在操作想象中理解 在對(duì)比反思中提升

屈婷

“找次品”是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“沏茶問(wèn)題”“烙餅問(wèn)題”“打電話問(wèn)題”的基礎(chǔ)上教學(xué)的。本課旨在通過(guò)一系列“找次品”活動(dòng)，讓學(xué)生在尋找最優(yōu)方案的過(guò)程中逐步體會(huì)優(yōu)化的本質(zhì)。

一、在操作和想象中探索基本思路

“找次品”活動(dòng)的實(shí)質(zhì)是用虛擬的天平作為工具，幫助學(xué)生想象每稱一次后天平“平衡”與“不平衡”的畫(huà)面，再通過(guò)邏輯推理，逐步縮小次品所在的范圍，直至確定次品。

新課伊始，筆者出示問(wèn)題情境：有3瓶鈣片，其中1瓶少了3片，我們將它看作次品，你能設(shè)法把它找出來(lái)嗎？學(xué)生思考后回答：因?yàn)榇纹分簧倭?片，與其他兩瓶質(zhì)量相差不多，用手不容易掂出來(lái)，倒出來(lái)數(shù)既耗時(shí)又不衛(wèi)生，用天平稱一稱比較簡(jiǎn)單。筆者出示一架紙質(zhì)天平，并提問(wèn)：你打算怎樣稱？有的學(xué)生認(rèn)為可以將天平的一端放鈣片，另一端放砝碼，稱出每瓶鈣片的具體質(zhì)量，再做比較；還有的學(xué)生認(rèn)為無(wú)須稱出3瓶鈣片的具體質(zhì)量，將天平的兩端分別放一瓶鈣片，只要天平不平衡，輕的那邊就一定是次品。通過(guò)交流，學(xué)生都認(rèn)為第二種稱法更簡(jiǎn)單。筆者先讓學(xué)生借助紙?zhí)炱胶外}片卡片演示找次品的過(guò)程，并跟同桌說(shuō)一說(shuō)怎樣稱的。接著，筆者展示如下兩種學(xué)生的不同稱法，并引導(dǎo)學(xué)生思考這兩種稱法是否都能找到次品。

學(xué)生提出，方法①中天平的兩個(gè)托盤(pán)里放的鈣片瓶數(shù)不一樣，不管哪一瓶是次品，都是左邊重右邊輕，找不到次品；方法②中天平的兩個(gè)托盤(pán)里各放了一瓶鈣片，天平的右邊輕，所以2號(hào)是次品。筆者追問(wèn)：按照方法②來(lái)稱，一定會(huì)出現(xiàn)這種結(jié)果嗎？還可能出現(xiàn)什么結(jié)果？這樣稱一定能找到次品嗎？一名學(xué)生回答：天平還可能平衡，這樣稱一次就找不到次品，還需要將天平一端的一瓶換成第3瓶繼續(xù)稱。另一名學(xué)生認(rèn)為不需要換，如果天平平衡，說(shuō)明1號(hào)和2號(hào)都可以排除，不是次品，只有1瓶次品，它一定是3號(hào)。

學(xué)生對(duì)從3個(gè)待測(cè)物品中找一個(gè)較輕次品的基本推理思路有了清晰的認(rèn)識(shí)之后，筆者讓學(xué)生用畫(huà)圖的方式記錄用天平找次品的推理過(guò)程，并思考需要稱的次數(shù)，逐步找到次品。

二、在對(duì)比和交流中感知分組特點(diǎn)

教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)“從8個(gè)物品中找次品”的活動(dòng)，更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)“非3的倍數(shù)”的物品最優(yōu)分法的感悟，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)最優(yōu)方案的分組特點(diǎn)。

筆者先出示問(wèn)題：“8個(gè)零件中有1個(gè)是次品（次品重一些）。假如用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？”學(xué)生讀題后，畫(huà)圖表示用天平找次品的過(guò)程。隨后，筆者呈現(xiàn)如下兩種學(xué)生的方法，并提問(wèn)：這兩名學(xué)生第一次是怎樣稱的？可能出現(xiàn)哪些結(jié)果？根據(jù)稱的結(jié)果，我們可以推理得到哪些結(jié)論？

學(xué)生認(rèn)為方法一在運(yùn)氣好的情況下一次就能找出次品，如果運(yùn)氣不好，天平平衡，只能排除兩個(gè)零件不是次品。對(duì)于方法二，學(xué)生出現(xiàn)了爭(zhēng)議。一部分學(xué)生認(rèn)為這樣稱沒(méi)有考慮全面，還需要考慮天平平衡的情況。另一部分學(xué)生認(rèn)為這樣稱只會(huì)出現(xiàn)一種情況，如果天平平衡就不存在次品，如果天平不平衡，可以排除不是次品的4個(gè)零件。然后，筆者呈現(xiàn)如下方法三和方法四，并提出一系列問(wèn)題：這兩種稱法考慮得全面嗎？出現(xiàn)什么情況對(duì)我們最有利？出現(xiàn)不利情況時(shí)，哪種放零件的方法更好？與方法一、方法二相比，哪種稱法第一次稱后排除的數(shù)量更多？為什么？

通過(guò)對(duì)比和交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，方法一和方法三中，天平上放的零件個(gè)數(shù)太少，遇到天平平衡這種不利情況，雖然可以排除天平兩端的不是次品，但剩下的零件范圍大，不利于找次品；方法二把零件全部放在天平上，只能排除一個(gè)位置的零件不是次品，也不利于找次品；方法四剩下的零件數(shù)量和天平兩端各自放的零件數(shù)量差不多，不管天平平衡還是不平衡，能排除掉的零件數(shù)量都差不多，有利于找次品。筆者繼續(xù)設(shè)疑：按照方法四的稱法，如果平衡，第二次需要從幾個(gè)物品中找次品？如果不平衡，第二次需要在幾個(gè)物品中找次品？學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)方法四是最優(yōu)稱法后，筆者順勢(shì)將這種分法的記錄方式簡(jiǎn)化成“8（3，3，2）”。

通過(guò)不同方法的比較，學(xué)生體會(huì)到第一次稱時(shí)，要盡量從最不利的情況思考，不管天平平衡還是不平衡，都可以排除一些零件；只有天平左盤(pán)、天平右盤(pán)、天平外都有零件且相差1個(gè)時(shí)，排除的范圍最大，次品所在的范圍最小。

三、在反思和歸納中探尋最優(yōu)策略

最優(yōu)策略應(yīng)該保持一致性，也就是每次操作時(shí)都應(yīng)遵循相同的原則。當(dāng)零件總數(shù)較特殊時(shí)，容易產(chǎn)生兩種方案所用次數(shù)相等的巧合。教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)探究材料，讓學(xué)生在對(duì)比、反思中歸納出“找次品”的最優(yōu)策略。

筆者提問(wèn)：如果9個(gè)零件中有1個(gè)次品（次品重一些），至少稱幾次能保證找出次品？你是怎樣稱的？學(xué)生用簡(jiǎn)化的記錄方式表達(dá)自己的想法，提出（3，3，3）和（4，4，1）兩種分法。筆者提問(wèn)：這兩種分法第一次稱時(shí)可能出現(xiàn)幾種情況？在不利情況下可以排除幾個(gè)零件？第二次稱要從幾個(gè)物品中找次品？通過(guò)討論和交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：前者天平兩端和天平外的零件數(shù)相同，無(wú)論天平平衡還是不平衡，都可以排除6個(gè)零件，第二次從3個(gè)零件中找即可，后者如果遇到天平不平衡的情況，只能排除5個(gè)零件，第二次稱要從4個(gè)中找次品，所以，平均分成3份稱的次數(shù)最少。

接下來(lái)，筆者出示問(wèn)題：10個(gè)零件中有1個(gè)次品（次品重一些），至少稱幾次能保證找出次品？通過(guò)計(jì)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：10個(gè)零件如果分成（4，4，2），天平平衡時(shí)可以排除8個(gè)零件，天平不平衡時(shí)可以排除6個(gè)零件，第二次稱需要從2個(gè)或4個(gè)零件中找；如果分成（3，3，4），天平平衡時(shí)可以排除6個(gè)零件，天平不平衡時(shí)可以排除7個(gè)零件，第二次稱只需要從4個(gè)或3個(gè)零件中找。要保證找到次品，兩種方法都至少需要稱3次。

由于第二次稱時(shí)都需要考慮從4個(gè)零件中找次品，部分學(xué)生誤認(rèn)為最多的一份與最少的一份相差2也是最優(yōu)方法。對(duì)此，筆者提出“26個(gè)零件，如何找出一個(gè)稍重的次品”的問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生至少用兩種最優(yōu)方法進(jìn)行推理。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：26個(gè)零件如果分成（8，8，10），天平平衡時(shí)可以排除16個(gè)，天平不平衡時(shí)可以排除18個(gè)，第二次稱需要從10個(gè)或8個(gè)中找；如果分成（9，9，8），天平平衡時(shí)可以排除18個(gè)，天平不平衡時(shí)可以排除17個(gè)，第二次稱只需要從8個(gè)或9個(gè)中找。從10個(gè)零件中找一個(gè)較重的次品至少需要稱3次，按照第一種分法，從26個(gè)零件中找次品至少需要稱4次。從8個(gè)或9個(gè)零件中找次品都只需要稱兩次，按照第二種分法，從26個(gè)零件中找次品只需要稱3次。筆者追問(wèn)：前面你們說(shuō)三份中最多和最少的相差1個(gè)或2個(gè)所用次數(shù)都是最少的，這里為什么行不通了？通過(guò)小組討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：零件總數(shù)是10個(gè)時(shí)，最多的一份都是4，兩種分法沒(méi)有明顯差異，而零件總數(shù)是26個(gè)時(shí)，兩種分法的最多的一份出現(xiàn)了不同情況，只有把零件總數(shù)盡量平均分，才能保證下一次稱時(shí)次品所在的范圍最小。

經(jīng)歷上述活動(dòng)，學(xué)生能夠借助語(yǔ)言和畫(huà)圖清晰而有條理地表達(dá)用天平找次品的推理過(guò)程，感悟到“找次品”活動(dòng)的優(yōu)化本質(zhì)。

（作者單位：宜城市窯灣小學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏