回顧與展望

【摘要】高三數學復習備考，涉及“函數與不等式”的復習內容有很多，為了高效復習備考，文章從回顧2023年高考數學試卷（僅限于使用廣泛的兩套新高考全國卷）中“函數與不等式”內容的試題入手，結合課程標準分析其命題規律，進而展望2024年新高考數學全國卷中“函數與不等式”內容試題的特點.

【關鍵詞】函數與不等式；導數；函數的單調性；高考；展望

函數是整個高中數學的一條主線，又與不等式緊密聯系，因而“函數與不等式”（注：這里的“函數”不包括三角函數，而“導數”包括三角函數的導數；“不等式”僅指函數不等式，不包括數列不等式）是高三數學復習的重要內容之一.

考生要熟練掌握函數（特別是冪、指、對等基本初等函數及三次函數）的概念、基本性質（包括定義域、值域、單調性、奇偶性與圖象），了解其他性質（包括連續性、周期性、對稱性、有界性、可導性、凹凸性、極值與最值等）.函數最重要的性質是單調性：若求出了一個函數的所有單調區間，就可畫出該函數的圖象，進而可得到該函數的極值、最值、值域等等性質［1］.

2023年高考數學試卷共7套［2］，其使用情況見文.2024年高考數學試卷也是同樣的7套，其中地方自主命題卷3套：北京、天津、上海；全國卷4套（其使用情況謹供讀者參考）：甲卷（分文科與理科，四川、西藏共2個省區使用）、乙卷（分文科與理科，內蒙古、陜西、青海、寧夏、新疆、山西、河南共7個省區使用）、新高考卷Ⅰ（下簡稱卷Ⅰ）（山東、廣東、湖南、湖北、河北、江蘇、福建、浙江共8個省使用）、新高考卷Ⅱ（下簡稱卷Ⅱ）（遼寧、重慶、海南、云南、甘肅、黑龍江、吉林、安徽、江西、貴州、廣西共11個省市使用）.

涉及“函數與不等式”的復習內容有很多，為了高效復習備考，本文將從回顧2023年高考數學試卷（僅限于使用廣泛的兩套新高考全國卷）中“函數與不等式”內容的試題入手，結合教育部制定的《普通高中課程標準（2017年版2020年修訂）》［3］分析其命題規律，進而展望2024年新高考數學試卷中“函數與不等式”內容試題的特點.

文章內容僅代表個人觀點，謹供讀者參考.

1回顧2023年高考數學新高考全國卷中“函數與不等式”內容的試題

2023年高考數學新高考全國卷中的相應試題

函數

1．函數的概念與性質

2.冪函數、指數函數、對數函數

3.函數的應用

4.不等式

2.12其他重點問題

函數零點問題依然是重要題型，函數不等式是難度較大的題目、雙參數問題可能出現（分別見文的第2.7，2.8節；證明函數不等式的常用方法見文）.極值點偏移問題（其難度較大）涉及函數零點及函數不等式，其解法可見文.

讀者還應關注絕對值函數問題的解法（其難度較大）.另外，涉及函數與不等式的多項選擇題、數學文化試題［16］及結構不良問題（比如2021年新高考全國卷Ⅱ第22題）也是近年高考試題的熱點.結構不良問題較結構良好問題多了一項考查功能：考查考生對選項難易程度的甄別，及對所求問題進行合理搭配再完成求解的能力.

《中國高考報告2023》［17］中還提出2023年數學高考的命題變化“數學的命題方式將加入復雜情景，重點強調對數學思維方法的考查”，還提出2023年數學高考命題的四大趨勢：落實立德樹人，鮮明體現時代主題；高考由“考知識”向“考能力”轉變；聚焦“關鍵能力”和“思維品質”的考查；高考由“以綱定考”到“考教銜接”轉變.這些對2024年的數學高考也有重要指導意義.

關于高三數學復習備考策略，在筆者發表的文章中已闡述較多，比如文及其文末列出的參考文獻，有興趣的讀者可研讀.

參考文獻

［1］甘志國.回顧與展望：以高考數學全國卷中函數與不等式的內容為例.中學數學雜志，2022（03）：32-38.

［2］蔣海燕，甘志國.2023年高考“函數與導數”復習指導.中學數學雜志，2023（05）：23-28.

［3］中華人民共和國教育部.普通高中課程標準：2017年版2020年修訂.2版.北京：人民教育出版社，2020.

［4］甘志國.關于函數圖象的對稱性與周期性的幾個結論.數理化學習（高中版），2022（01）：3-4.

［5］甘志國.函數y=lnxx的單調性及其應用.中學數學雜志，2015（11）：34-37.

［6］甘志國.2023年高考數學新課標全國卷Ⅰ第11題的背景是柯西方程.中學生理科應試，2023（08）：17-18.

［7］甘志國.“考查素養、引導教學”是2023年高考數學北京卷的鮮明特色.中學數學雜志，2023（09）：47-53.

［8］甘志國.用指數對數恒等式x=elnx簡便解題.高中數學教與學，2020（05）：7-9.

［9］甘志國.立德樹人服務選才引導教學：賞析2022年高考數學北京卷.中學數學雜志，2022（09）：42-47.

［10］甘志國.簡解2016年高考全國卷Ⅲ文科第21（3）題.數理化解題研究，2017（10）：23.

［11］甘志國.不可忽視的非等價轉化解題.高中數學教與學，2016（03）：13-15.

［12］甘志國.用導數證明函數不等式的4種常用方法.高中數理化，2018（03）：6-8.

［13］甘志國.在極值點偏移問題中證明二元不等式時的兩種常規策略及其優化.數理化學習（高中版），2023（08）：9-13.

［14］甘志國.談談極值點偏移問題的解法：以2021年新高考全國卷Ⅰ壓軸題為例.湖北招生考試，2021（34）：49-53.

［15］甘志國.研究極值點偏移問題的新方法.中學生理科應試，2021（11）：12-14.

［16］甘志國.數學文化與高考研究.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2018.

［17］中國高考報告學術委員會.中國高考報告2023.北京：新華出版社，2023.