探究高中數學導數的解題方法

摘 要：導數是高中數學學習的一大難點，總結出導數壓軸題型并提出解題策略，可以提升學生運用導數解題的效率.文章中從六個典型的導數例題入手，對題目的特點進行分析，提煉出常用的思想方法，對教師的教和學生的學提供一定的幫助.

關鍵詞：高中數學；導數；解題方法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0013-03

導數是高中數學的重要組成部分，也是高考數學的命題重點，對學生的綜合運用能力要求比較高［1］.熟練掌握導數解題方法，可以完善學生的知識框架、提高應用能力、培養自主探究習慣［2］.本文以不同類型的數學導數題為例，探究、分析導數的解題方法，更好地發揮導數在高中數學解題中的作用.

1 求切線方程

導數的幾何意義是“切點處導數等于切線斜率”.這一特征是求解函數切線方程的基礎.求切線，需要兩個要素.其一，切點坐標；其二，切線斜率.

例1 已知函數f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）為f（x）的導數.求曲線y=f（x）在點A（0，f（0））處的切線方程.

分析 這道題的知識點是求在曲線上一點處的切線方程（斜率）.

先求出導函數，由k=f ′（0）得到切線斜率，再根據點A坐標即可得到切線方程.

由題意f ′（x）=cosx+xsinx-1，所以f ′（0）=0，即切線的斜率k=0，且f（0）=0，所以曲線y=f（x）在點A（0，f（0））處的切線方程為y=0.

在解決切線方程的過程中，要注意以下幾點：

（1）已知切點，求曲線的切線方程：

已知切點（x0，y0），求出切點處的切線斜率f ′（x0）；

（2）過曲線上一點，求切線方程：

過已知曲線上一點求切線方程，應注意到曲線上這一點，分為是切點和不是切點兩種情況.

（3）過曲線外一點，求切線方程：

這種情況和“過曲線上一點求切線方程”相似，都是先設出切點坐標，再進行切線方程的求解.

2 研究函數的單調性

在利用導數法判斷函數單調性時，一般流程如下：首先求出函數的定義域，之后對函數求導，接著判斷導函數的正負，最后通過導函數的正負，得出單調區間.

例2 已知函數f（x）=xlnx-ax2，f ′（x）為f（x）的導數，討論f ′（x）的單調性.

分析 利用導數討論函數的單調性，通常歸結為求含參不等式的解集問題.含參一元二次不等式問題著重考查分類討論思想，是高考命題中的重點和熱點問題，而對含有參數的不等式問題，需要注意依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論［3］，解題時需要關注定義域及分類討論的標準.

4 研究函數的圖象

一般而言，作函數圖象有以下流程：先求出函數的定義域，接著判斷函數的周期性和奇偶性，求出函數的零點、函數與y軸的交點等特殊點，之后確定函數的單調區間和極值點，最后根據上述結論精細繪制函數的大致圖象.

例4 函數f（x）=xsinx+cosx的導數f ′（x）的部分圖象大致為（）.

導數作為解決函數的一個重要工具，其主要目的就是判斷并確定函數的單調區間，進而得出函數增減的大致情況，再依據函數的性質解決實踐問題，才能更好地理解以后的放縮問題.

5 求參數取值范圍

解決參數取值范圍問題可以根據導函數確定函數的單調性和極（最）值，大致繪制函數圖象的趨勢，再運用數形結合分析問題（或結合圖象特征分析零點的位置）轉化為關于參數的不等式組，通過解不等式組求出參數的取值范圍.

例5 已知函數f（x）的導數f ′（x）=a（x+1）·（x-a），若f（x）在x=-1處取到極大值，則a的取值范圍是多少？

分析 這道題分a=0，a>0和a<0三種情況，結合二次函數的圖象性質與極值的定義即可判斷.由題意當a=0時不成立，當a≠0時f ′（x）有兩個零點x=-1與x=a.

①當a>0時，f ′（x）開口向上，且-1

②當a<0時，f ′（x）開口向下.當a=-1時，f ′（x）≤0，f（x）單調遞減，f（x）無極大值；當a<-1時，在區間x∈（a，-1）上f ′（x）>0，x∈（-1，+∞）上f ′（x）<0，故f（x）在x=-1處取到極大值；

當-10，故f（x）在x=-1處取到極小值.

綜上有a>0或a<-1.

6 解不等式

利用導數證明不等式通常有如下流程：首先，構造新函數F（x），接著通過導數解析函數F（x）的單調區間，最后通過判斷定義域內F（x）與0的大小關系來證明不等式.這類題目重點在于靈活準確地構造函數，再利用函數解不等式.

例6 已知函數f（x）的導數為f ′（x），且（x+1）f（x）+xf ′（x）≥0對x∈[0，+∞）恒成立，則下列不等式一定成立的是（）.

A.f（1）>2ef（2） B.3f（2）>2ef（3）

C.2f（1）

分析 這道題的考點為用導數判斷或證明已知函數的單調性.

設g（x）=xexf（x），則g′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf ′（x）]≥0，所以函數g（x）單調遞增.g（2）=2e2f（2）>g（1）=ef（1），即f（1）<2ef（2），故A，C錯誤；

g（2）=2e2f（2）

故選D.

從上述解題步驟可看出，構造新函數是利用導數證明不等式最重要的環節，之后在相應區間上判斷單調性，最后形成結論.事實上，解題過程中常會綜合用到多種方法，教師應指導學生靈活應用所學知識，樹立運用多種方法解決問題的意識，能夠把復雜問題簡單化.

7 結束語

綜上可知，導數涵蓋了多元化的邏輯思維，可以豐富學生的解題思路，解答題目更便捷，促進學習效率提升.若要使導數的價值和作用發揮至最大，學生必須深入理解導數知識點，熟練掌握導數基礎知識和變換形式，在不斷練習中鞏固技能，切實做到活學活用，提升解題效率.

參考文獻：

［1］ 紀定春，周思波，蔣紅珠.對2017年文科卷Ⅱ導數壓軸題的思路探析[J].數理化學習，2021（06）：14-17.

［2］ 教育部考試中心.2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明（理科）[M].北京：高等教育出版社，2018.

［3］ 葉土生，吳小五.利用導數研究參數取值范圍方法賞析[J].中學數學研究（華南師范大學版），2021（11）：27-29.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：林超良（1984.4-），男，福建省泉州人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.