聚焦數學思想的單元復習教學策略

周澤軍

聚焦數學思想的教學是落實“四基”、練就“四能”、發展核心素養的有效途徑。教學人教版數學七年級《整式的加減》單元復習課時，筆者借助一以貫之的情境，通過三道例題引導學生在真實情境中類比數的運算，理解式的運算方法，探究式的運算技巧，感知“數”與“式”同脈發展的邏輯關聯，感悟類比思想，并基于“數”與“式”運算的一致性，從單元整體視角梳理所學內容，構建結構化的知識體系，發展抽象能力、運算能力和推理能力，強化模型觀念和應用意識。

一、立足知識邏輯，凸顯類比思想

本環節旨在引導學生從運算的視角理解單項式、多項式的相關概念，獲得本節課的研究對象；類比數的加減運算法則，掌握整式的加減運算法則，體會由數的運算向式的運算過渡的合理性，建立“數”運算與“式”運算具有一致性的觀念。課始，筆者用課件出示例1。

如圖1，老師從武漢來到天門，先坐火車從武漢站A到天門南站B，再乘汽車從天門南站B到育才小學C，行程中獲悉A，B兩地相距300千米，用時[53]小時，B，C兩地相距30千米，用時[12]小時。

（1）根據以上信息，你可以得出什么結論？

（2）如果A，B兩地相距m千米，B，C兩地相距n千米（m>n），類比問題（1），你能表示出什么結論？

學生作答問題（1），得出“火車的速度為300÷[53]=180（千米/時），汽車的速度為30÷[12]=60（千米/時），總路程為300+30=330（千米），火車比汽車多行駛的路程為300-30=270（千米）”等結論。學生作答問題（2），類比問題（1）中數的運算，用“[35m]，2n，[m]+n，m-n”等式子表示出火車與汽車的速度、火車與汽車行駛的路程和及路程差等。筆者順勢追問了三個問題：①[35m]，2n，[m]+n，m-n分別是什么類型的代數式？②你能舉例說明關于單項式的知識點嗎？③你能舉例說明關于多項式的知識點嗎？通過討論，學生從運算的角度總結出單項式與多項式的區別，同時結合實例從系數、次數、項三個方面梳理了單項式與多項式的相關概念，鞏固與重構了已有知識。在此基礎上，筆者出示問題（3）。

（3）如圖2，如果A，B兩地的距離是（a2－2b+4），B，C 兩地的距離是（－3a2－3b+2），類比問題（1）的加減運算，你又能表示出什么？（設AB>BC）

學生通過思考與演算得出A，C兩地的距離是“（a2－2b+4）+（－3a2－3b+2）=－2a2－5b+6”；A，B兩地的距離比B，C兩地的距離遠“（a2－2b+4）－（－3a2－3b+2）=a2－2b+4+3a2+3b－2=4a2+b+2”。

為幫助學生在反思中建立結構化認知，筆者接著問：問題（3）的相關計算經歷了哪幾步？每一步涉及什么概念與法則？有的學生說“去括號”，有的學生說“合并同類項”，有的學生補充了去括號的注意事項，有的學生提出“整式加減的實質是合并同類項”，還有的學生歸納“字母相同并且相同字母的指數也相同的兩個單項式是同類項；幾個單項式是否為同類項與系數無關”，等等。在此基礎上，學生經過討論，繪制出如下知識結構圖（如圖3）。

這樣教學，凸顯了類比思想在理解數學知識內在邏輯中的作用，幫助學生積累了類比學習經驗。

二、立足問題本質，滲透思想方法

教師借助問題情境引導學生在整式加減運算中自主發現“無關型”問題，主動探究運用作差法比較整式大小的方法，有利于實現由問題解決到通性、通法的歸納，再到數學思想方法領悟的學習進階。課堂上，筆者出示例2。

當天下午，老師參觀了天門中學，發現天門中學的地形圖可以抽象成如圖4所示的長方形。其中，M=a2－2b+4，N=－3a2－3b+2，P=2a2－4b+3。求當a=1，b=－2時，老師繞校園走一圈的路程。

學生通過計算長方形的周長“2（M+N+P）=－18b+18”，發現化簡M+N+P時，字母a的系數變為零，式子的取值與字母a無關。接著，筆者追問：你能用M，N或P設計一個與字母b無關的算式嗎？學生設計出“3M－2N=9a2+8”“M+P－2N=9a2+3”“4N－3P=－18a2－1”等。然后，筆者追問：你能比較代數式2M與P的大小嗎？學生通過對9a2+8，9a2+3，－18a2－1進行正負性分析，歸納出可以通過作差比較兩個代數式的大小（當2M－P>0時，2M>P；當2M－P=0時，2M=P；當2M－P<0時，2M

三、立足運算核心，領悟分類討論思想

為讓學生關注運算中的數學思想，提升思維品質，實現從鞏固解法到領悟思想的升華，筆者出示例3。

校園角落的兩處勞動實驗基地（如圖5陰影部分）讓老師印象深刻，若M=[a2-2b+4]，N=[-3a2-3b+2]，P=[2a2-4b+3]，設兩陰影部分長方形的周長分別為C1和C2。

（1）若a-2b=3，求C1-C2的值。

（2）試比較C1與C2的大小。

學生利用作差法得出“C1-C2=2a-4b=2（a-2b）”，發現欲求其值，需將“a-2b=3”整體代入，而后比較C1 與C2 的大小時，需要對a-2b的正負性進行分類討論。這兩個問題引導學生在運算中逐步實現由運算技能積累向數學思想（整體思想、分類思想）領悟的進階。

四、立足單元整體，促進數學思想認知條理化

為幫助學生對數學思想形成條理化的認知，筆者立足單元整體，通過問題（本節課我們鞏固了哪些知識點？你對哪些知識有了新的認識？你能說一說本單元主要蘊含了哪些數學思想嗎？）引導學生反思，并補全如圖3所示的知識結構圖。學生參考圖3回答前兩個問題后，對圖3做了補充，即類比數的加減歸納出“無關型”和“大小比較型”兩種整式加減運算，以及整式加減運算中蘊含的整體（代入）思想、轉化與化歸思想、分類討論思想。在此基礎上，筆者引導學生參考例3，設計能運用本節課所學的數學思想方法解決的面積類問題，并列式計算，以明晰同類知識的研究方法與路徑，為后續學習打下堅實基礎。

（作者單位：武漢市光谷實驗中學）

責任編輯? 劉佳