多樣化策略孕育優(yōu)化思想

張國全 龔莉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的素養(yǎng)目標(biāo)。教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級下冊第八單元《數(shù)學(xué)廣角——找次品》時(shí)，教師如何設(shè)計(jì)能夠引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多樣化策略解決問題的探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)化思想，落實(shí)“三會(huì)”素養(yǎng)目標(biāo)呢？

一、聚焦簡單問題，初步感知找次品的思路

“找次品”學(xué)習(xí)活動(dòng)具有很強(qiáng)的探究性，教師應(yīng)從簡單問題入手，讓學(xué)生在自主探究中初步感知找次品的含義與基本思路。

課始，筆者用多媒體出示例題：“有3瓶鈣片，其中1瓶少了3片。像這樣不符合標(biāo)準(zhǔn)要求的物品稱為‘次品。我們就把這瓶輕的看作次品。你能設(shè)法把它找出來嗎？”學(xué)生提出用手掂一掂的方法，于是筆者讓幾名學(xué)生上臺實(shí)踐。嘗試之后，學(xué)生都反映質(zhì)量差距太小，感覺不出哪一瓶少了3片。筆者引導(dǎo)：“你們玩過蹺蹺板嗎，它有什么特點(diǎn)？”學(xué)生回答：“玩蹺蹺板時(shí)，重的一端下降，輕的一端上升。”“什么工具能像蹺蹺板那樣，幫助我們直接找出次品呢？”筆者進(jìn)一步引導(dǎo)。“用天平稱！”學(xué)生回答。筆者沒有提供真正的天平，而是讓學(xué)生同桌合作，用橡皮和直尺模擬天平，用3張分別標(biāo)有數(shù)字①②③的卡片代表3瓶鈣片，在“天平”上模擬稱一稱，并說一說各自的想法。同桌交流后，筆者讓一名學(xué)生在展臺上邊演示邊描述怎樣找次品，需要稱幾次。學(xué)生操作并講解：“‘天平兩端分別放①和②，如果平衡，次品就是外邊的③；如果不平衡，次品就是上升端的那一瓶。稱1次就能找出次品。”筆者追問：“外邊的③為什么不用稱？”學(xué)生補(bǔ)充：“只要同時(shí)稱①和②，③的情況就可以推理出來。”筆者接著說：“所以，天平還有‘第三個(gè)稱盤，它其實(shí)在我們心里。”通過思考與操作，學(xué)生明白了次品出現(xiàn)的地方可能在天平的左邊，可能在天平的右邊，也可能在天平的外邊。

“找次品”中的天平應(yīng)該是一架抽象的天平。一旦用實(shí)物天平進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，將剝奪學(xué)生發(fā)展邏輯推理能力的機(jī)會(huì)。在解決問題的過程中，教師要逐步引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中建立天平的表象，反復(fù)進(jìn)行“如果平衡，那么……如果不平衡，那么……”的思維過程，進(jìn)而感知找次品的基本思路。

二、抓住解題關(guān)鍵，體驗(yàn)找次品分組的多樣性

教師要緊扣教材，引導(dǎo)學(xué)生對比探究從8個(gè)、9個(gè)物品中找次品的問題，在猜測、推理、歸納的過程中，感受解題策略的多樣化，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律。

課堂上，筆者出示“8個(gè)零件里有1個(gè)是次品（次品重一些）。假如用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？”的問題，先引導(dǎo)學(xué)生理解“至少”和“保證”的含義，使他們明確“保證”要求每一條可能的途徑都被考慮到，不能停留在“運(yùn)氣好”的情況；“至少”要求在保證找出次品的各種方案中找到稱量次數(shù)最少的方案。然后，筆者讓學(xué)生用自己喜歡的方式將分法、稱的次數(shù)及推理過程記錄下來。匯報(bào)時(shí)，一名學(xué)生說：“先把8個(gè)分成4個(gè)和4個(gè)，天平兩端各放4個(gè)，如果天平不平衡，次品就在下降端的4個(gè)中；然后把4個(gè)分成2個(gè)和2個(gè)再稱，如果天平不平衡，次品就在下降端的2個(gè)中；最后把2個(gè)分成1個(gè)和1個(gè)再稱，次品就是下降端的那一個(gè)。需要稱3次。”對這種稱法，筆者沒有馬上回應(yīng)，而是給出從9個(gè)零件中找1個(gè)次品（次品重一些）的問題，引導(dǎo)學(xué)生通過對比與質(zhì)疑，強(qiáng)化對“至少”和“保證”含義的理解。

探索從9個(gè)零件中找1個(gè)次品（次品重一些）的問題時(shí)，筆者讓學(xué)生畫圖記錄找的過程，并小組討論次數(shù)最少的稱法。有的小組將9分成（4，4，1），發(fā)現(xiàn)需要稱3次。一名學(xué)生質(zhì)疑：“我也是這樣分的，天平兩邊各放4個(gè)稱量時(shí)，稱一次就找出次品了，為什么還要繼續(xù)稱呢？”另一名學(xué)生解釋：“這樣分，稱一次就找出次品是運(yùn)氣最好的情況，但不是能保證找出次品的情況，所以我們應(yīng)該在最不利的情況下推理。”從最不利的情況來看，將9分成（4，4，1）是稱的次數(shù)最少的分組方法嗎？筆者請一名學(xué)生展示將9分成（3，3，3）的稱法：“如果天平平衡，次品就在天平外的3個(gè)中；如果天平不平衡，次品就在下降端的3個(gè)中。接下來從3個(gè)里面找，將3分成（1，1，1），如果天平平衡，次品就是天平外的那一個(gè)；如果天平不平衡，次品就是下降端的那一個(gè)。這樣分只需要稱兩次。”筆者組織學(xué)生小組討論把9分成（4，4，1）的稱法和把9分成（3，3，3）的稱法的不同之處。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一個(gè)是平均分，另一個(gè)不是平均分；平均分后，不但能保證找出次品，而且稱的次數(shù)最少。

接下來，筆者投屏展示把8分成4，4和把9分成3，3，3找次品的直觀圖（如圖1），讓學(xué)生在對比中產(chǎn)生新的思考，為“一分為三”優(yōu)化策略的提煉做鋪墊。

學(xué)生觀察圖1后質(zhì)疑：“為什么零件總數(shù)多了，找次品的次數(shù)反而少了呢？”筆者鼓勵(lì)學(xué)生聚焦從8個(gè)零件中找次品的零件分法的優(yōu)化，展開小組合作探究，并將零件分法和稱的次數(shù)等實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄在表格中，找出哪種分法稱的次數(shù)最少，以便進(jìn)一步感悟“一分為三”策略的優(yōu)越性。

三、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，滲透優(yōu)化思想

“找次品”探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)需要遵循由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的原則，讓學(xué)生在比較、猜測、驗(yàn)證的活動(dòng)中逐步感悟、總結(jié)和提煉找次品的基本策略，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律解決更復(fù)雜的找次品問題，進(jìn)一步歸納、概括出解決這類問題的最優(yōu)方法。

小組合作探究并完成表格后進(jìn)行匯報(bào)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)與“（2，2，2，2）；（4，4）；（2，2，4）；（1，1，1，1，1，1，1，1）”等分組情況相比，把8分成3，3，2時(shí)稱的次數(shù)最少，只需要稱兩次。筆者質(zhì)疑：“都是從8個(gè)零件中找次品，怎么稱的次數(shù)不一樣？”學(xué)生一時(shí)無法清晰地表達(dá)自己的想法。筆者啟發(fā)：“如圖2，左邊這種分法稱為‘一分為二，次品可能在哪里？右邊這種分法稱為‘一分為三，次品可能在哪里？”

表面上看，“一分為三”比“一分為二”多了一個(gè)盤子，能幫助我們多推理出一種情況。實(shí)際上，“一分為二”也有第三個(gè)盤子（天平外部），只不過我們沒有向里面放入零件，盤子是空的，就起不到幫助我們推理的作用了。這導(dǎo)致我們稱的次數(shù)變多了。也就是說，“一分為三”可以將次品確定在更小的范圍內(nèi)。學(xué)生在筆者提示下結(jié)合圖示和操作過程理解了“一分為三”的優(yōu)勢后，筆者讓學(xué)生思考把8分成（3，3，2）時(shí)，每份的數(shù)量有什么特點(diǎn)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)每份的數(shù)量都比較接近，其中有兩份數(shù)量相等。筆者引導(dǎo)學(xué)生對比分析把8分成（3，3，2）和把9分成（3，3，3）的情形，進(jìn)而總結(jié)出分組的優(yōu)化策略：分三組，盡可能平均分；如果不能平均分，讓每組的數(shù)量盡可能接近，并且三份中有兩份數(shù)量相等。

在此基礎(chǔ)上，筆者依次引導(dǎo)學(xué)生解決從10個(gè)、11個(gè)、28個(gè)、81個(gè)物品中找次品的問題，以鞏固、應(yīng)用分組的優(yōu)化策略，進(jìn)一步體會(huì)“找次品”問題所蘊(yùn)含的優(yōu)化思想的本質(zhì)——每次稱重都要將次品限定在最少的數(shù)量中。

（作者單位：張國全，棗陽市第四實(shí)驗(yàn)小學(xué)教聯(lián)體；龔莉，棗陽市第四實(shí)驗(yàn)小學(xué)教聯(lián)體靳莊校區(qū)）

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