方式為學生呈現常見的二次函數動點面積問題的解題方法和圖形模型（見圖1）.

圖1二次函數動點問題常見解題模型

設計意圖：引導學生鞏固基礎知識，加深學生的學習印象.同時為接下來的“二次函數動點問題中面積的最大值問題”解題教學奠定基礎.

2.2 二次函數中面積最值問題的解題方法

例1如圖2所示，拋物線y=-12x2+mx+n與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸與點D，已知A（-1，0），C（0，2）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）已知點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線交拋物線于點F.問當點E運動到什么位置時，△BCF的面積最大？并求出△BCF的最大面積以及此時點E的坐標.

分析：第（1）問較簡單，這里從略.

第（2）問是常見的動點面積最值問題，筆者先提出幾個具體問題，再引導學生進行探究.具體問題如下：

問題1大家能否根據題中所給信息畫出△BCF的草圖？

問題2利用割補法如何表示出△BCF的面積？

問題3如何求得△BCF面積的最大值？

引導學生進行自主探究或合作探究，對學生的解題思路一對一講解和評價，提高學生的學習積極性.解題思路如下：

（Ⅰ）根據問題（2）中的描述，可以作出△BCF的草圖（見圖3）.

（Ⅱ）由圖3，將S△BCF切割為S△CEF+S△BFE，經過化簡可知本質上是求12EF·OB的最大值.

（Ⅲ）求△BCF面積的最大值，即求EF·OB的最大值.而OB的長度已知，則本問重點在于求出線段EF的長度.具體解決方法如下.

根據點E和點F在拋物線上的位置，我們可以得知兩點的橫坐標相同，因此可以設點E的坐標為a，-12a+2，點F的坐標為a，-12a2+32a+2，由此可以算出EF=-12a2+2a（0＜a＜4）.再根據三角形面積公式求出S△CBF=-（a－2）2+4.這樣就可以很明顯地發現，當a=2時，S△BCF有最大值，且最大值為4.

設計意圖：引導學生應用三角形面積公式解得面積最值問題，通過列舉清晰明了的任務，促使學生獲得明確的解題思路和解題過程，推動學生二次函數動點問題解題能力的提升.

2.3 二次函數動點問題中特殊點存在問題解題思路

例2如圖4所示，已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，該拋物線的對稱軸為直線x=1，且A（-1，0），B（3，0），連接BC.問對稱軸上是否存在一點P，使得△CPA是以AC為腰的等腰三角形.若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

分析：該題是常見的動點求特殊點問題，筆者先提出幾個具體問題，再引導學生進行探究.

問題1以AC為腰的等腰三角形APC共有幾種情況？

問題2利用等腰三角形的哪些知識判定△APC為等腰三角形？

問題3如何求點P的坐標？

在列舉出三個問題后，引導學生對任務進行逐一解答.解題思路如下.

（Ⅰ）根據已知條件，以AC為腰的情況共有兩種，即以A為頂點和以C為頂點的等腰三角形.

（Ⅱ）可以利用“兩條邊相等，則該三角形為等腰三角形”進行分析，可以得出AC=AP或AC=PC.

（Ⅲ）先求出AC，AP，PC的長度.易知OC（0，3），設點P的坐標為（1，a），則

AC=12+32=10，AP=22+a2，CP=12+（a－3）2.

下面分類討論：

①當AC=AP時，解得a=±6，

則P（1，6）或（1，-6）.

②當AC=PC時，解得a=0或6，

則P（1，0）或（1，6）.

綜上可知，點P的坐標為（1，6）或（1，-6）或（1，0）或（1，6）.

設計意圖：引導學生對三個小問題逐一解答.將原問題拆分成幾個小問題進行分析，在此過程中滲透數形結合、分類討論等思

維方法，以便疏通學生的解題思路.

3 總結

綜上所述，二次函數動點問題教學具有復雜性、多樣性等特點.教師要充分挖掘二次函數動點問題的代表性題型，基于典型題目為學生提供具體的解題思路.只有這樣才能有效緩解學生的畏難情緒，提高學生的學習興趣，并逐步培養邏輯思維能力和知識應用能力，進而有助于綜合能力的提升和發展.

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