借助函數(shù)思想高效解答高中數(shù)學試題

【摘要】本文主要對如何借助函數(shù)思想高效解答高中數(shù)學試題作探討，同時羅列相應的解題技巧.

【關鍵詞】函數(shù)思想；高中數(shù)學；解題技巧

函數(shù)思想作為解決數(shù)學問題中一種常用的思維策略，指的是利用函數(shù)的概念與性質去分析、轉化及解決問題，通過變量與定量之間的關系完成解題.面對一些比較特殊的試題，教師可指導學生應用函數(shù)思想打破局面，使其挖掘出題目中的隱性條件，讓他們結合函數(shù)解析式的性質等高效解題.

1" 借助函數(shù)思想高效解答集合試題

集合作為高中數(shù)學知識體系中較為簡單的一部分，是學習函數(shù)知識的前提，函數(shù)可以視為兩個實數(shù)集合間的映射，也就是自變量集合與函數(shù)值集合，不過這兩個集合的元素并非任意對應關系，而是每個自變量只與一個函數(shù)值對應.這表明處理集合問題時可以借助函數(shù)思想，高中數(shù)學教師應引領學生合理運用函數(shù)思想處理集合試題，讓他們高效的解題［1］.

例1" 已知集合A={x|x2+3lt;0}，集合B={x|x2－2x+m≤0，x2－2nx+5≤0}，假如AB，請分別求出實數(shù)m與n的取值范圍.

分析" 本題從表面上來看是一道集合類試題，但又有不等式的出現(xiàn)，顯得較為復雜，不過可應用函數(shù)思想，結合函數(shù)圖象及性質高效解題.

詳解" 將集合A化簡，

可以得到A={x|1lt;xlt;3}，

設f（x）=x2－2x+m，

g（x）=x2－2nx+5，

所以B1={x|x2－2x+m≤0}，

B2={x|x2－2nx+5≤0}，

所以B=B1∩B2，

因為AB，

所以AB1，AB2，

也就是說區(qū)間（1，3）分別被集合B1與B2所對應的區(qū)間包含，

據(jù)此畫出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，如圖1所示，

那么能夠得到f（1）≤0，f（3）≤0，

且g（1）≤0，g（3）≤0，

然后解不等式能夠求得m≥1或者m≤－3，

n≥3或者n≤73.

圖1

2" 借助函數(shù)思想高效解答方程試題

函數(shù)與方程之間本身就有所關聯(lián)，雖然初中數(shù)學教學中對這方面不是特別重視，但是在高中數(shù)學教學中，較為重視函數(shù)和方程兩者之間的練習，而且教材中專門安排內容加以闡述，像“二次函數(shù)與一元二次方程”等.為此，高中數(shù)學教師在平常的解題訓練中，需要指引學生巧妙應用函數(shù)思想處理方程問題，促使他們能夠結合函數(shù)的圖象和性質高效地完成解題［2］.

例2" 已知方程|x|=ax+1存在一個負根，并不存在正根，試求a的取值范圍.

分析" 題目中出現(xiàn)的是一個帶有絕對值符號的特殊方程，此類方程通常要進行分類討論，但是可以借助函數(shù)思想，運用函數(shù)觀點來分析方程，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點判定方程的根，最終輕松解答試題.

詳解" 把方程中的a當作函數(shù)中的一個變量，

因為|x|=ax+1，

所以a=|x|－1x=1—1x（xgt;0）—1—1x（xlt;0），

根據(jù)a的解析式畫出相應的函數(shù)圖象，如圖2所示，結合圖象可直接判斷出a≥1，

故a的取值范圍是a≥1.

圖2

3" 借助函數(shù)思想高效解答不等式試題

盡管函數(shù)與不等式是兩個類型完全不同的知識內容，不過在高中數(shù)學教學過程中，函數(shù)和不等式之間有著一定的關系，具體表現(xiàn)為不等式的性質反應出的是函數(shù)單調性.高中數(shù)學教師在解題訓練中，可指引學生借助函數(shù)思想對不等式問題進行分析和研究，使學生了解不等式的特征與本質，讓他們采用函數(shù)思想輕松解答不等式的恒成立問題及常見的最值問題［3］.

例3" 對于任意x∈［－1，1］，函數(shù)f（x）=x2+（a－4）x+4－2agt;0恒成立，求a的取值范圍.

分析" 處理這一題目時可直接采用函數(shù)思想，發(fā)現(xiàn)其本質是“在某一閉區(qū)間上含有參數(shù)的二次函數(shù)大于0恒成立的問題”，故無需討論Δlt;0的情況，然后結合分類討論思想進行求解，考慮到各種情況，最終求得準確的結果.

詳解" 因為f（x）=x2+（a－4）x+4－2a，

所以該函數(shù)的對稱軸是x=4－a2，

又因為x∈［－1，1］，

所以要對a的情況進行分類討論，

即為1lt;4－a2，－1≤4－a2≤1，4－a2lt;1，

分別討論討論其在函數(shù)的遞增、遞減區(qū)間上f（x）值的情況，

綜合起來求得a的取值范圍是alt;1.

4" 借助函數(shù)思想高效解答數(shù)列試題

數(shù)列屬于高中數(shù)學與高考中的一項重要內容，教材中主要介紹等差與等比這兩類數(shù)列，基于本質視角來說，數(shù)列也是函數(shù)的特殊產物，也就是當函數(shù)的定義域為正整數(shù)集時，函數(shù)就成為數(shù)列.針對高中數(shù)學解題教學來說，當解決數(shù)列問題時，尤其是求數(shù)列的最值時，教師應當引領學生充分借助函數(shù)思想，讓他們找到簡便的解題方法，使其高效地解答試題.

例4" 已知函數(shù)f（x）=3x2+bx+1為偶函數(shù)，g（x）=5x+c為奇函數(shù)，正數(shù)數(shù)列an=（23）n－1，n∈N*，假如bn=2f（an）g－an+1，請求出數(shù)列bn中的項的最大值和最小值.

分析" 在這一題目中，“數(shù)列是一類特殊的函數(shù)”展現(xiàn)得淋漓盡致，這里的“特殊”指的是自變量取值范圍為自然數(shù)，根據(jù)題意可知數(shù)列bn能視為一個二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質求得數(shù)列bn的最大值與最小值.（詳解略）

5" 借助函數(shù)思想高效解答實際問題

在新時代背景下，學習數(shù)學的最終目的是能夠解決一些生活中的實際問題，達到學以致用的目標.因為函數(shù)思想在現(xiàn)實生活中應用廣泛，對于高中數(shù)學解題教學而言，教師應刻意設計一些生活化問題，指導學生通過建立函數(shù)模型的方式解題，并借助函數(shù)思想解決現(xiàn)實生活中與函數(shù)相關的問題，從而將函數(shù)知識學活學透，讓他們可以靈活自如地運用函數(shù)思想解題.（例題略）

6" 結語

在高中數(shù)學解題教學活動中，當碰到部分難題時，教師可以提示學生基于函數(shù)思想視角切入，對題目內容進行重新解析和研究，使其借助函數(shù)知識找到解題的切入點，降低試題難度，讓學生學會運用函數(shù)思想解答多種類型的試題，繼而不斷提高解答數(shù)學題目的效率.

參考文獻：

［1］魏健.基于函數(shù)思想的高中數(shù)學解題探究［J］.數(shù)理化解題研究，2023（06）：35-37.

［2］張宏斌.淺談函數(shù)思想在高中數(shù)學解題中的應用［J］.數(shù)理化解題研究，2022（18）：26-28.

［3］邵春燕.高中數(shù)學解題教學中函數(shù)思想的應用［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（06）：29-30.