大單元視角下章起始課教學探究與思考

王寶強　王高翔

【摘? 要】 根據《義務教育數學課程標準（2022版）》，文章以“多邊形內角和”教學為例，說明教師在課堂教學中落實新課程標準理念時要關注知識內容結構，理清數學學科知識間內在聯系。數學教師在課堂教學中，應對教材進行整合和合理開發，使用教材時應具有創造性；采用啟發式教學方式引導教學，預設特殊到一般、簡單到復雜的問題串，教學生學會學習；開展探究活動，豐富學生的活動經驗，促進學習方式轉變，通過知識的前連后引，讓學生易于整體把握知識結構，從而提高學習效率，促進數學思維的生成。

【關鍵詞】 多邊形內角和；大單元教學；思維發展；啟發式學習

一、義務教育數學課程的核心素養發展

在義務教育階段，數學課程的設計要落實立德樹人的根本任務，其課程目標應立足學生核心素養的全面發展，突出體現數學課程的育人價值。根據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》，數學學科核心素養涵蓋數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等六個方面。而《義務教育數學課程標準（2022版）》則明確提出了初中階段核心素養主要表現為抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識。

學生的核心素養主要體現在“三會”，即用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界。在初中階段和高中階段的核心素養培養之間要進行有機銜接，既注重學生知識的學習和技能訓練，又讓學生參與課堂教學活動，感悟學習過程中的基本思想和方法，積累活動經驗，從而全面提升數學核心素養。

二、拓展性教學策略在數學課堂中的應用

使用開放性教學策略，旨在提升學生的自主學習能力和創新意識。在課堂引入環節中，通過三角形知識點的思維導圖，引導學生類比三角形的知識，激發其對四邊形探究的興趣。在四邊形及多邊形概念學習中，鼓勵學生自主總結，并引導其使用類比思維解決問題。

關聯性教學策略側重于多邊形概念之間的關聯，通過層層遞進的活動，引導學生發現、歸納相通點，進而抽象概括出多邊形的概念。在推導多邊形內角和定理時，從四邊形的內角和開始，逐步驗證猜想，引導學生在解決問題中體會數學的類比轉化思想方法。

本節課借助思維導圖，幫助學生明確探索流程和學習主要內容；利用希沃白板實時展示學生的課堂練習及書寫情況，促進師生間及生生間的交流互動。

三、教學示例

（一）情境導入

導入設計：展示水立方的視頻，同時呈現一張水立方的一面圖片，讓學生在圖片上找出熟悉的多邊形。

設計意圖：通過播放視頻，激發學生對祖國強大國力的感受，并巧妙融入愛國主義教育，樹立他們的強國夢和愛國之心。在水立方的圖片中尋找多邊形，引導學生認識數學源自生活，培養他們的細心觀察和抽象思維能力。

（二）單元知識結構梳理

活動1：展示學生課前準備的三角形知識思維導圖，并邀請學生對展示的作品進行評價和討論。

活動2：展示多邊形思維導圖，然后引導學生根據三角形的思維導圖進行類比聯想，啟發學生思考：在關于多邊形的課程中，他們應該研究哪些內容？以及如何進行這些內容的研究？

設計意圖：通過活動1和活動2，學生將整理所學的三角形相關知識，培養他們的歸納能力和數學語言表達能力。通過回顧三角形知識結構，學生將類比建構多邊形的研究內容和方向，引導他們了解和掌握平面幾何圖形的研究路徑和方法，積累研究這些圖形的經驗，并教會他們學習的方法。

（三）多邊形概念

活動3：每位學生準備兩支筆，在桌面上擺出一個四邊形，并與同桌共同完成。教師拍攝學生的作品并上傳，讓其他同學檢查所擺放的四邊形是否正確。學生觀察他們擺放的四邊形，并類比三角形的概念，嘗試給出四邊形的定義。

教師根據學生的回答，演示如何擺放四根木棒來構成四邊形，并在操作過程中讓學生發現在同一平面內和不在同一平面內兩種情況下的四邊形，一個是平面，一個是立體。通過這種方式，學生能夠自然地理解概念中的難點，并體會到概念的嚴謹性。隨后，以表格的形式引導學生再次嘗試用規范的語言來歸納三角形、四邊形、五邊形和多邊形的概念，通過填表的方式來減輕概念歸納的難度。

設計意圖：通過類比學習，學生能感受到幾何研究的順序性，體會到幾何圖形中的共性。學生用自己的語言總結概念，培養學生數學語言表達世界的能力；通過兩種情況的演示，讓學生學會用數學的眼光觀察世界；通過觀察學生可以直觀地感受到“在同一平面內”和“不在同一平面內”的不同結果，讓學生自然地突破了概念中的難點，并加深了對概念嚴謹性的理解。

（四）探究多邊形內角和

問題1：多邊形研究的要素是什么？

通過合作，學生知道多邊形主要從邊、角兩個角度來研究。學生能明確本節課要研究的內容是什么以及研究的方式方法是什么。

問題2：三角形、矩形、正方形的內角和分別是多少度？為什么？

在課堂教學中向學生滲透基本研究思路：由簡單到復雜，如從三角形、四邊形到多邊形；由特殊到一般，先研究特殊的圖形，如正方形、矩形，再到一般的四邊形。

問題3：關于四邊形的內角和，你有什么猜想？

通過問題2的矩形和正方形的內角和，學生能自然而然地猜想到四邊形的內角和的度數。

問題4：你是如何得到這個猜想？

學生小組討論，通過討論來激發學生的上課熱情和積極思考的興趣，培養學生的合作意識。

問題5：如何驗證你的猜想？

學生拿出手中的學案紙進行驗證，并將驗證的想法和過程說給同組的小伙伴聽，小組派代表展示本組的成果。

如圖1，連接對角線，將四邊形轉化為兩個三角形，再利用三角形內角和定理來求四邊形內角和。

如圖2，將點移動到四邊形邊上，依次連接頂點和該點，四邊形內角和轉化為三個三角形內角和減一個平角的問題，即180°×3-180°=180°×（4-2）。

如圖3，將點移動到四邊形內部，連接四個頂點與該點，這時四邊形內角和轉化為四個三角形內角減去一個周角度數的問題，即180°×4-360°=180°×（4-2）。

如圖4，將點移動到四邊形外部，連接四個頂點與該點這時四邊形內角和轉化為三個三角形內角和減去一個三角形內角和的問題，即180°×3-180°=180°×（4-2）。

通過上述四種方法的探究，不論用何種證法，四邊形內角和都是180°×（4-2），為后面的多邊形的內角和推導做鋪墊。

活動4：你是否可以運用類比的方法，探索五邊形、六邊形，以及更多邊形的內角和，并觀察多邊形內角和與邊數之間的關系？

五邊形內角和=180°×（5-2）

六邊形內角和=180°×（6-2）

……

n邊形內角和=180°×（n-2）

設計意圖：通過引導學生在實踐和思考中推導出四邊形內角和，幫助學生領悟數學中的轉化思想。在研究四邊形的基礎上，激發學生思考如何將五邊形、六邊形等多邊形轉化為多個三角形，并持續延伸至n邊形，引導學生深入思考多邊形的邊數與所轉化三角形個數之間的關系。在這個過程中，學生發現規律，體驗到以“退”為“進”的解決問題策略，培養數學思維和數學文化素養。通過討論四邊形內角和算法在不同位置的變化，拓展學生思維，促使學生合作探索四邊形內角和的規律，并觀察從五邊形、六邊形到n邊形的內角和變化規律，最終推導出多邊形內角和定理，深刻體會多邊形內角和與邊數之間的一次函數關系。

（五）運用新知

問題6：（1）求九邊形內角和；（2）一個多邊形的內角和比四邊形的內角和多720°，求該多邊形的邊數；（3）一個多邊形每個內角都是120°，求該多邊形的邊數。

設計意圖：引導學生練習中靈活運用多邊形內角和定理解決問題，從而使他們深化對該定理的理解和內化。設計的三個練習依次由簡到難，從順向到逆向。第一個練習要求學生直接運用內角和公式鞏固知識；第二個練習先求解內角和，然后逆向運用公式；第三個練習要求學生靈活運用公式。這三個練習都貫穿一個思想：運用已學知識將幾何問題轉化為方程，通過解題過程提升學生的解題能力。

（六）課堂小結

總結提問：本節課學習了什么？你在學習哪塊知識用到什么數學思想方法？你覺得我們后面會研究什么內容？

設計意圖：通過問題式總結，引導學生回顧本節課所學知識，將新學習的內容整合到自己的知識體系中，同時拓展知識體系。通過回顧，學生不僅鞏固解決問題的方法和思想，還能了解到平面幾何圖形研究的歷程，從而為后續學習方向的把握打下基礎。此外，通過對平面幾何圖形的研究，學生能提前了解到圓與多邊形的統一性，為接下來學習圓打下鋪墊。

（七）課后延伸

問題設計：陳同學想要為2024在法國舉辦的奧林匹克運動會設計一種內角和為2024°的多邊形圖案，你認為陳同學的設想能做到嗎？

設計意圖：本題是拓展性作業，是課堂活動的延伸，通過設計符合生活實際的情境，幫助學生進一步了解多邊形內角和公式，同時在生活情境中，學生也能感受到數學的趣味性與生活性。

四、教學啟示

（一）重視結構

根據新課程標準的要求，為了培養學生的核心素養，教學必須以整體的視角把握教學內容，積極推動單元整體教學的實施。這種教學視角既可以自然單元為整體，又可以知識單元為整體。在教學過程中，需要抓住每個章節起始課的教學契機，將章節結構清晰地呈現給學生，幫助他們理順知識脈絡，理解教材編排的意圖，培養他們用數學的眼光看待世界的能力。

（二）以法觸類

學習新知識時，都伴隨著相應的研究思路、路徑和方法。對新知的學習，學生可以借助已學或常見的數學思想和方法來解決問題。這樣做有助于學生以數學的視角觀察、思考和分析問題，并能夠發現并提出問題，然后用適當的方法加以解決。

研究四邊形的內容和方法可以類比研究三角形的內容和方法。例如，可以通過類比三角形的概念來研究多邊形的概念；利用數量關系來描述位置關系；采用特殊到一般、簡單到復雜等方法來探究多邊形的內角和。這樣的做法貫穿了平面幾何研究的一般思路，有助于教導學生學會如何思考。

（三）收放有度

根據新課程標準的要求，教學方式需要選擇能夠激發學生思考的。在學習過程中，學生應該有充足的時間和空間去思考，去發現、探究、討論和完成任務。教師可以設置一些具有挑戰性的探究活動，讓學生展現他們的思維，激發他們的創新潛能，以便高效地完成學習任務。

在本課中，教師首先通過回顧三角形的概念，然后引導學生類比三角形的概念，嘗試總結出四邊形、五邊形等多邊形的共性，并用規范的語言描述多邊形。在探究多邊形內角和時，先探討了正方形、四邊形、五邊形等多邊形的內角和，然后總結出一般性的規律。這兩個活動設置有層次、有遞進，鼓勵思考和合作，使得不同層次的學生都能夠參與課堂活動，并體驗到成功的喜悅。

（四）精細課后

課后作業是課堂學習的延伸，教師要根據“雙減”的要求和培養學生數學核心素養的角度來設計。作業應該體現核心素養，注重學習知識和技能的同時，也要注重作業的開放性。較高的開放性程度可以激發學生的探索精神。因此，作業的設置需要考慮目標和內容的一致性，并且要合理精細。

參考文獻：

［1］ 韓錦平. “雙減”背景下初中數學差異化作業設計探索［J］. 數學之友，2021（06）：57-58.

［2］ 石先兵. 尋跡探源 深思致遠：一道幾何綜合題的教學及思考［J］. 中學數學教學參考，2021（11）：51-53.

［3］ 邢成云. “整體統攝·快慢相諧”的整體化教學［J］. 中國教師，2021（10）：38-41.

［4］ 沈良. “大概念、大任務”視角下的數學單元教學設計［J］. 中學教研：數學，2021（07）：9-13.