突破學習困惑 發展核心素養

余功學

“找次品”是人教版數學五年級下冊“數學廣角”的內容，旨在讓學生通過“找次品”活動，學會運用猜測、推理、歸納等方式分析問題并解決問題，經歷由策略多樣化到優化的思維進階過程，體會優化思想。教學中，教師如何設計更具探索性的“找次品”操作活動？如何引導學生在解決問題的多樣化方案中找出最優方案，并借助符號簡潔地記錄方案？如何讓學生樹立用數學思想解決實際問題的意識，提高解決問題的能力？本期，我們討論如何更好地教學“找次品”。

“找次品”數學問題的解決策略很多，具有較強的探究性，蘊含著優化、推理、模型和轉化等數學思想。教師如何采取不同的教學策略，幫助學生化解學習困惑呢？

一、理解題意，激發探究欲望

理解“至少稱幾次才能保證找出次品”是“找次品”教學的難點。教學中，教師可以設計生活中的實例，讓學生在猜次數的過程中發現問題，準確理解題目中“至少”“保證”的含義。

教學伊始，教師出示例題：“現有81個球，其中只有1個球比其他球稍輕。如果只能利用沒有砝碼的天平來稱，至少要稱幾次才能保證找到稍輕的次品？”教師先讓學生猜猜可能的次數，學生給出不同的答案：最少稱1次，但不能保證找到，稱80次能保證找到，但稱的次數太多。怎樣在“保證”找到稍輕的次品前提下，使稱的次數最少呢？教師引導：81個球數量太多了，我們研究復雜問題時通常如何做？學生自然地想到“化繁為簡”，即在數量小的情況下進行研究。

二、初步感知，明確解題原理

用沒有砝碼的天平從3個球中找次品，是“找次品”問題最基本的模型。這種模型有利于學生明確找次品的基本思路——用天平找次品，并不是一定要通過天平稱，還可以利用天平的平衡原理進行推理，從而確定次品。

課堂上，教師首先通過演示操作從2個球中找輕的次品，讓學生了解天平的使用方法，再讓學生把稱的過程簡單地表示出來，學生做如下總結：用一組數如（1，1）表示物品的分組，畫天平簡圖表示稱重的結果。教師適時板書稱的過程和結果“2（1，1）不平衡→輕的是次品”，簡潔、清晰地表示天平上球的數量，讓學生的思維過程具象化，為后面的探索活動做鋪墊。接著，教師讓學生研究從3個球中找次品，至少稱幾次能保證找出輕的次品。學生畫圖分析問題后匯報。一名學生回答：“在天平的左右兩邊各放一個球，如果不平衡，輕的那邊就是次品，如果平衡，就拿下一個球，換上另一個球再稱，哪邊輕，哪邊就是次品，一共要稱兩次。”另一名學生補充：“天平平衡的時候，說明天平兩邊放的都不是次品，這時次品一定是天平外的球，只稱一次就夠了。”隨后，學生在教師引導下發現：用沒有砝碼的天平找次品，次品有可能在左邊的盤子，有可能在右邊的盤子，還有可能在天平外。教師進一步引導：這樣看來，我們可以認為此時的天平有3個“盤子”，每稱一次，我們可以判斷出3個盤子中有沒有次品，其中天平外“盤子”中的情況是通過推理來判斷的。

通過研究從3個球中找次品，學生感受到天平可以“稱一判三”，為后面理解“三分法”打下了基礎，積累了活動經驗。

三、比較優化，尋找最優策略

找次品時，為什么要把物品分成3份，分成怎樣的3份才能最快找到次品？從8個球中找次品有多種思路與方法，教師可利用這個素材引導學生探究，從多樣化的策略中尋找最優方法。

教材把例題從探索9個物體改為探索8個物體，是因為9個物體不可能分成2份來稱，而學生一般會習慣性地想到將8個物體平均分成2份（4，4），稱的思考過程可以這樣表示：8（4，4）不平衡→（2，2）不平衡→（1，1），輕的是次品，需要稱3次。學生還會出現多種不同的分法，如8（2，2，2，2）、8（3，3，1，1）等。教師要著重引導學生對8（2，2，2，2）的分法進行分析，讓學生認識到把其中兩份分別放到天平左盤、右盤中稱時，剩下的兩份都在天平外，相當于一個整體，可以只看作一份。通過師生交流，學生明白了利用天平找次品，無論分成3份、4份，還是5份，本質上都是分成3份（天平左盤、天平右盤和天平外），是天平本身的結構決定了用天平找次品分成3份更具優勢。

學生借助棋子輔助思考，采用畫一畫的方式，分小組探究出不同的找次品方法，并簡要地記錄了思考過程。教師根據學生匯報的不同方法和稱的次數，板書不同的思考過程。接著，教師引導：“為什么分成3份時稱的次數最少呢？我們比較這四種分法［8（4，4）；8（2，2，4）；8（1，1，6）；8（3，3，2）］，第一次稱完后，到底最多從幾個球中找次品？你有什么發現？”學生討論交流后匯報：“把8個球平均分成2份（4，4）稱，稱一次后將次品范圍縮小到4個，把8個球分成3份（3，3，2）稱，稱一次后，無論是否平衡，最多將次品范圍縮小到3個。”教師繼續提問：“為什么分成2份（4，4）比分成3份（3，3，2）稱的次數要多？你有什么發現？”學生回答：“分成2份，就是‘稱一判二，從剩下4個中再找次品；而分成3份，利用天平左邊、右邊、外邊三個位置找次品，就能達到‘稱一判三的效果，只需要從剩下的3個中再找次品，這樣就能盡快找到次品，所以要把物品分成3份。”教師追問：“分3份的方法不止一種，‘（2，2，4）、（1，1，6）、（3，3，2）都是分3份，為什么（3，3，2）是稱的次數最少的分法呢？”學生回答：“按照最不利的情況考慮，次品在數量最多的那一份中，應該讓數量最多的那一份盡量少，也就是要平均分，如果不能平均分，就盡可能平均分，使每一份相差最少。”最后，教師引導學生總結最優方法——分組時，應分成3份，而且要盡量平均分，并梳理出如下流程圖。

以上教學，從“稱一判二”到“稱一判三”，從方案的多樣化到優化，學生經歷了分析和解決問題的過程，運用基本的邏輯推理和化歸思想從多種方案中找到了解決這類問題的最優方案。

四、鞏固強化，應用最優策略

明確了找次品的最優解題策略之后，利用發現的結論研究如何在9個、10個和11個球中找次品，有利于學生鞏固、驗證最優方案。

教師把例題分別改成從9個、10個和11個球中找輕的次品，至少稱幾次能保證找到次品。學生利用前面總結出的方法可以順利地把9個球分成（3，3，3），稱2次找到次品；10個球不能平均分成3份，學生就盡量使各份相差最少，分成（3，3，4），考慮最不利的情況，次品在4個球的那一份，還需要稱2次，一共需要稱3次；同理，11個球可以分成（4，4，3），也需要稱3次。

接著，教師出示教學伊始的例題并提問：“你們現在能回答至少需要幾次稱找到次品嗎？具體怎樣稱？”學生回答：“要稱4次才能找出次品。將81分成（27，27，27），稱第一次，問題轉化為從27個球中找1個次品；將27分成（9，9，9），稱第二次，問題轉化為從9個球中找1個次品；前面已經知道從9個球中找1個次品要稱2次，所以，從81個球中找1個稍輕的次品至少要稱4次。

（作者單位：華中師范大學附屬小學桂子山校區）

責任編輯? 張敏