數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)下的解題研究

萬(wàn)兵

初中階段，常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等。筆者從文獻(xiàn)研究、文本研究、題型研究、導(dǎo)圖研究四個(gè)方面展開(kāi)數(shù)學(xué)思想解題研究，著力引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想在解決問(wèn)題中的作用，形成更高水平的認(rèn)知以及科學(xué)、系統(tǒng)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思維。本文以數(shù)形結(jié)合思想為例，談?wù)劷忸}研究的方法與路徑。

一、文獻(xiàn)研究——理清數(shù)學(xué)思想，奠定研究基礎(chǔ)

文獻(xiàn)研究可以幫助我們明確數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展脈絡(luò)，為實(shí)踐研究提供理論支撐。

相關(guān)文獻(xiàn)從學(xué)理上論述了“數(shù)”和“形”的含義。從廣義上講，“數(shù)”是研究客觀世界的工具，“形”即整個(gè)客觀世界。從狹義上講，“數(shù)”是代數(shù)學(xué)、分析學(xué)的研究對(duì)象，“形”是幾何學(xué)的研究對(duì)象?！敖Y(jié)合”一詞具有方法論意味，它的基本內(nèi)涵是彼此緊密聯(lián)系。從轉(zhuǎn)換方式來(lái)看，數(shù)形結(jié)合可分為“以形助數(shù)”“以數(shù)補(bǔ)形”“形數(shù)互化”三種形式。從模型來(lái)看，數(shù)形結(jié)合可分為套用型轉(zhuǎn)換和構(gòu)造型轉(zhuǎn)換兩種形式。套用型轉(zhuǎn)換即利用已知的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，如直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)、曲線與方程的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的，對(duì)“數(shù)”和“形”其中之一進(jìn)行研究即可。構(gòu)造型轉(zhuǎn)換即對(duì)幾何圖形構(gòu)造代數(shù)式、對(duì)代數(shù)式構(gòu)造幾何圖形。

事實(shí)上，數(shù)形結(jié)合思想并沒(méi)有一個(gè)明確的概念。通過(guò)文獻(xiàn)研究，筆者了解到有研究者把數(shù)形結(jié)合當(dāng)作數(shù)學(xué)思想方法來(lái)研究，有研究者把數(shù)形結(jié)合當(dāng)作解題方法來(lái)傳授，還有研究者將數(shù)形結(jié)合當(dāng)作程序性知識(shí)來(lái)談如何內(nèi)化。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到“析理以辭，解體用圖”的觀點(diǎn)，他提出的出入相補(bǔ)原理“令出入相補(bǔ)，各從其類”，以圖形分、合、移、補(bǔ)的變換方式證明了許多恒等式。這實(shí)際上是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。

二、文本研究——凸顯數(shù)學(xué)思想，理解相關(guān)概念

本研究中，文本研究主要指課程標(biāo)準(zhǔn)解讀和教材解讀。對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：要用數(shù)形結(jié)合的方法分析和解決問(wèn)題；幾何直觀素養(yǎng)的具體表現(xiàn)之一是能夠建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路。教材中幾乎每個(gè)知識(shí)板塊都蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想方法，鉆研教材就是要把隱形的思想方法挖掘出來(lái)。研究某種數(shù)學(xué)思想在課程標(biāo)準(zhǔn)中的體現(xiàn)和在教材中的分布，有助于教師理解數(shù)學(xué)思想統(tǒng)攝的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及其在知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中的功能，讓教師站在更高層次理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，使數(shù)學(xué)概念、定理的教學(xué)更有數(shù)學(xué)味，從而更好地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例如，課程標(biāo)準(zhǔn)在學(xué)業(yè)要求的“數(shù)與式”部分指出：“理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，能借助數(shù)軸體會(huì)相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，初步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法?！边@清晰地揭示了數(shù)形結(jié)合思想的滲透從七年級(jí)開(kāi)始。教材這樣定義絕對(duì)值：“一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫作a的絕對(duì)值，記作[a]?！睆摹皵?shù)”上理解，[a]是一個(gè)非負(fù)數(shù)；從“形”上理解，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為[a]。教材還給出了示例：“A，B兩點(diǎn)分別表示10和－10，它們與原點(diǎn)的距離都是10個(gè)單位長(zhǎng)度，所以10和－10的絕對(duì)值都是10，即[10=-10]。”這些內(nèi)容有助于學(xué)生站在數(shù)形結(jié)合思想的高度理解概念的內(nèi)涵與外延。李邦河院士說(shuō)，“數(shù)學(xué)，本質(zhì)上是玩概念的”。只有“玩透”概念，我們才能在解題中產(chǎn)生靈活、深入的聯(lián)想，進(jìn)行類比、遷移、創(chuàng)造等思維活動(dòng)。因此，教師要借助“數(shù)”的準(zhǔn)確、“形”的直觀，引導(dǎo)學(xué)生在概念形成的過(guò)程中領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想。

三、題型研究——深化數(shù)學(xué)思想，提升思維水平

要加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行思維的能力，教師首先要依托教材找到一些有代表性的習(xí)題作為教學(xué)的支撐點(diǎn)，并在問(wèn)題設(shè)計(jì)上作出一些變化與創(chuàng)新，給學(xué)生提供良好的思維訓(xùn)練素材，助推學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟。基于此，筆者按照知識(shí)板塊分類精選典型案例，研討基于思想方法的問(wèn)題解決路徑，形成解題指導(dǎo)模式。以數(shù)形結(jié)合思想為例，筆者基于“以形助數(shù)”“以數(shù)補(bǔ)形”“形數(shù)互化”三種形式，分別從教材中選定典型例題作為解題研究的抓手。

1.以形助數(shù)

數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些數(shù)量關(guān)系比較抽象，學(xué)生較難理解和把握，而圖形能將抽象的內(nèi)容直觀地呈現(xiàn)出來(lái)。具體來(lái)說(shuō)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題情境中提煉出某種“模式”（數(shù)與形之間的一種特定的結(jié)構(gòu)或關(guān)系），再根據(jù)這種模式把數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，最終通過(guò)分析圖形解決這個(gè)數(shù)量問(wèn)題。此即“以數(shù)助形”。其意義有兩點(diǎn)：一是將抽象的代數(shù)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為直觀的幾何表達(dá)，以避開(kāi)復(fù)雜冗長(zhǎng)的推理或計(jì)算；二是通過(guò)直觀的圖形幫助學(xué)生理解和闡述抽象的代數(shù)關(guān)系，獲得出奇制勝的解題效果。

初中階段，將數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題一般要用到平面幾何知識(shí)或解析幾何知識(shí)。筆者以“求代數(shù)式[x+3-x-2]的最大值”為例做具體闡釋。若嘗試從“數(shù)”的角度解決該問(wèn)題，需要分三種情況討論，利用絕對(duì)值的性質(zhì)脫去絕對(duì)值符號(hào)，如其中一種情況：當(dāng)－3≤x≤2時(shí)，原式化為2x+1，再借助代數(shù)式的增減性求解，解題過(guò)程略顯繁瑣。為了幫助學(xué)生形成利用“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的基本模式，筆者出示下列問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)軸上表示x和－1的兩點(diǎn)A和B之間距離的問(wèn)題。①若x＞－1，AB可直接表示為x－（－1）；②若x＜－1，AB可直接表示為－1－x；③若x和－1的大小關(guān)系不明，AB可表示為[x+1]；④如果AB=2，那么x的值為1或－3。我們將該問(wèn)題抽象為一般情況，即[a-b]的幾何意義為數(shù)軸上表示a的點(diǎn)到表示b的點(diǎn)之間的距離。

通過(guò)分析上述問(wèn)題，學(xué)生明確了“數(shù)”和“形”不是孤立的。這有利于學(xué)生類比理解[x+3]和[x-2]的幾何意義，利用“以形助數(shù)”化繁為簡(jiǎn)?；谝陨戏治?，我們可知[x+3-x-2]的幾何意義為數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示－3的點(diǎn)之間的距離減去數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示2的點(diǎn)之間的距離，進(jìn)而，學(xué)生可借助數(shù)軸發(fā)現(xiàn)x≥2時(shí)，[x+3-x-2]的最大值為5。

類似的案例有很多，如“勾股定理”完美地詮釋了直角三角形（“形”的方面）的三條邊滿足的數(shù)量關(guān)系（“數(shù)”的方面），教師教學(xué)定理后，可以選擇精當(dāng)?shù)睦幼寣W(xué)生體驗(yàn)“以形助數(shù)”在處理復(fù)雜代數(shù)式最值問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)——化抽象為具體，化模糊為清晰。

2.以數(shù)補(bǔ)形

“形缺數(shù)時(shí)難入微”，圖形雖然形象、直觀，但在定量方面必須借助代數(shù)計(jì)算，特別是比較復(fù)雜或過(guò)于簡(jiǎn)單的圖形，直接觀察難以發(fā)現(xiàn)規(guī)律和結(jié)論，這時(shí)就要充分利用圖形的性質(zhì)和幾何意義，挖掘圖形中的隱含條件，把圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量問(wèn)題，并通過(guò)推理和計(jì)算解決這個(gè)圖形問(wèn)題?！耙詳?shù)補(bǔ)形”的意義在于利用“數(shù)”的嚴(yán)密性和精確性，闡述“形”的某些特性，特別是基于幾何圖形中的某些量之間的數(shù)量關(guān)系，利用代數(shù)方法解題，可以彌補(bǔ)學(xué)生想象和直覺(jué)的不足。

如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接CD，將線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，連接BE。若AB=6，則△BDE面積的最大值為? ? ? ?。

面積的度量反映了“形”與“數(shù)”的結(jié)合。初中階段，最值問(wèn)題的解決從“形”上說(shuō)往往要借助幾何直觀和基本定理，從“數(shù)”上說(shuō)往往要借助函數(shù)的性質(zhì)。此題中，若以BD為底，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，△BDE的底和高均發(fā)生變化，進(jìn)而帶來(lái)面積的變化，同時(shí)，底和高的變化過(guò)程是相互關(guān)聯(lián)的。分析變化過(guò)程中變量間的關(guān)系需要緊扣函數(shù)概念。函數(shù)的表示方法有解析式和圖象，解析式從“數(shù)”上刻畫(huà)函數(shù)，圖象從“形”上刻畫(huà)函數(shù)，“數(shù)”和“形”自然聯(lián)系，相互依存。本題中，“將線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°”為構(gòu)造“三垂直模型”提供了條件，如圖2，易證△EDN≌△DCM，從而得到EN=DM，高EN的長(zhǎng)度可轉(zhuǎn)化為DM的長(zhǎng)度。若設(shè)BD=x，由RT△ACM的邊長(zhǎng)關(guān)系及AB長(zhǎng)，可將DM表示為“9－x”。由此，S△BDE=[12]BD·EN=[12x（9-x）]=[-12（x-92）2+818]。當(dāng)BD=[92]時(shí)，S△BDE有最大值，即[818]。從上例我們看到變量符號(hào)x的引入，使面積的動(dòng)態(tài)度量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，讓問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)便。

3.形數(shù)互化

“形數(shù)互化”指某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決不單單是簡(jiǎn)單的“以形助數(shù)”或“以數(shù)補(bǔ)形”，而是需要“形”和“數(shù)”互相轉(zhuǎn)化。筆者以題目“已知拋物線[y=x2-2mx-3]與直線[y=2x-10m]在0＜x＜4范圍內(nèi)有唯一公共點(diǎn)，則m的取值范圍為? ? ? ? ? ?”為例做具體闡釋。

函數(shù)與方程是感悟數(shù)形結(jié)合思想的重要板塊。本題陳述的是拋物線與直線在“形”上的特征，要探求參數(shù)m的取值范圍。由于參數(shù)m在兩個(gè)函數(shù)解析式中均出現(xiàn)，參數(shù)m的變化會(huì)帶來(lái)拋物線和直線位置的同時(shí)變化，所以直接從“形”上考慮不利于解決問(wèn)題。由函數(shù)與方程的關(guān)系，可將“拋物線[y=x2-2mx-3]與直線[y=2x-10m]在0＜x＜4范圍內(nèi)有唯一公共點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“方程[x2-2mx-3=2x-10m]在0＜x＜4范圍內(nèi)有一個(gè)根或兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，這是一個(gè)由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過(guò)程。在此基礎(chǔ)上，我們可借助方程的等價(jià)變形將“[x2-2mx-3=2x-10m]在0＜x＜4范圍內(nèi)有一個(gè)根或兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”轉(zhuǎn)化為“[x2-2x-3=2m（x-5）]在0＜x＜4范圍內(nèi)有一個(gè)根或兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，使參數(shù)m只出現(xiàn)在等號(hào)的一側(cè)。隨后，我們?cè)俅螌⒎匠踢€原為函數(shù)圖象的關(guān)系，即[y1=x2-2x-3]與直線[y2=2m（x-5）]在0＜x＜4范圍內(nèi)有唯一公共點(diǎn)。當(dāng)y2過(guò)點(diǎn)（4，5）時(shí)，[2m=-5]，[m=-52]；當(dāng)y2過(guò)點(diǎn)（0，－3）時(shí)，[2m=35]，[m=310]；當(dāng)y2與y1相切時(shí)，[2m=8-43]（[2m=8+43]是另一條切線，舍去）。結(jié)合圖象可知[-52

四、導(dǎo)圖研究——構(gòu)建解題模型，培育數(shù)學(xué)直覺(jué)

由于數(shù)學(xué)思想方法包含思維監(jiān)控的成分，對(duì)思維過(guò)程起調(diào)控和指導(dǎo)作用，所以提煉運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生沿著已建立的思維圖式進(jìn)行思考，并明確自己的思維進(jìn)程，以便在某種方法無(wú)法解決問(wèn)題時(shí)及時(shí)轉(zhuǎn)換思路?；诖?，筆者根據(jù)問(wèn)題表征方式的不同，將數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用劃分為“以形助數(shù)”和“以數(shù)補(bǔ)形”兩種模式，并擬定圖3、圖4兩個(gè)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的思維導(dǎo)圖（處理“形數(shù)互化”問(wèn)題時(shí)需要靈活、交替地使用這兩個(gè)思維導(dǎo)圖）。學(xué)生做題時(shí)要自我探索，參照思維導(dǎo)圖，仿照課堂中探索定義、定理時(shí)所采用的方法或思路進(jìn)行探究，從而形成自己的解題流程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)。

數(shù)學(xué)直覺(jué)本質(zhì)上是一種聯(lián)想，要求學(xué)生在不同的知識(shí)體系之間建立較強(qiáng)的連接，明確其邏輯關(guān)聯(lián)。這也是數(shù)學(xué)思想導(dǎo)向的課堂教學(xué)的旨?xì)w。數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)下的解題教學(xué)強(qiáng)調(diào)幫助學(xué)生形成清晰有序的、起基礎(chǔ)作用的、有生長(zhǎng)點(diǎn)和開(kāi)放面的知識(shí)結(jié)構(gòu)與解題思路，而非掌握某種問(wèn)題的特定解法。

（作者單位：華中科技大學(xué)附屬中學(xué)）