借助數(shù)形結(jié)合 發(fā)展幾何直觀

王衛(wèi)東

摘? 要：幾何直觀是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。文章基于教學(xué)過(guò)程，逐步闡述如何借助數(shù)形結(jié)合思想，促使學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系的數(shù)形轉(zhuǎn)換的學(xué)習(xí)中，充分積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)形結(jié)合思想的魅力，發(fā)展幾何直觀能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；幾何直觀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》關(guān)于幾何直觀的內(nèi)涵是這樣表述的：幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣。能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；根據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型；利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的思路。

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使“點(diǎn)”與“數(shù)”有了和諧的統(tǒng)一。數(shù)可以用直線上的點(diǎn)來(lái)表示，反之直線上的點(diǎn)也可以用數(shù)來(lái)表示；絕對(duì)值與距離的關(guān)聯(lián)，讓點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以用數(shù)來(lái)表達(dá)；平面直角坐標(biāo)系的建立，讓“數(shù)”和“形”有了完美的結(jié)合。也就是說(shuō)，可以用代數(shù)的方法來(lái)研究解決幾何問(wèn)題，也可以從幾何的視角研究解決代數(shù)問(wèn)題。初中階段，數(shù)形結(jié)合是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想，也是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要路徑之一。

在用代數(shù)的方法研究解決幾何圖形問(wèn)題和借助幾何圖形研究解決代數(shù)問(wèn)題中，平面直角坐標(biāo)系是有效的數(shù)學(xué)工具，也是數(shù)形結(jié)合的平臺(tái)。在平面直角坐標(biāo)系中，有序數(shù)對(duì)可以用來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，還可以刻畫(huà)圖形的位置和形狀。它能描述兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系，讓學(xué)生利用靜態(tài)的圖形研究動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程。下面以浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“4.3 坐標(biāo)平面內(nèi)圖形的軸對(duì)稱和平移”第1課時(shí)的教學(xué)為例，嘗試引導(dǎo)學(xué)生在積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中感悟數(shù)形結(jié)合思想的魅力，發(fā)展幾何直觀能力。

一、明方向，定內(nèi)容，由形想數(shù)

為明確本節(jié)課數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究方向和學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師先展示一組能體現(xiàn)圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)變化在日常生活中應(yīng)用的圖片（略），并設(shè)計(jì)一組問(wèn)題鏈讓學(xué)生進(jìn)行自主探究和實(shí)踐操作。

問(wèn)題1：從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度看，這些圖片所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)可以分為幾類？分類的依據(jù)是什么？

問(wèn)題2：分別說(shuō)說(shuō)軸對(duì)稱圖形和圖形的對(duì)稱軸，兩者的概念和性質(zhì)各是什么？

問(wèn)題3：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中作出線段AB關(guān)于y軸對(duì)稱的線段[A′B′，] 分別寫出點(diǎn)A，B，[A′，B′]的坐標(biāo)，并觀察A，B兩點(diǎn)，以及與它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)[A′，B′]的坐標(biāo)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

本環(huán)節(jié)是從日常生活的具體事例中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)，觸發(fā)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)簡(jiǎn)單作圖和回答問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到新知識(shí)的探究中，從而明確本節(jié)課的研究方向和學(xué)習(xí)內(nèi)容。這是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。從觀察現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，到在平面直角坐標(biāo)系中作軸對(duì)稱圖形，再到寫相應(yīng)的坐標(biāo)及最后思考各坐標(biāo)的特征，這是從幾何直觀（作圖）到代數(shù)表達(dá)的一個(gè)由“形”到“數(shù)”、發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的活動(dòng)過(guò)程。在這個(gè)數(shù)學(xué)思維過(guò)程中，學(xué)生能夠基本確定本節(jié)課主要是研究“數(shù)”和“形”的關(guān)系。

二、引入數(shù)，升華形，由形助數(shù)

在平面直角坐標(biāo)系中，研究點(diǎn)的變化規(guī)律是研究平面直角坐標(biāo)系中圖形問(wèn)題的基本路徑之一。新知識(shí)和新方法的探究應(yīng)該符合低起點(diǎn)、小切口的原則，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的探究過(guò)程。在問(wèn)題的解決過(guò)程中，學(xué)生受限于個(gè)人的思維水平和能力差異，所獲得的經(jīng)驗(yàn)和抽象概括內(nèi)容是不同的。因此，在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)該提倡合作交流，發(fā)展學(xué)生的批判思維和質(zhì)疑精神。如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作交流呢？這時(shí)，教師可以引入對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)這種“數(shù)”的思考，讓學(xué)生在思考中得到對(duì)刻畫(huà)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中這種“形”的深度體驗(yàn)。

問(wèn)題4：在圖2中分別作出點(diǎn)[A2，3]關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1，以及關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A2，并寫出點(diǎn)A1，A2的坐標(biāo)，比較對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問(wèn)題5：取不同的點(diǎn)，再次驗(yàn)證你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并與同伴交流。

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)[Aa，b]關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為[a，-b，] 關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為[-a，b。] 在寫點(diǎn)A1，A2坐標(biāo)的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了由特殊到一般的提出猜想、驗(yàn)證猜想的思維過(guò)程。最后，由點(diǎn)的軸對(duì)稱（形）到發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)（數(shù)）規(guī)律，學(xué)生經(jīng)歷了由形到數(shù)的體驗(yàn)、感悟過(guò)程。在與同伴的交流過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了質(zhì)疑、批判、評(píng)價(jià)、決策的過(guò)程。而問(wèn)題鏈的解決，是從引入“數(shù)”開(kāi)始，以升華“形”結(jié)束的，是一個(gè)幾何直觀與代數(shù)表達(dá)相融合的過(guò)程，使學(xué)生體驗(yàn)到了“數(shù)”和“形”是相輔相成的。

三、形助數(shù)，尋路徑，由形定數(shù)

為進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，使學(xué)生能從觀察“形”的結(jié)構(gòu)特征得到“數(shù)”的表達(dá)特征，從“數(shù)”的表達(dá)特征想象“形”的結(jié)構(gòu)特征，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，這就要求教師倒推教學(xué)過(guò)程中問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)，從而促使學(xué)生再度探究數(shù)與形的關(guān)聯(lián)，尋找解決問(wèn)題的路徑。

問(wèn)題6：如圖3 ，作出點(diǎn)[A2，3]關(guān)于直線x = -1的對(duì)稱點(diǎn)A1，以及關(guān)于直線y = 1的對(duì)稱點(diǎn)A2，并寫出點(diǎn)A1和A2的坐標(biāo)。

問(wèn)題7：在問(wèn)題6中，連接AA1交直線x = -1于

點(diǎn)M1，連接AA2交直線y = 1于點(diǎn)M2，直接寫出點(diǎn)M1和M2的坐標(biāo)。

問(wèn)題8：若點(diǎn)[P6，2]和點(diǎn)[Q-2，2]關(guān)于某條直線對(duì)稱，試直接寫出該直線的表達(dá)式。

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)[A2，3]關(guān)于直線x = -1的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為[-4，3，] 關(guān)于直線y = 1的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為[2，-1。] 點(diǎn)[P6，2]和點(diǎn)[Q-2，2]關(guān)于直線x = 2對(duì)稱。因?yàn)閷?duì)稱軸發(fā)生了變化，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)不再是簡(jiǎn)單的符號(hào)變化。因此，在問(wèn)題6和問(wèn)題7中，學(xué)生從作出對(duì)稱點(diǎn)到寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，是對(duì)數(shù)形的淺層結(jié)合。而在問(wèn)題8中，學(xué)生從根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)，到畫(huà)出P，Q兩點(diǎn)的對(duì)稱軸，最后寫出對(duì)稱軸的表達(dá)式，這是一個(gè)具體可操作的可視化過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生探究數(shù)形之間的關(guān)聯(lián)，從形中尋找數(shù)，使得數(shù)形深度結(jié)合，從而獲得一個(gè)具體的、有深度的、數(shù)形結(jié)合的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

四、融數(shù)形，提能力，數(shù)形相融

在明確探究問(wèn)題的線索和研究解決問(wèn)題的方法之后，學(xué)生的學(xué)習(xí)再度走向深入。如何從點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的學(xué)習(xí)深入到點(diǎn)關(guān)于第一、三象限角平分線對(duì)稱的學(xué)習(xí)，以及由此得出任意一個(gè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)的學(xué)習(xí)。此時(shí)，教師應(yīng)該提供關(guān)聯(lián)性知識(shí)和解決問(wèn)題的問(wèn)題鏈，并在問(wèn)題鏈的深度挖掘中使學(xué)生鞏固數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。

問(wèn)題9：寫出點(diǎn)[A2，3]關(guān)于第一、三象限角平分線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，以及點(diǎn)[Pa，b]關(guān)于第一、三象限角平分線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。

問(wèn)題10：已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為[A4，-1，B2，3，] 試寫出線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，并與同伴交流你的思考過(guò)程。

有了前面解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)問(wèn)題9的解決，學(xué)生基本能畫(huà)出如圖4所示的圖形，從而解決問(wèn)題。

對(duì)于問(wèn)題10，大部分學(xué)生無(wú)從下手，少部分學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖猜想出正確答案，但無(wú)法解釋其中的原理。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧并觀察問(wèn)題7中點(diǎn)M1與點(diǎn)A和點(diǎn)A1，點(diǎn)M2與點(diǎn)A和點(diǎn)A2之間的坐標(biāo)關(guān)系，并提出猜想，通過(guò)畫(huà)圖驗(yàn)證猜想是否成立。學(xué)生立刻發(fā)現(xiàn)問(wèn)題7中的點(diǎn)M1的橫坐標(biāo)為[2+-42=-1，] 點(diǎn)M2的縱坐標(biāo)為[3+-12=1，] 而點(diǎn)M1，M2分別是線段AA1和線段AA2的中點(diǎn)，于是提出初步猜想：中點(diǎn)橫坐標(biāo)就是線段兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)之和的一半，中點(diǎn)縱坐標(biāo)就是線段兩端點(diǎn)縱坐標(biāo)之和的一半。因此，問(wèn)題10中的點(diǎn)M的坐標(biāo)是[3，1。]

對(duì)于怎樣證明猜想的準(zhǔn)確性，學(xué)生可以利用圖形的軸對(duì)稱性質(zhì)和三角形全等性質(zhì)構(gòu)造圖形來(lái)驗(yàn)證。教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)與坐標(biāo)軸平行的特殊線段中點(diǎn)坐標(biāo)與線段端點(diǎn)坐標(biāo)存在關(guān)聯(lián)，從而引發(fā)學(xué)生猜想：一般情況下的線段中點(diǎn)坐標(biāo)是不是也如此，并利用圖形來(lái)驗(yàn)證猜想是否成立。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了提出猜想、畫(huà)圖驗(yàn)證、證明猜想的全過(guò)程。在與同伴的交流中，學(xué)生則經(jīng)歷了批判、選擇和決策的數(shù)學(xué)思維全過(guò)程，促進(jìn)數(shù)形結(jié)合，進(jìn)一步發(fā)展了幾何直觀能力，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

五、建框架，促思維，形成學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

構(gòu)建學(xué)習(xí)框架，是落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效載體，是尋找解決問(wèn)題的手段和方法，也是解決問(wèn)題的核心環(huán)節(jié)。因此，在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師要學(xué)會(huì)放手，提供給學(xué)生思考的方向和必要的思考時(shí)間，讓學(xué)生自主進(jìn)行歸納小結(jié)。關(guān)于本節(jié)課的學(xué)習(xí)，師生對(duì)以下幾個(gè)方面進(jìn)行歸納小結(jié)。

（1）這節(jié)課的重點(diǎn)是什么？難點(diǎn)是什么？

（2）在平面直角坐標(biāo)系中研究圖形問(wèn)題時(shí)，其研究的基本對(duì)象是什么？從點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，到關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱，再到關(guān)于象限的角平分線對(duì)稱，最后到求平面直角坐標(biāo)系中任意線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，在整個(gè)過(guò)程中，我們解決問(wèn)題的核心方法是什么？

雖然學(xué)生的歸納各有不同，但大家對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想、幾何直觀能力的認(rèn)識(shí)達(dá)成了共識(shí)。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們以兩條坐標(biāo)軸作為對(duì)稱軸，從觀察點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律入手，到如何刻畫(huà)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位置的“形”的思考，從而獲得原始的直接經(jīng)驗(yàn)；再到對(duì)稱軸為直線x = -1和直線y = 1時(shí)，感受點(diǎn)的坐標(biāo)“數(shù)”的變與不變，深入探究變化中的不變性，從而積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；到最后以直線y = x為對(duì)稱軸寫出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，以及拓展到能在平面直角坐標(biāo)系中求出任意一條線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，獲得理性數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)形結(jié)合思想貫穿了整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生獲得了充分體驗(yàn)，逐步發(fā)展了幾何直觀能力。

六、教學(xué)反思

對(duì)于本節(jié)課，如果只按照教材的課時(shí)分配進(jìn)行教學(xué)，教學(xué)內(nèi)容止步在點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱和作圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，那么本課時(shí)的教學(xué)就只是注重教授知識(shí)，忽略了“在平面直角坐標(biāo)系中研究對(duì)稱性問(wèn)題”這條關(guān)鍵教學(xué)主線，也難以對(duì)后續(xù)研究二次函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性和反比例函數(shù)圖象中心對(duì)稱進(jìn)行知識(shí)關(guān)聯(lián)，很難形成系統(tǒng)性的知識(shí)整合。忽視初中階段研究圖形和函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性問(wèn)題，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)體系破碎化，缺乏數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連續(xù)性，限制學(xué)生的思維發(fā)展，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)局限于單一課時(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。我們還要深度思考：這節(jié)課的教學(xué)對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)能起什么作用？對(duì)學(xué)生哪方面的數(shù)學(xué)思想方法有培養(yǎng)和提升作用？對(duì)于幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展提供了什么樣的學(xué)習(xí)路徑？這需要教師繼續(xù)思考、實(shí)踐與提煉。

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