聚焦直觀想象核心素養的解題教學思考

【摘要】高中數學解題教學中，培養學生數學核心素養一直都是非常重要的內容.數學核心素養可以有效提升學生的解題能力，提升學生的數學能力.直觀想象是高中數學六大核心素養中非常重要的內容，通過將直觀想象與其他數學核心素養進行有效聯系是提升學生解題能力的關鍵.本文通過2023年高考數學試題對直觀想象在數學解題中的重要性進行分析，希望對學生數學核心素養的培養提供一定的參考.

【關鍵詞】高中數學；高考試題；核心素養

高中數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數據分析以及數學運算.其中直觀想象是一項非常重要的數學核心素養，同時與其他五大核心素養之間也存在著緊密的關系.在解決問題的過程中，需要通過直觀想象來對問題進行分析，尋找問題的本質，然后通過數學抽象和數學建模來將問題轉化為數學問題，再通過邏輯推理、數據分析以及數學運算實現問題的求解.同時在問題解決過程中，通過直觀想象能夠更好地理清問題的解決思路和優化解題運算.可以說直觀想象是解決數學問題的基礎，所以教師在解題教學過程中需要通過有效的措施培養學生的直觀想象能力，提升學生的數學解題能力.

1" 原題呈現

例1" （2023年新課標Ⅰ卷18題）如圖1，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3.

（1）證明：B2C2∥A2D2；

（2）點P在棱BB1上，當二面角P－A2C2－D2為150°時，求B2P.

（1）證明" 根據題中所給的已知條件，可以以點C為原點，以CD為x軸，CB為y軸，CC1為z軸建立直角坐標系.如圖2所示.

圖1

圖2

則有C0，0，0，C20，0，3，

B20，2，2D22，0，2，A22，2，1，

所以B2C2=0，-2，1，A2D2=0，-2，1，

可得B2C2∥A2D2，因為兩個向量不在同一條直線上，

所以B2C2∥A2D2.

（2）解" 設點P的坐標為（0，2，α）（0≤α≤4），

則A2C2=-2，-2，2，PC2=（0，-2，3-α），D2C2=-2，0，1.

設平面PA2C2的法向量為n=（x，y，z），

則可以根據向量公式計算出n=（α－1，3－α，2），

設平面A2C2D2的法向量為m=（a，b，c），

則m=（1，1，2），

就可以根據cos〈n，m〉=n·mnm=

664+（α－1）2+（3－α）2=cos150°=32，

計算α=1或α=3，

所以點P的坐標為0，2，1，或者0，2，3，

所以B2P=1.

評價" 常規解題思路是通過利用正四棱柱的特殊性質進行坐標系的構建，然后根據題目中的已知信息對各個點的坐標進行表示，從而利用向量法對問題進行求解.在這過程中，通過直觀想象與數學建模兩個數學核心素養的結合對數學問題進行轉化，將幾何問題轉化為向量問題，從而簡化問題，最后計算出結果.

2" 基于直觀想象的解題策略研究

2.1" 利用圖形描述，理解本質問題

在問題1的證明中，通過對圖中A2，B2，C2，D2四個點的位置進行分析可以發現，這四個點在同一平面內且所構成的四邊形A2B2C2D2棱形，根據棱形的性質就能夠證明B2C2∥A2D2，所以這里就將問題轉化為證明四邊形A2B2C2D2為棱形.根據題中的邊長關系，就可以過A2作AD，AB的平行線，過C2作CD，CB的平行線，然后利用正四棱柱的性質以及勾股定理就可以得到A2B2=B2C2=C2D2=A2D2=5，所以四邊形A2B2C2D2為棱形，所以B2C2∥A2D2成立.

評析" 這種證明方式首先需要確定的是這個四邊形在一個平面內，這是判斷四邊形為棱形的關鍵.在立題幾何中，如果四個點不在同一平面內，即使四個邊相等也不能證明這個四邊形為棱形.這種解題思路就是數學核心素養直觀想象最顯著的發揮.通過對試題的已知條件進行分析，通過直觀想象就能夠很容易地判斷出這四個點所組成的四邊形為棱形，且四個點在同一個平面內.所以在解題教學的過程中，教師需要對學生進行直觀想象的引導，讓學生通過直觀想象結合問題和已知條件可以得到什么關鍵的信息，從而充分利用這個關鍵信息對問題進行轉化，從而實現問題的求解.

2.2" 結合幾何意義，建立問題聯系

根據問題1，需要證明兩條線段之間的平行關系，而在立體幾何中，證明兩條線段平行的方式是證明一條直線與另一條直線所在的平面平行，然后證明兩條直線在同一平面內，且這條直線是兩個平面的交線.所以首先需要證明線段A2D2所在的平面與線段B2C2所在的平面平行.A2D2所在的平面為ADD1A1，B2C2所在的平面為BCC1B1，因為ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，所以就有ADD1A1∥BCC1B1，可以證明線段B2C2平行面ADD1A1，又因平面ADD1A1與平面A2B2C2D2相較于A2D2，所以可證A2D2∥B2C2.

評析" 這種證明方式充分應用了立體幾何中證明兩條線段平行的性質證明A2D2∥B2C2.這種方式是看到問題時就能夠快速想到的一種證明方式，也是直觀想象的一種直接體現.充分結合立體幾何的特點對試題進行分析，將線段平行問題轉化為證明平行于一個平面的線段與線段所在平面與這個平面的交線平行這樣的問題，實現對問題的快速求解.所以教師在解題教學過程中需要讓學生掌握立體幾何中各種線、平面之間的關系轉化，這樣能夠有效提升學生的直觀想象，幫助學生更好地進行問題的轉化.

3" 結語

直觀想象是通過對數學對象的全貌和本質的直接把握，以本文中的立體幾何問題來說，直觀想象建立在對立體幾何問題的長期觀察和思考的基礎之上，通過不斷地解決立體幾何問題實現對立體幾何問題解題經驗的累積，并對立體幾何常見問題的解題思路進行總結和概括.這樣能夠在遇到立體幾何問題時，通過日常累積實現對問題的準確分析，達到快速求解的目的.所以教師在教學過程中需要通過對試題進行總結幫助學生進行數學知識體系的構建以及各類問題解題思路的總結，幫助學生建立解題數學模型，讓學生能夠對各種數學問題進行有效地掌握，從而提升學生的數學核心素養，提升學生的數學解題能力.

參考文獻：

［1］陳莉紅.聚焦直觀想象核心素養的解題教學思考——以幾道高考試題為例［J］.中國數學教育（高中版），2019（01）：103-105+109.

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