素養觀下數學解題之“取勢、明道、優術”

舒華瑛 張宏江

【摘要】以一道解析幾何問題為例，從“解題思路的探求，解題路徑的探索，問題本質的探究”三個方面闡述如何更好地落實數學學科核心素養.給出解析幾何解題教學中提升學生思維能力，發展學生核心素養的建議.

【關鍵詞】核心素養;取勢明道優術;數學解題

1問題提出

高考命題從“知識立意”到“能力立意”再到“素養立意”，對學生提出了新的要求：不僅會解題，而且要知道為什么要這樣解題，更進一步需要反思、總結、歸納解法，以期找到更為科學、簡便的解題路徑.學生從“被動學習”到“主動學習”再到“學會學習”，從而達到終身學習的目標，實現數學學科核心素養的育人價值.

“取勢、明道、優術”是中國古代的哲學思想，就是指“明確方向，把握規律，辦事有方”．它闡明了做任何事情都應遵循的基本道理，是中華優秀傳統文化中的瑰寶，可以成為我們在深化教育領域綜合改革的新形勢下做好數學教育的指導思想［1］．用于解題中，則是指明確解題方向（取勢）、挖掘明晰本質屬性（明道）、優化解題方案（優術）.這正是學生從“被動學習”到“主動學習”再到“學會學習”，提升學科核心素養的一個基本途徑.

2試題呈現

題目已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）過點M（3，1），且焦距為42.

（1）求C的方程；

（2）已知過點P（2，1）的動直線l交C的右支于A，B兩點，Q為線段AB上的一點，且滿足APAQ=BPBQ，證明：點Q總在某定直線上.

本題以雙曲線為載體，以高等幾何中的調和點列為知識背景，主要通過直線與雙曲線的位置關系，考查數形結合、函數與方程、轉化與化歸等思想方法，對學生的邏輯推理、數學抽象與數學運算能力都有較高的要求.

3解法探究

3.1取勢——探求解題思路，發展邏輯推理素養

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：通過高中數學課程的學習，學生能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題；能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯，把握事物發展的脈絡；形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神，增強交流能力［2］.

對于第（1）問，可以通過建立參數a，b的兩個方程，求得雙曲線C的方程；也可以通過參數a的幾何意義，根據2a=MF1-MF2，求得雙曲線C的方程為x26-y22=1.

對于第（2）問，要抓住直線與雙曲線的位置關系這一問題本質，用坐標運算研究幾何圖形這一基本方法，聯立直線與雙曲線的方程，將其轉化為二次方程根與系數的關系.其思維導圖如圖1：

根據調和點列與極點極線的關系，以及點P為定點，求得點Q在定直線上.這是此類定點定線問題的高等數學背景，在數學競賽中會用到，高考中如果用來解決解答題，需要嚴格的證明.它可以用來驗證解答題的答案，或為其解答提供方向，選擇填空題可以直接運用.這個方法也是教師命制此類問題的依據.

3.3明道——探究問題本質，發展數學抽象素養

數學抽象包括：提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系.數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征［2］.

“一題多變”是探究問題本質的基本方法.通過“一題多變”，深入挖掘問題的條件、結論、條件與結論的關系，找到問題的本質屬性.本題的高等數學背景是“極點極線”，點P為定點，點Q落在定直線上，該直線就是定點P關于曲線的極線；若條件改為點P落在定直線上，則點Q為定點.抽象出這類問題的基本模型是：已知過點P的直線l交二次曲線C：f（x，y）=0于A，B兩點，點Q（P，Q不重合）在直線AB上.若PAPB=QAQB，且點P為定點，則點Q落在定直線上.反之依然成立.所以此題有如下的改編形式：

4教學建議

4.1重視坐標法在解析幾何中的核心地位

在解析幾何的教學中，通過對解題思路的探求，引導學生熟悉解決解析幾何問題的核心方法——坐標法，梳理解決解析幾何問題的一般路徑（如圖2），提升學生的邏輯推理能力.

4.2重視對研究對象的幾何特征的分析

解析幾何中最重要的數學思想之一是“數形結合”.“以數解形，以形助數”是數形結合思想的具體體現.因為解析幾何的研究對象是幾何圖形，把握研究對象的幾何特征，是優化解題方法，發展數學運算素養的重要途徑.所以，教學中要注意“先用幾何眼光觀察，再用坐標法推理、論證和求解”的基本思路，不要忽視“幾何要素分析”這一環.

4.3重視對研究對象的本質與解決問題的程序思想方法的探究

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：教師應該理解與高中數學關系密切的高等數學的內容，能夠從更高的觀點理解高中數學知識的本質［2］.教師在高觀點視角下引導學生通過具體實例抽象出問題的一般結構，對問題的本質進行探究，加深學生對問題的理解，培養學生融會貫通的能力.教師引導學生對解題過程進行復盤，對解題方法進行反思，形成解決一類問題的程序思想方法.長此以往，學生的抽象素養就會得以發展.

參考文獻

章建躍，陳向蘭．數學教育之取勢明道優術［J］．數學通報，2014，53（02）：1-2．

中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂.北京：人民教育出版社，2020.