挖掘特征尋突破 巧解壓軸促創(chuàng)新

馮麗

摘要：近幾年來一些地區(qū)中考數(shù)學(xué)壓軸試題中所考查的幾何圖形問題，相對來說都比較難，解題過程中思路有時候一下子難以抓到，因此加強問題“特征”研究，結(jié)合相應(yīng)方法進一步探究具體的思路，能快速抓住問題本質(zhì)，讓問題得到化解.本文中從“最值”“特殊角”“模型”和“規(guī)律”等方面作簡單說明，以便取得化難為易的效果，從而更好地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

關(guān)鍵詞：問題特征；突破；中考壓軸；創(chuàng)新

數(shù)學(xué)變換方法是研究和解決數(shù)學(xué)問題時采取迂回手段達到目的的一種方法，也是進行理性思維的有效手段.由于數(shù)學(xué)變換方法具有抽象性、邏輯性和辯證性等特性，所以在學(xué)科研究的各個領(lǐng)域得到了充分的運用.常見的圖形變換主要有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)和相似等，巧抓問題突顯的特征，利用數(shù)學(xué)變換進行突破，是解答數(shù)學(xué)中考壓軸題的常用手段.

1 抓住“最值”，用平移突破

在解決涉及二次函數(shù)的動點問題時，常常會出現(xiàn)幾何圖形面積最值的問題.如何確定動點的位置，是解決此類問題的關(guān)鍵所在，也是難點之處.解決此類問題常常利用函數(shù)圖象中的“最值”問題，考慮使用平移變換，化動為靜，達到解題的目的.

例1? 如圖1所示，拋物線y＝ax2+32x+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，若點A坐標(biāo)為（-2，0），點C坐標(biāo)為（0，4）.E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時點E的坐標(biāo).

如圖2，根據(jù)點A，C的坐標(biāo)可求出直線BC的解析式，但求四邊形CDBF的最大面積，F(xiàn)卻是一個動點，考慮到當(dāng)四邊形CDBF的面積最大時點F到直線BC的距離最大，故考慮將BC平移，與拋物線只有一個交點時四邊形CDBF的面積最大.這樣就將面積最大值問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個相等的根的問題，利用Δ=0即可得到，從而容易獲得EF的長度，再利用tan∠CBO=12，易求點F到直線BC的距離，進而可求出面積.

2 抓住“特殊角”，構(gòu)造相似（或全等）突破

在解決一些平面幾何壓軸題時，問題中往往會出現(xiàn)一些比較特殊的角度，如45°，60°或者135°，我們需要根據(jù)具體的條件將這些角進行轉(zhuǎn)化，從而形成特殊的圖形，便于解答問題.

例2? 如圖3，已知AC，BD為四邊形ABCD的對角線，BC＝2，CD＝2AC，∠DCA＝60°，∠DAB＝135°，試求線段BD長度的最大值.

閱讀題目，發(fā)現(xiàn)有特殊角135°，通常情況下出現(xiàn)135°要么將其分成90°和45°，要么將其鄰補角補充出來.針對本題又該如何處理呢？根據(jù)題意可判斷∠DAC=90°，

而BC長又為定值，由此判斷點A的軌跡是圓，于是找到解決問題的突破口.如圖4，取△ACB的外心O，同時構(gòu)造△EDC∽△OAC，從而找到定長的折線段D-E-O-B.當(dāng)點D，E，O，B共線時，BD取得最大值［1］.

再如，在正方形ABCD中，點E在邊BC上運動，點F在邊DC或CB上運動.如圖5，若點F在邊DC上，已知∠EAF＝45°，連接EF，求證：EF＝BE+DF.

該問題中出現(xiàn)的特殊角為45°，動態(tài)的45°很難為我們所用，此時可以考慮通過構(gòu)造全等三角形進行解答.如圖6所示，延長CD至點G，使DG＝BE，連接AG，可證明得到△ADG≌△ABE（SAS），從而容易得出結(jié)論.

3 抓住“模型”，用旋轉(zhuǎn)突破

在解決一些動點問題的過程中，有時很難直接通過計算解答，需要認(rèn)真研究動點存在的軌跡，確定“模型”，如“隱圓”“胡不歸”“阿氏圓”等，從模型特點入手建立等量關(guān)系即可得到答案［2］.

例3? 如圖7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，D為BC的中點，F(xiàn)為線段AD上一動點，E為AC的中點，連接EF，BE，將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG.H為直線BC上一動點，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B′EH，連接B′G，試求線段B′G的長度的最小值.

根據(jù)題意，首先確定點B′的位置是最關(guān)鍵的.在動態(tài)問題中找到不動的條件，發(fā)現(xiàn)BE的長度沒有變化，故可以判斷題目中存在“隱圓”模型，即點B′在以點E為圓心，以BE為半徑的圓上，再判斷出點G在點A右側(cè)過點A與AD垂直且等長的線段上，進而得出EF最大時，B′G最小，即可求出答案.整個問題在處理上首先確定兩個動點存在的位置，建立模型，從而順利解答.

4 抓住“規(guī)律”，用歸納突破

在日常教學(xué)中，我們經(jīng)常會遇到一些比較繁雜的問題，這類問題不能僅通過計算得到答案，往往需要通過觀察、分析、歸納、概括、演算、判斷等一系列探究活動，才能得到問題的結(jié)論，這類問題也就是我們常說的“規(guī)律探究”問題.這類問題，因其獨特的規(guī)律性和探究性，重點考查學(xué)生的分析與歸納能力［3］.

例4? 如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，點A1，A2，A3，A4，……在x軸上，且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3……按此規(guī)律，過點A1，A2，A3，A4……作x軸的垂線分別與直線y＝3x交于點B1，B2，B3，B4，…….記△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4……的面積分別為S1，S2，S3，S4，……，則S2 023＝.

根據(jù)題意要求，我們雖然不可能將S2 023直接計算出來，但是可以通過計算發(fā)現(xiàn)前面各個結(jié)論之間存在的關(guān)系，找到具體的規(guī)律，按照規(guī)律即可求出答案.本題根據(jù)已知先求出OA2，OA3，OA4的長，再代入直線y＝3x中，分別求出A1B1，A2B2，A3B3，A4B4，然后分別計算出S1，S2，S3，S4，最后從數(shù)字上出找規(guī)律即可解答.

規(guī)律性探究問題常常是由特殊結(jié)論推出一般性結(jié)論的合情推理，它對思維能力的要求比較高，包括觀察、實驗、類比、想象、猜測及驗證等思維形式.有些問題有時候較難用數(shù)學(xué)語言精準(zhǔn)說明推理進程，在很大程度上依賴于不完全歸納法，對能力的要求較高［4］.

5 抓住“一般性”，用特殊值突破

在遇到一些整式求值問題時，由于涉及到的單項式具有普遍性，因此在求值過程中可以考慮其“一般性”的特點，借助特殊值來突破.這種方法常常在填空題或者選擇題中用到，為解題帶來意想不到的效果.這類問題也考查了學(xué)生的特質(zhì)思維能力

.

例5? 如圖9，有一束光線從左側(cè)射入后經(jīng)過點A（-2，1），恰好射到x軸上的一點B（2，0），反射后經(jīng)過點C（a，b），求a-4b的值．

針對此類問題，常規(guī)上根據(jù)反射性質(zhì)，分別從點A、點C作垂線AG，CF（如圖10），構(gòu)造△AGB∽△CFB，結(jié)合比例線段求解.但是考慮到C是反射線BC上的任意一點，那么這點的橫坐標(biāo)a和縱坐標(biāo)b一定滿足同一個表達式.既然如此，那么點B的坐標(biāo)也滿足此條件，故將特殊點B（2，0）代入求值即可得到答案.

從上面幾個方面可以看出，抓住圖形的“特征”來解決問題，要緊扣圖形特點，將給定的圖形或已知條件進行集中轉(zhuǎn)化，形成簡單易解的情形，并運用它們的性質(zhì)展現(xiàn)圖形的內(nèi)涵與本質(zhì)屬性，將未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單、易操作的問題，從而可以體會到數(shù)學(xué)的美妙意境.

參考文獻：

［1］黃細(xì)把.解答圖形存在問題的兩種途徑［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（5）：33-36.

［2］羅峻，段利芳.抓住特征巧構(gòu)圖 實施翻折尋突破［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（4）：44-46.

［3］華興恒.圖形有規(guī)律 探究尋奧秘［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2018（7）：3-4.

［4］房琳穎.重視圖形積累 提煉特殊圖形［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（10）：88-89.