數少形時少直覺

【摘要】直觀想象是數學新課程標準提出的六大核心素養之一，近幾年的全國高考也對直觀想象進行了重點考查.三角形是最基本的平面圖形，借助其幾何圖形來解決問題也是基本手段.

【關鍵詞】幾何直觀；解三角形；解題技巧

幾何直觀是數學新課程標準提出的核心概念之一，是指利用圖形描述和分析問題，借助它把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.利用正余弦定理解任意三角形是高中數學基本且重要的知識，常見的模型和解題辦法在平時的教學中都是反復強調，沒想到在一輪復習時還會遇到這樣一個問題.

例1" （2017年北京卷）在△ABC中，已知A=π3，c=37a.

（1）求sinC的值；

（2）若a=7，求△ABC的面積.

關注第（2）問.

學生1" 由大前提和第（1）問所得，該三角形已知∠A和∠C，這時候通常求出第三個角B.又因為a=7，c=3，所以選擇面積公式S△ABC=12acsinB，問題得解.

具體為：由clt;a，得到Clt;A，

所以C∈0，π2，cosC=1314.

sinB=sinπ3+C=8314，

S△ABC=12acsinB=63.

兩步轉化順利完成，沒有遇到困難.

學生2" 分析，該三角形已知A=π3，a=7，c=3，要求三角形面積，想選擇面積公式S△ABC=12bcsinA，只要求出b即可.問題轉化為三邊和一個角的關系，通過余弦定理a2=b2+c2－2bccosA，得b2－3b－40=0，解得b=8或－5（舍去）.同樣得到△ABC的面積為63.

學生3" 我的方法與學生2類似，先求出b，再求面積.但是我選擇的余弦定理公式為c2=a2+b2－2abcosC，得b2－13b+40=0，解得b=8或5.這樣就會得到雙解，為什么會這樣？如何舍去b=5？

教師沒有簡單地否定學生選擇的不合適，更沒有粗暴要求學生3按照學生2的思路去處理就沒有這個問題了，而是在下節課時展示學生3的過程，帶領大家一起來討論.

學生4" 在△ABC中，可由sinB=8314gt;32=sinA，得Bgt;A，所以bgt;a=7，舍去b=5.

學生5"" 因為A=π3，A是銳角，所以a2lt;b2+c2，所以b2gt;a2－c2=40，舍去b=5.

學生6" 驗一下：當b=5時，由cosA=b2+c2－a22bc=－12，得A=2π3，舍去；

當b=8時，由cosA=12，得A=π3，符合題意.

教師" 感謝學生3給我們提出了一個這么有價值的問題，同學們處理得很好！都成功地排除了不合題意的解，但如果能選擇的話，我們希望能避開多解的情況.接下來，我們來探討能否避開.解法1和解法2面對的解三角形問題，都是已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，求第三邊.這樣的三角形的解的情況可以通過作圖來研究.具體如下.

解法1" 在△ABC中，已知A=π3，a=7，c=3，作圖1，圓弧與直線AC有兩個交點，分別位于A點兩側，對應b=8和－5，舍去－5.

解法2" 在△ABC中，已知sinC=3314，a=7，c=3，作圖2，圓弧與直線CA有兩個交點，均位于C點右側，對應b=5和8這兩解.從圖2中我們可以看到，當b=5時，∠CA′B為鈍角，與題意不符；當b=8時，∠CAB為銳角，符合題意.

圖1

圖2

從以上兩圖中，我們發現，在這種問題中，我們用余弦定理來求第三邊時，應選擇比較大的角，可以有效避開多解的問題.

學生們恍然大悟.

反思" “用圖形來判斷這類三角形的解的個數”在知識梳理有，但是學生感覺解題中很少用到，探究它的興趣缺乏，這個知識點形同虛設.而在本題的探究中，學生發現圖形的直觀感受印象深刻，還通過觀察總結了做題經驗，激活了這個知識點.

教師緊跟著給了一個練習：

（2018年北京卷）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=－17.

（1）求A；

（2）求AC邊上的高.

圖3

學生反饋" 第（1）問可得A=π3，如圖3所示，要求BD，可在Rt△ABD中解決，先求出AB邊；而求AB邊可在△ABC中利用余弦定理；此時已知A和B，選較大角不會產生多解，所以應該由余弦定理b2=a2+c2－2accosB，得c2+2c－15=0，解得c=3或－5（舍去），即AB=3，從而BD=3sinA=332.

教師" 學以致用，很好！

美國教育家蘇娜丹戴克說：“告訴我，我會忘記，做給我看，我會記住，讓我參加，我就會完全理解.”教師在教學中對學生進行啟迪、誘導，盡量讓學生在實踐中去獲得知識，從而留下美好而深刻的印象.

在后來的一節課上又遇到這樣一個問題：

（2019年全國卷III=3＼*ROMAN理科第18題）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知asinA+C2=bsinA.

（1）求B；

（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

第（1）問求得B=π3，解答過程略.第（2）問由S△ABC=12acsinB=34a，后面不知道該如何走了.

教師" 接下來如果能求出a的范圍，問題就解決了.限定條件有哪些？怎么用？小組討論一下.（對于走邊和走角的傳統解法此處不贅述）一個學生提出來：“老師，畫張圖就解決了！”由銳角三角形的限定條件，如圖4所示，C點有兩個極限位置C1，C2，分別使得C和A為直角，解得BC1=12，BC2=2，可得12lt;alt;2.

圖4

教師肯定了學生2的想法，并協助他完成了上述思路的表述.

結語

在教學中，可以引導學生養成畫圖的好習慣，借助基本圖形、信息技術等方法培養學生的幾何直觀性.教師把幾何直觀運用得越充分，學生的直觀表達就越清晰，領悟能力就越強，分析問題和解決問題的能力也越強.