以問題為導向的初中數學深度學習初探

劉楊

摘要：以問題為導向的初中數學教學是促進學生深度學習的一個重要途徑，以問題驅動學生主動參與、具身探究，形成高階思維、創新能力等綜合素養，真正體現了學生學習的主體地位.本文中以“電話計費問題”為例，將以問題為導向的教學策略研究與深度學習有機結合，為初中數學教育教學研究打開新格局.

關鍵詞：初中數學；深度學習；問題；思維

2021年，教育部推動“雙減”政策全面落地，如何在“減”量的背景下實現“增”質成為現階段亟需解決的問題.提高課堂教學質量是落實“雙減”政策的必由之路，因此促進每一個學生的深度學習是“雙減”背景下課堂教學變革的必然方向.以問題為導向的初中數學教學是促進學生深度學習的一個重要途徑，以問題驅動學生主動參與、具身探究，形成高階思維、創新能力等綜合素養，真正體現了學生學習的主體地位，所以將以問題為導向的教學策略研究與深度學習相結合，可以為我們打開初中數學教育教學研究的新格局.本文中以人教版七年級上冊3.4節的探究3“電話計費問題”為例，探究如何以問題為導向，在學生已經掌握用一元一次方程解決實際問題基本過程的前提下，促進學生深入學習并思考如何分段計費，幫助學生積累基本的數學活動經驗，發展其核心素養.

1 明確核心問題是引發學生深度學習的前提

依據新課程標準和教材內容，對教學資源進行整合分析，從學生已有學情出發確定核心問題是深度教學的前提.對于本節教學內容，《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程；能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性［1］.從教材來看，要求學生能通過分類討論將電話計費問題轉化為一元一次方程（建立模型）、解一元一次方程（解決數學模型）、利用一元一次方程的解比較不同主叫時間的收費情況，設計最優方案（利用模型結論解釋實際問題），在探究的過程中，感受建模思想、分類思想，增強應用意識和應用能力.

根據上述分析，將本節課的核心問題確定為：①培養學生分類討論的意識，能明確分類界點，對不同收費情況進行分析；②發現并利用等量關系建立方程模型，利用模型結論解釋實際問題.因此，明確這兩個教學核心問題是引發學生深度學習的基礎.

2 找準主線問題是深度學習的基本保障

2.1 “五何”理論概述

華東師范大學祝智庭教授基于問題邏輯的分類方法提出了“五何”問題——“由何”“是何”“為何”“如何”和“若何”.“由何”指問題從何而來，即問題產生的情境，數學問題往往源自于現實生活，因此教師可以創設一個情境，從情境中拋出實際問題；“是何”指是什么，起到陳述事實的作用，通過說明、判斷和推理等反映事實性問題，讓學生得其表意，索其本意;“為何”指學生要弄清楚事物的構成及相互關聯、產生的原理或過程等，以便學生對某種觀點或者現象進行合理的解釋;“如何”指學生回答如何解決一個問題，即運用所學知識解決實際問題;“若何”指若某種事物和情境發生變化，會產生怎樣的結果，通過解決此類問題，學生能靈活運用所學知識，并進行思維遷移.“由何”即是數學教學過程中的情境創設部分，“是何”“為何”“如何”“若何”幾個層次的梯度問題，將學生思維的深度不斷提升.

2.2 七年級學生的學情分析

七年級學生已經掌握了解一元一次方程的基本步驟，在一些比較典型的數學問題中能夠運用方程模型解決實際問題，但對于“電話計費問題”這樣開放性的綜合問題，還缺乏相關經驗，容易無所適從或者片面理解.以學生現有的思維水平，在教學時一般可以感知“計費方法”的選擇依賴于“主叫方式”的變化，但缺少根據“主叫時間”分類討論的意識以及有效的分類方法，即使有分類意識的萌芽，也會出現分類不準確的情形；同時，七年級學生對于電話計費這類生活化的問題，更習慣用生活化的原理和語言進行片面的解讀，比如“通話費用增多（減少）、方式一（方式二）增長的快（慢）”等，缺乏將實際問題數學化并利用數學原理來解釋實際問題的意識.

基于上述理論和七年級學生的已有學情，結合“電話計費問題”這節課的核心問題，筆者設置了從感性體驗到理性分析的問題主線：創設問題情境（“由何”）—理解具體“主叫時間”的收費情況，體會“計費方式”與“主叫時間”的關系，并感知分類討論的必要性以及明確分類的界點（“是何”）—對于不同的“主叫時間”，用含有字母t的式子表示方式一和方式二的收費情況，利用方程的解比較不同主叫時間收費的情況（“為何”）—設計最優的套餐方案（“如何”）—回顧問題解決的方法（“若何”）.

3 細化問題鏈是激發學生深度學習的途徑

3.1 問題鏈的基本類型及功能

問題鏈，通常是指教師為了實現一定的教學目標，根據學生已有的知識和經驗，針對學習過程中將要產生或可能產生的困惑，將教材知識轉化為層次鮮明、環環相扣、具有系統性的一連串教學問題［2］.問題鏈可以分為引入性問題鏈、差異性問題鏈、遞進性問題鏈、探究性問題鏈、遷移性問題鏈、彈性化問題鏈、總結性問題鏈這七種類型.引入性問題鏈，一般通過創設情境暗示數學與實際生活密切相關，同時也能激發學生的學習興趣，培養學生善于發現問題、提出問題的能力；差異性問題鏈，可以引發學生產生元認知沖突，促進學生對知識的充分理解，讓知識橫向關聯、縱向生長、多元建構；遞進式問題鏈則是通過設計促進學生思維深度和廣度逐次遞進的問題串，推動學生高階思維的發展;探究性問題鏈主要是為培養學生的探索精神和創新能力而設計的具有思考性的問題;遷移性問題鏈主要是通過設置同質問題，培養學生舉一反三的學習能力;而總結性問題鏈則是通過問題串，促使學生將分散的、孤立的知識整合，形成一個系統化、結構化的網絡.問題鏈的價值體現在學生的整個學習過程中，它代表的不僅是數學知識之間的聯系.更是學生思維著力點之間的聯系.只有當問題能夠促進學生的思維不斷產生沖突，并在沖突中逐漸深入的時候，才能有效保障深度學習的發生，才能夠彰顯出其促進學生深度學習的意義.

3.2 依據主線問題，細化問題鏈

根據本節課的教學內容和教學環節，教師在創設情境后，為突破本節課的主線問題，將其拆解成一連串具有邏輯性、關聯性和層次性的問題鏈形式，問題鏈的具體設計如表1所示.

①培養學生分類討論的意識，能明確分類界點，對不同收費情況進行分析；②發現并利用等量關系建立方程模型，利用模型結論解釋實際問題.

由何：

創設問題情境.

問題情境：最近聽說電信公司出了許多資費套餐，根據平常的撥打時長情況，老師認為月使用費58元和88元兩種套餐較適合我，但具體哪一種對我來講更劃算呢？

引入性問題

是何：

表格中的數據是什么意思？

①月使用費58元，主叫限定時間150 min，是什么意思？主叫超時費0.25元/min又該如何理解？

②如果通話時長為150 min，按方式一該如何收費？

③如果通話時長為100 min呢？400 min呢？遞進性問題鏈

④月使用費88元，它的主叫限定時間和主叫超時費又該如何理解？

⑤如果通話時長為350 min，按方式二該如何收費？100 min呢？400 min呢？

⑥當通話時長為350 min時，如果按方式一該如何收費？同樣，當通話時間長為150 min時，按方式二又該如何收費？

遷移性問題鏈

⑦以上四種不同的主叫時間，觀察兩種計費結果，你發現了什么？

⑧哪段主叫時間區間你可以優先確定較省錢的方式？

⑨當主叫通話時間超過150 min、不足350 min的時候，哪種收費方式更便宜呢？

⑩例舉跑步的例子，開始你領先，后來我領先，那么中間是不是會有某一時刻，讓這兩個人……

遞進性問題鏈

為何：

設一個月內移動電話主叫時間為t min（t是正整數），當t在不同時間范圍內取值時，按方式一和方式二如何計費？

①通話費用主要取決于主叫時間，而主叫時間是一個變量，我們應該如何表示這個主叫時間？

②當t≤150，150＜t＜350，t≥350時，應該如何表示這兩種方式的收費情況？請填寫表格.

③請你解釋表格中每一類費用的計算方法.

遞進性

問題鏈

④你能根據不用主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？

⑤當150＜t＜350時，如何比較哪種計費方式更省錢？

⑥當150＜t＜270，270＜t＜350時，分別選擇哪種計費方式更省錢？

⑦當t≥350時，你是怎樣判斷哪種收費方式更便宜的？

探究性

問題鏈

如何：

你能根據主叫時間的不同，選擇省錢的計費方式嗎？

①根據上述分析，請你幫老師設計最優的資費套餐.

②既然主叫時間t≤150與150＜t＜270時，都是方式一便宜，能將它們歸納在一起嗎？

總結性問題鏈

③仿照上面的方法，當270＜t＜350與t≥350時，又該如何選擇計費方式？

遷移性問題

④你能把剛才幾位同學的想法總結一下嗎？

總結性問題

若何：

（課堂小結）如果再碰到類似的問題，你該如何解決？請你談談解決本題的經驗或基本過程.

①為什么要設主叫時間為t？

②為什么要對整個主叫時間分類討論？

③如何對主叫時間分類討論？

④當t不同時，如何計算每一類方式的通話費用？

⑤如何比較兩種不同的計費方式？

⑥設計最優方案時，應注意哪些問題？

總結性問題鏈

如表1所示，在研究數據表示的含義時，設置的是遞進問題鏈，方式一中對“月使用費”“主叫限定時間”以及“主叫超時時間”的解讀，從通過設置“主叫時間”為150 min時計算通話費用，到設置“主叫時間”為100 min和400 min時計算通話費用，層層遞進，讓學生自己去感受和發現其中的不同，初步理解數據表示的意義；接著對方式二也用同樣的方式來研究，這屬于遷移性問題鏈，引導學生多維度、全方位感知“計費方式”的選擇依賴于“主叫時間”；“以上四種不同的主叫時間，觀察兩種計費結果，你發現了什么？”第一次引發學生的思維沖突，幫助學生明確了分類討論的研究方式以及分類界點的確定，同時，使學生的學習從“感性認識”逐步過渡到“理性分析”，也為數學模型的建構搭建了良好的基礎.之后，從“主叫時間”的表示方式到不同分類方式時通話費用的表示，再到不同分類標準下省錢計費方式的選擇，通過層層遞進的設問，再次引發學生的思維沖突，促進學生積極思考，通過分類討論得到“方程模型”，進而利用方程求解關鍵數據，讓學生意識到方程的重要性和價值，增強學生應用模型的意識和能力.教師因勢利導，提出“當150＜t＜350時，如何比較哪種計費方式更省錢？”以及“當150＜t＜270，270＜t＜350時，分別選擇哪種計費方式省錢？”等問題，接二連三的追問，再次引起學生的認知沖突，在化解矛盾、解決問題的過程中，將學生的思維引向高潮.“當t≥350時，你是怎樣判斷哪種收費方式更便宜的？”給學生以更多的探索時間和空間，去思考、去體驗、去創造、去成長.在設計省錢方案時，運用總結性問題鏈和遷移性問題鏈，引導學生利用數學結論解釋實際問題，從而完成數學建模的完整過程，發展了學生歸納總結的思維品質.通過課堂小結部分，設置總結性問題鏈，深入淺出地對解題程序進行歸納、總結、提煉、升華，幫助學生梳理知識脈絡、理清問題處理的思路，體會數學建模的魅力，提高應用數學的意識，讓學生以后在處理類似問題時思路更清晰、流暢［3］.

在整節課的學習過程中，精細的問題鏈，不斷地引發學生的思維沖突，促進學生的思維水平向縱深發展，有效地保證了深度學習的發生，彰顯出學生深度學習的意義.

4 小結

學生的深度學習并不是加深教學的深度與難度，而是在教師的引導下，學生圍繞著具有挑戰性

的主題進行學習，通過積極參與、體驗成功，獲得一定發展.在數學課堂中，學起于思，思源于疑，疑始于問.以問題為導向，從“四基”“四能”“三會”建構教學聯絡點，明確核心問題，設計主線問題，運用“先行組織者”，通過精細化的問題鏈給學生適當的課堂“留白”，引導學生主動探究，通過發現問題、分析問題，運用邏輯推理解決問題等，讓學生的思維從“低級”走向“高級”，從“被動”走向“主動”，從"淺表"走向"深刻".

總而言之，以問題為導向，不僅能促進學生掌握學科的核心知識和技能，獲得學科思想方法，還能幫助學生形成積極的內在學習動機和正確的價值觀，使其成為一名既具有獨立性、批判性、創造性，又具有合作精神、基礎扎實的優秀的學習者［4］.以問題為導向，促進學生的深度學習，讓學生的學習更加精彩.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：56.

［2］錢言午.用問題鏈促進初中數學深度學習的研究［J］.數學教學通訊，2020（8）：61-62.

［3］黃倩，王光明.數學課堂追問的類型及特征——基于顧沛先生對“電話計費問題”課例的點評［J］.教育科學研究，2015（2）：59-64.

［4］羅濱.深度學習：從內容單元到學習單元［J］.北京教育（普教版），2018（7）：26-27.