小學生數學逆向思維能力培養的三個維度

[摘 要]逆向思維能力是小學生應當具備的一種思維能力，它能為學生的其他類型的思維發展奠定堅實的基礎。在小學數學學科教學中，教師要創設逆向思維的時空，滲透逆向思維的方法，創新逆向思維的評價，讓學生敢于“逆向”，善于“逆向”，樂于“逆向”。逆向思維是一種高階思維，通過逆向思維能力的培育，會使學生的數學學習更清晰、更明朗。

[關鍵詞]小學數學；逆向思維；思維通透

思維是世界上最美的花朵，培養學生的思維能力是數學學科教學的重要目標。在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中描述數學學科核心素養內涵要素的時候，強調要讓學生“學會用數學的思維思考現實世界”，這就是對思維能力培養重要性的強調。在培養學生思維能力的時候，正向思維往往是教師所重視的，從給出的條件到得出的結論，都是在培養學生的正向思維。相比較而言，逆向思維的培養容易受到教師的忽視，因為逆向思維在解題過程中表現得不太明顯，且正向思維能夠幫助學生解決大多數習題，因此被忽視也就顯得情有可原。但事實上，逆向思維是學生思維的重要品質，應當在教學中受到高度重視。在小學數學學科教學中，學生的思維通常是以正向思維為主，而鮮能有逆向思維。因此，學生的思維往往容易固化、窄化、淺化、弱化。培育學生的逆向思維，就是要鼓勵學生在正向思維之外，能從事物或問題的相反方向展開思考，不僅能從條件出發推導結論，而且能從結論出發索需條件。如果說，正向思維是一種常規思維的話，那么，逆向思維就是一種非常規性思維。實踐證明，培育學生的逆向思維，有助于讓學生的思維走向活化、靈動化，有助于學生思維走向發散、走向通透。可以這樣說，逆向思維的品質是培育學生通透性思維、發散性思維的基礎。如果學生沒有形成逆向思維的品質，那么學生的思維是很難發散的。從這個意義上說，逆向思維是學生的一種高階思維。

一、創設逆向思維時空，讓學生敢于“逆向”

逆向思維是一種質疑性、批判性思維。擁有逆向思維的人，往往不滿足于思維現狀，總是試圖尋找新的思維突破口。逆向思維能打破學生的思維定式，能突破學生的思維習慣，讓學生在數學學習中尋獲一種新路徑、新策略。作為教師，要尊重學生的逆向思維、理解學生的逆向思維，點撥、啟發、引導學生的逆向思維，從而豐富、完善學生的逆向思維。

教師要鼓勵學生“大膽地猜想”，引導學生“小心地驗證”。尤其是要尊重學生的直覺、假設，讓學生能駕馭自己的思維。只有這樣，才能激發學生的逆向思考興趣，調動學生的逆向思考積極性，發掘學生的逆向思考創造性，讓學生逆向思考直面對象、直通思想。教學人教版小學數學教材六年級上冊“倒數的認識”這一部分內容時，在引導學生寫一組數（包括整數、分數單位、真分數、假分數）的倒數之后，筆者引導學生觀察這些數的倒數：你發現了什么？借此，為學生打造一個逆向思維的時空。有的學生發現，分數單位的倒數是整數；有的學生發現，整數的倒數是分數單位。由此激發學生的思維：真分數的倒數是假分數，假分數的倒數是真分數嗎？假分數的倒數是什么數？什么數的倒數是真分數呢？由此掀起學生的逆向思維風暴：乘積是1的兩個數互為倒數，互為倒數的兩個數的乘積一定是1嗎？這樣的一種逆向思維，不僅能讓學生厘清數學學科知識的本質，而且能讓學生的思維變得靈動起來。在數學教學中，教師不僅要引導學生將條件作為條件推導結論，同時更要引導學生將結論作為條件，看能否推導出原來的條件作為結論。通過這樣的“正逆”推導，學生的思路將更為開闊，學生的思維將更為嚴謹，學生的思考將更為深刻。

創設逆向思維時空，能讓學生的逆向思維走向自由、疏朗的境境。一般來說，教師可以在學生的正向思維受阻、受困、游離、障礙處，引導學生的逆向思維。作為教師，要善于捕捉培育學生逆向思維的契機，打造學生逆向思維的平臺，讓學生敢于逆向思維、樂于逆向思維、善于逆向思維，讓學生在逆向思維過程中獲得一種成功的感受、體驗。教師要引導學生將正向思維與逆向思維結合起來，讓正向思維和逆向思維相互促進、相輔相成、相得益彰。

創設逆向思維時空，主要是從學生的角度來設計讓學生擁有逆向思維生長的空間。這是一個重要的前置性條件，原因在于學生的任何思維都是需要時間與空間的。特別是小學生的逆向思維要想在數學知識學習與運用的過程中得到培養，教師就必須要讓學生在足夠充裕的時間與空間里萌發逆向思維生長的種子，并且用足夠的時間與空間來保證逆向思維有生長的機會。大量的實踐經驗均表明，小學生在逆向思維的培育，需要在足夠的時間與空間里進行，同時還需要有安全的心理環境。因為學生感受到的壓力越小，認為自己的逆向思維不會受到批評的時候，他們就越能夠放開思考，此時即使學生思維的時候有所出錯的話，他們也能夠在討論交流的過程中有所發現，從而有所調整，這本身就是逆向思維培養的正常過程，教師要允許這些過程的發生，要用積極性的評價來驅動逆向思維培養的發生。

二、滲透逆向思維方法，讓學生善于“逆向”

逆向思維是一種思維的方法。在日常的數學教學中，教師要引導學生逆向思維，鼓勵學生自我追問、自我發問；鼓勵學生執果索因，從問題出發進行思考；鼓勵學生從反面進行思考，等等。換言之，逆向思維就是要引導學生在命題、逆命題、否命題和逆否命題之間展開思考。通過逆向思維，學生能感受、體驗到命題與逆否命題的同真同假。

在數學學科教學中培育起的學生的逆向思維，一般來說有三種類型，也就是“反轉型”“轉換型”“缺點型”等。所謂“反轉”，也就是從命題的相反方向來展開思考。實踐中，教師可以引導學生從事物的結構、功能、因果關系等方面，變條件為結論、變結論為條件而展開思維。所謂“轉換”，也就是要求學生在數學學科學習時，要能從數學學科概念、命題等的不同視角、立場來進行思考。也就是鼓勵學生換個角度思考問題。這樣的思考，往往會讓學生感受到數學問題解決策略、思維空間的“別有洞天”。所謂“缺點逆向”思維，就是用命題的漏洞也就是利用事物的缺點來引導學生思考。“缺點逆向”往往能讓學生的數學學習“化被動為主動”“化尷尬為精彩”。教學人教版小學數學教材六年級下冊“成正比例的量”的內容時，筆者引導學生用“正比例關系”來描述描述“成正比例的兩個量”。在此基礎上，引導學生用“表格法”將成正比例的量相對應的數列舉出來，然后引導學生描點、連線，繪制正比例的量的圖像。如一輛汽車每一小時行駛80千米，2小時行駛多少千米？3小時呢？4小時呢？借助于正比例圖像，筆者有意識地引導學生展開逆向思維：表示1行駛80千米的點在哪里？表示2小時行駛160千米的點在哪里？哪一個點表示3小時行駛240千米？圖像中的點和汽車的速度之間存在著怎樣的關系？通過引導學生正向、逆向思維，讓學生感受、體驗到圖像上的點與汽車速度的一一對應性。通過引導，學生還深刻地認識了正比例圖像實質上是兩種數量關系的一種圖像化、圖形化表達。通過這樣的逆向思維培育，能讓學生在數學學習過程中遇到一個概念、命題時，會自覺地發問“逆命題”“否命題”乃至于“逆否命題”。

培育學生的逆向思維，既是一門科學，也是一門藝術。教學中，教師還可以滲透融入“反證法”“歸謬法”，讓學生通過假設結論為偽命題，通過引導學生推理得出題設中的“自相矛盾”，進而間接地證明結論的正確性。作為教師，既要引導學生由因導果的正向思考，也要引導學生展開執果索因的逆向思考。要讓學生的正向思維與逆向思維相互補充、相互促進。無論是正向思維還是逆向思維，都要求學生思維的嚴謹性、嚴格性、嚴密性。

從方法的角度來闡釋逆向思維的培養，本質上是讓學生在逆向思維生成的過程中有著更加高的效益。需要指出的是，強調方法的運用與上面所強調的足夠時空賦予是不矛盾的，時空賦予是為了讓學生有足夠的時間與空間去自主思考，方法的指導是為讓學生在體驗逆向思維的時候有更多的方向性認識。兩者的結合，可以讓逆向思維的培養過程更加高效。除了教師提供的方法之外，很多時候也可以讓學生自己去摸索方法，這一過程通常都是伴隨著逆向思維體驗而展開的，切身的體驗加上方法的引領，學生對逆向思維的理解就會更加深刻，這對逆向思維能力的養成有著相當積極的促進作用。

三、創新逆向思維評價，讓學生樂于“逆向”

在引導學生展開逆向思維的過程中，教師要對學生的逆向思維進行評價。教師要激發學生的逆向思維激情，讓學生善于逆向、樂于逆向，讓逆向思維成為學生的數學思維的重要方式。教師不僅要評價學生的逆向思維成果、結果等，更要評價學生的逆向思維過程。不僅教師要對學生的逆向思維評價，而且要引導學生對自我的逆向思維進行評價，引導學生對伙伴的逆向思維評價。多元化的評價主體、評價方式，能有效地激發學生的逆向思維興趣，調動學生的逆向思維積極性。逆向思維是一種創新性思維，能讓學生立足于學習對象的多方面屬性包括本質屬性展開深入的、深刻的、深度的思考。

在小學數學教學中，教師要鼓勵學生求異、求變、求通。通過逆向思維，能讓學生突破思維蹈矩，能讓學生的數學學習走向智慧、走向創新。要引導學生追求“與眾不同”的思維，讓學生在思維中打破傳統、常識、慣例，讓學生的數學思維不再固化、僵化、弱化，而是走向靈動化、多元化、創新化。要培育學生的反思性、反省性、反芻性的思維，鼓勵學生“回頭看”，鼓勵學生展開批判性審視。教學人教版小學數學教材四年級上冊“垂線和平行線”這一部分內容時，筆者不僅引導學生緊扣教材中的“垂線的定義”“平行線的定義”，即“兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足”“同一平面內兩條不相交的直線是平行線”，而且進一步啟發學生：垂線一定是在同一平面內嗎？平行線一定是在同一平面內嗎？想一想，同一平面內的兩條直線的位置關系有哪些？在空間中的兩條直線又有哪些位置關系？平行線就是不相交的兩條直線嗎？平行線就是在同一平面內不相交的兩條直線嗎？平面內的兩條垂線是怎樣的？空間中的兩條垂線是怎樣的？通過這樣的反思，不僅促進學生對垂線、平行線等的概念本質深化認知，而且拓展、延伸了學生的數學思維，讓學生的數學思維從平面走向了空間。盡管筆者的追問已經讓學生的數學學習范圍超越了教材，但這樣的一種超越是無可厚非的，它能有效地發展學生的數學思維。作為教師，要引導學生將正向性思維與逆向性思維相結合，讓學生的正向思維與逆向思維互動，能讓學生的數學學習走向豐富、走向深刻、走向通透。在學生展開逆向思維的過程中，教師要跟進學生的逆向思維，適度介入學生的逆向思維，對學生的逆向思維進行積極的、有效地評價，從而進一步促進學生的逆向思維。

教師應當充分重視發揮評價的作用，學生也能夠充分感覺到評價的作用。尤其是對于小學生而言，他們的學習體驗很大程度上來自于教師的評價，教師一個鼓勵的眼神，能夠讓學生興奮許久，學生興奮的時候通常也就是思維活躍的時候。因此在逆向思維培養的過程中，教師要充分利用好評價這一工具，要讓學生在逆向思維生長的過程中得到充足的營養，形成重要的動力，這樣可以讓逆向思維能力的養成過程更加符合教學的需要。在運用評價時候，教師要關注學生逆向思維的過程，重點對學生的思維亮點與困境進行評價：當學生思維有亮點的時候，教師就要圍繞逆向思維的特點進行激勵性評價，以讓該學生在感受到成功感的同時，能夠讓其他也感受到逆向思維的魅力；當學生的思維遇到阻礙的時候，教師就要給學生指出問題出在哪里，然后告訴他只要怎樣思考就能夠取得成功。事實證明，通過這樣的評價，就能夠對學生的思維產生引領作用，從而讓學生的逆向思維過程變得更加順利。

總而言之，逆向思維是一種“反其道而行”的思維，也是一種“以終為始”的思維。在培育學生的逆向思維的教學過程中，教師要以正向思維為基礎，要在發展學生正向思維能力的同時，引導學生“反過來思考問題”，讓學生在以問題分析與解決的過程中形成逆向思維，進一步發展和鞏固逆向思維。這樣實際上是在幫助學生開辟新的問題分析與解決的視角，可以讓思維的寬度與廣度得到拓展，這就是在優化學生的思維品質，是為了讓學生的“數學思維”變得更加完整，學生就可以更好地用數學思維思考現實世界；同時，教師也可以即時“閃回”，倒逼學生的逆向思維；可以即時“追問”，催生學生的逆向思維。通過“閃回”“追問”，對學生的逆向思維進行積極的評價。作為教師，不僅要引導學生叩問學習對象的本質，而且要引導學生叩問學習對象的本源。并對學生的自我追問、叩問進行評價。要讓學生的逆向思維成就學生的數學思維、認知的一種內在需要，成為學生數學學習的理性自覺，成為數學學科核心素養的重要支撐。

參考文獻：

[1]喻平.發展學生數學核心素養的教學與評價研究[M]. 上海：華東師范大學出版社，2021.

[2]尤娜.發展逆向思維 提升關鍵能力[J]. 陜西教育（教學版），2021（04）.

[3]張亞玲. 基于素質教育的小學數學逆向思維教學研究[J]. 新課程，2021（13）.

（責任編輯：姜波）