圓中不規則圖形面積解法探析

袁徐豐

在幾何中，面積是一個重要的概念，用于量化平面圖形所占據的空間大小.對于規則圖形，我們可以簡單地使用相應的公式計算出其面積，例如長方形的面積等于長度乘寬度，三角形的面積等于底邊乘高除以2.然而，當面對不規則圖形時，這些簡單的公式就無法直接適用.不規則圖形指沒有明確規則形狀的圖形，如彎曲的邊界線、多邊形的組合等.這些圖形的面積無法通過簡單的公式計算得出，面積的計算變得更為復雜和困難，需要采用特定的方法和技巧來解決.

對于有固定公式的規則圖形的面積，例如扇形，圓等，可以直接應用公式求解.

引例? 如圖1所示，在一個半徑為2的圓形紙片中，剪一個圓心角為90°的最大扇形（陰影部分），則這個扇形的面積為；若將此扇形圍成一個無底的圓錐（不計接頭），則圓錐的底面半徑為.

解：如圖2所示，連接BC.

由∠BAC＝90°，得BC為⊙O的直徑.

所以BC＝22.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝AC＝2，所以

S扇形ABC＝90π×4360＝π.

弧BPC的長為90π×2180＝π.

設圓錐底面半徑為r，則2πr＝π，解得r＝12.

總結：在該題中，扇形是規則圖形，其面積有具體的公式可以應用，所以該題可以直接利用公式求解.先通過勾股定理求得扇形的半徑，然后根據扇形的面積公式，即可求出陰影部分面積.

下面將介紹幾種方法，用于解決圓中不規則圖形面積問題.

1 和差法

和差法是一種用于計算不規則圖形面積的常用方法.如果一個圖形可以分解為若干個簡單的圖形，如矩形、三角形或者扇形等，那么該圖形的面積可以通過計算這些簡單圖形的面積的和或差來得到.和差法可以分為直接和差法和間接和差法.對于圖形構成比較簡單的，可以直接應用和差法進行分析求解.對于較為復雜的圖形，需要借助輔助線，將復雜圖形變為幾個簡單圖形的組合，然后才能運用和差法進行運算.

1.1 直接和差法

不需要借助輔助線，直接利用簡單圖形進行面積計算.

例1? 如圖3，點A，B，C在⊙O上，OB=4，∠C=45°，則圖中陰影部分的面積是．（結果保留π）

解：由∠C=45°，根據圓周角定理，可得∠AOB=90°.

所以S陰影=S扇形AOB－S△AOB=90×π×42360－12×4×4=4π－8.

總結：對圖形進行分析，可以看出該不規則圖形可以通過扇形的面積與三角形的面積相減得到，故直接運用和差法S陰影=S扇形AOB－S△AOB進行計算.

1.2 間接和差法

該方法需借助輔助線，對圖形進行分析.

例2? 如圖4，已知⊙O的半徑是4，點A，B，C在⊙O上，若四邊形OABC為菱形，則圖中陰影部分的面積為（? ）.

A.83π－83

B.163π－83

C.163π－43

D.83π－43

解：如圖5所示，連接OB和AC，交于點D.

∵圓的半徑為4，

∴OB=OA=OC=4.

又四邊形OABC是菱形，

∴OB⊥AC，OD=12OB=2.

在Rt△COD中，利用勾股定理，可知CD=42－22=23.

∴AC=2CD=43.

∵sin∠COD=CDOC=32，

∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°.

∴S扇形OAC=120×π×42360=163π.

∴S菱形ABCO=12OB×AC=12×4×43=83.

記圖中陰影部分的面積為S，則S=S扇形AOC-S菱形ABCO=

163π－83.

總結：該題需要借助輔助線求解.如果不作輔助線，并不能應用和差法.思路為連接OB，AC，根據菱形和直角三角形的性質，首先求出AC的長和∠AOC的度數，然后求出扇形AOC的面積及菱形ABCO的面積，最后由S扇形AOC-S菱形ABCO即可求得陰影部分的面積.

例3? 如圖6，∠AOB=90°，∠B=30°，以點O為圓心，OA為半徑作弧交AB于點A和點C，交OB于點D，若OA=3，則陰影部分的面積為.

解：連接OC，如圖7所示.

∵OA=OC，∠OAB=∠AOB－∠B=90°－30°=60°，

∴△AOC為等邊三角形.

∴∠AOC=60°.

∴陰影部分Ⅰ的面積=S扇形OAC－S△AOC=60360×32×π－12×3×3cos 30°=32π－934.

陰影部分Ⅱ的面積=S△BOC－S扇形OCD=12×33×32－30360×32×π=934－34π.

故陰影部分面積=32π-934+934-3π4=3π4.

總結：該題與例3相比，難度較高.多次應用了和差法.

2 割補法

割補法是改變陰影中某一部分圖形的位置，將原有的不規則圖形重新組合成一個簡單圖形.計算方法：S陰影=S組成圖形.

例4? 如圖8所示，在⊙O中，直徑AB=2，AC切⊙O于點A，BC交⊙O于點D，若∠C=45°，則陰影部分的面積為.

解：如圖9，連接AD.

∵∠C=45°，AC切⊙O于點A，

∴∠BAC=90°，△ABC為等腰直角三角形.

又∠ADB=90°，

∴AD=BD.

∴弓形BD的面積=弓形AD的面積.

∴陰影部分的面積=S△ACD.

∵AB=2，

∴CD=AD=BD=2.

∴S△ACD=12CD×AD=12×2×2=1，即陰影部分的面積是1.

總結：在割補法中，選取面積并找出相等面積是重難點，需要學生在平時的學習中充分掌握基本知識.本題考查的是圓的性質及切線和弓形面積的知識.在該題中，充分利用圓的基礎知識，運用圓的性質找出與陰影部分相等面積的一部分是關鍵.

3 平移法

平移法指不改變圖形的大小和形狀，通過平移、旋轉或對稱的方式，解決不規則圖形面積問題.

例5? 如圖10，直徑為4 cm的圓O1，平移5 cm到圓O2，則圖中陰影部分的面積為（? ）.

A.20 cm2

B.10 cm2

C.25 cm2

D.16 cm2

解：通過平移操作，把⊙O2的半圓向左平移至圓O1位置.則此時不規則的陰影面積變成了一個矩形的面積.因此陰影部分的面積=5×4=20（ cm2）.

總結：圖形的旋轉、對稱和平移，都是常用的圖形變換方式.利用平移法，可以將不規則的圖形變為規則的圖形.

求解圓中不規則圖形的面積，我們可以運用和差法、割補法以及平移法.在實際解題過程中，具體選取何種方法要從題目本身出發.學生在平時的學習生活中，要充分掌握數學中的幾何知識，并不斷培養的轉化思維和分析思維，才能提高數學解題能力.