基于數學核心素養的“勾股定理”教學實踐研究

尚秀清

摘要：學生經歷探索和證明勾股定理的過程，發展抽象、幾何直觀素養；通過歸納、猜想、驗證培養邏輯推理能力；通過動手操作畫圖、拼圖等活動培養直觀想象能力、創新思維，落實數學核心素養培養.

關鍵詞：數學核心素養；勾股定理；課堂教學

培養初中學生的數學核心素養，就是要培養學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.在義務教育階段，數學眼光主要表現為抽象能力（數感、量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念和創新意識；數學思維主要表現為運算能力、推理意識或推理能力；數學語言主要表現為數據意識、數據觀念、模型觀念、應用意識.課堂作為培養學生核心素養的主陣地，為發展學生的核心素養提供可持續的支撐.勾股定理的應用中蘊含著數學抽象、邏輯推理、幾何直觀素養.

1 勾股定理的應用中所蘊含的數學學科核心素養分析

1.1 從文字描述到符號表達：勾股定理中的數學抽象

史寧中認為，數學基本思想是數學發展所依賴、所依靠的思想，是研究數學學科不可缺少的思想，也是學習數學.理解和掌握數學所應追求和達成的目標.數學發展所依賴的思想本質上包含抽象、推理、模型，其中抽象是基礎.把現實生活中的具體情境通過抽象轉化成數學問題，經過推理得到數學結論，再經過模型構建數學與其他的關聯.

勾股定理描述了直角三角形三邊的數量關系，為全等三角形的判定、相似三角形、三角函數等后續相關數學內容的學習奠定了基礎.在傳統的數學教學中，受到應試機制的影響，教學更多聚焦于勾股定理在解題中的應用，因而忽視了其自身的教育價值，導致學生對勾股定理的理解流于表面，知其然而不知其所以然，沒有經歷勾股定理的抽象過程.數學抽象的本質在于摒棄一切物理屬性而獲得數量與數量關系、圖形與圖形關系的本質屬性.在“勾股定理”的教學中，可以通過創設情境，引導學生經歷勾股定理的抽象過程.例如，可以給出一些三角形，其中包括銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，然后由學生來發現這些三角形邊長的數量關系，確定哪類三角形的邊長的數量關系是穩定的，完成文字表述，進而形成符號語言，這本身就是數學抽象的過程.

1.2 從圖形關系到數量關系：勾股定理中的幾何直觀

在研究幾何圖形的數量關系時，要結合圖形直觀地去探索和研究，不能憑空思考；反之，幾何圖形中又蘊含了與其緊密聯系的數量關系.勾股定理描述了直角三角形三邊的特殊關系，它架起了幾何與代數的橋梁，在初中數學課程結構中，貫穿于不同內容不同問題中，把邊之間的關系轉化為數的關系.華羅庚教授曾指出“數缺形時少直觀，形少數時難入微”.數形結合作為一種常見的數學思想方法，是培養學生幾何直觀、推理能力和應用意識等素養的重要載體.勾股定理是數形結合的經典內容，主題思想是用代數方法解決幾何問題.例如，嘉嘉要將一根竹竿帶進電梯，電梯的長、寬、高分別是2 m，1 m，3 m，那么嘉嘉放到電梯內的竹竿最大長度是多少呢？要解決這個問題，需要抽象出長方體模型，進而將問題轉化為長方體內線段最長的問題.學生通過分類討論及對圖形的觀察、比較，探究出電梯斜對角之間的線段最長，探究過程中培養了學生的幾何直觀素養.

1.3 從經驗感知到論證推演：勾股定理中的邏輯推理

數學的主要功能之一就是培養學生的邏輯推理能力.《義務教育數學課程標準（2022年版）》在課程總體目標中做了如下要求：經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理和演繹推理能力.能有條理地、清晰地表述自己的觀點.勾股定理的探究過程“創設情境—觀察、分析、歸納—獲得猜想—操作、驗證和證明猜想”是合情推理、演繹推理課堂教學模式.如在探究勾股定理時，先從特殊情況入手，在網格紙上畫格點等腰直角三角形，以三邊為邊向外作正方形，利用面積法探究出等腰直角三角形三邊關系，然后繼續探究特殊直角三角形三邊關系，最后探究一般直角三角形三邊關系，這個過程是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納.

2 數學核心素養在勾股定理應用中的滲透

學生數學學科核心素養的落實，不是指傳授具體的數學知識與數學技能，也不是培養一般意義上的數學能力，它基于數學知識技能，又高于具體的數學知識技能，凌駕于數學思想與數學方法之上.下面談談數學核心素養在勾股定理應用中的滲透.

2.1 創設數學情境，發展數學抽象素養

教育家陶行知先生提出了“教學生活化”的教育思想，即從學生熟悉的生活情境出發，打破教材，從學教材變為用教材，把社會生活中的有效資源與課本知識融會貫通.教師要充分挖掘生活中的素材，引領學生經歷觀察、領悟抽象、建立模型過程，進而發展數學抽象與直觀想象素養.數學從生活中來，又應用于生活中.如從畢達哥拉斯到朋友家做客發現朋友家地磚鋪成的圖案，反映了直角三角形三邊的某種數量關系.從實際生活引入，通過對一系列等腰直角三角形、一般直角三角形三邊數量關系的探究，學生發現這些邊的數量關系中有穩定關系，用數形結合思想，發展學生的數學抽象素養.

2.2 學習數學新知，發展幾何直觀素養

史寧中教授說，數學知識的形成依賴于直觀，數學知識的確定依賴于推理.換句話說，數學的結果有時可以依靠“觀察”得出并不是經過“推理”得到的.所謂“觀察”是一種直覺判斷，這種直覺判斷是學生經過長期有效的觀察和思考形成的一種能力.這種能力被稱為直觀能力，是人本身先天存在的，不需后天培養，但是良好的直觀能力的養成卻依賴于經驗.直觀不是“教”出來的，而是自己“悟”出來的，這就需要經驗積累.在證明勾股定理的探究中，學生準備邊長分別為a，b的兩個正方形紙板，一把剪刀，一把直尺.

如圖1，把邊長為a，b的兩個正方形連在一起，它的面積是a2+b2；另一方面，這個圖形分可割成四個全等的直角三角形和一個小正方形.

把圖1中的兩個三角形移到圖1（2）中所示的位置，形成以c為邊長的正方形（趙爽弦圖）.課堂中，學生動手操作、探究，進而發現直角三角形三邊的關系，發展了幾何直觀素養.

2.3 經歷勾股定理的探索和證明，發展邏輯推理素養

蘇霍姆林斯基曾經說過，學生動手操作是培養學生推理能力有效途徑.我國著名教育家陶行知先生提出了“手腦并用”的理論，他提倡讓孩子通過自己的口、眼、手，在親自感知、觀察、操作的過程中習得知識.本研究認為，教師在課堂上組織學生觀察、動手操作，啟發他們思考，指導他們通過觀察與分析、領悟與發現，歸納其中的規律，發展學生邏輯推理能力.活動一：讓學生畫三個直角邊長分別為1，2，3的等腰直角三角形，以三邊為邊向外作正方形，并觀察正方形的面積關系.以直角邊為邊的正方形面積記作SA，SB，以斜邊為邊的正方形面積記作SC，則SA+SB=SC.活動二：學生在網格紙上畫一個直角邊長度分別為3，4的直角三角形，得到SA+SB=SC.活動三：猜想一般直角三角形的三邊是否也具有這個特征？在這個教學片斷中，師生圍繞直角三角形的三邊關系問題，經歷從特殊直角三角形到一般直角三角形，層層深入，得出直角三角形的三邊關系.教師在學生的最近發展區設置問題，啟發學生思考，引導他們親歷“猜想-驗證-結論”的探究過程，發展合情推理能力，體現了數學是思維的體操；培養學生從特殊到一般的邏輯推理能力，“有情理、合理性地思考”，提高學生發現問題、提出問題、解決問題的能力.這種循序漸進、拾階而上的過程和方法是數學育人的力量所在，是培養學生的理性思維、發展學生的數學學科核心素養的關鍵載體［1］.

2.4 深度探究、拓展思維，鼓勵學生實踐創新

新課程要求培養學生的批判意識、質疑精神和創新能力，更重視學生的自主性、主動探究，使學生能夠在學習過程中更好地發現問題、提出問題、分析問題、解決問題.在課堂教學中，教師應依據學習目標，精心創設問題情境，鼓勵學生積極思考，引導學生探究、交流，促進學生能力得到提升和發展.

探究活動：學生課前準備4個全等的直角三角形，每個直角三角形的直角邊長分別為ɑ，b（ɑ＜b），斜邊長為c.試著拼一拼，探究勾股定理的證明.

本環節問題的設置具有開放性，有利于促進學生從多方面、多角度（如圖2）進行思考，從而使思維向縱深、寬廣的方向發展，培養創新思維.

追問：用兩個直角三角形能證明勾股定理嗎？

學生的思維大門被打開，通過拆分、平移三角形等得到新的證法，如圖3所示.

“知識只有當它靠積極的思維得來，而不是靠記憶得來的時候，才是真正的知識.”在課堂教學中，教師要把琢磨、研究的權利還給學生，給學生充分思考、合作交流的時間.這樣利于培養學生的邏輯思維能力，引發學生獨立思考，利于培養學生質疑、探究能力，利于學生創新思維及學習主動性的培養.

總體來說，數學核心素養包含數學觀察、數學思考及數學表達.數學觀察即數學抽象能力、幾何直觀；數學思考即數學推理能力及數學運算能力；數學表達包含數學模型意識及數據觀念.勾股定理的學習，注重了知識的來源及其在現實生活中的應用，學生經歷觀察思考、動手操作、猜想驗證，完成了對勾股定理的探索.學生在探究過程中體驗數學推理的方法；重視勾股定理的得出過程，注重數學內在的前后邏輯.學生經歷抽象、歸納過程，學會用數學思維認識問題，用數學的眼光去觀察，落實了數學抽象、幾何直觀、邏輯推理素養的培養.從學生的認知規律出發，建立研究問題的思路，引導學生從特殊到一般進行探究，發現規律、驗證猜想，進而得出結論.用數學的思維思考現實世界，通過小組或同學間的交流，逐漸學會清晰、準確而有邏輯地表達思想，善于傾聽他人見解，內化他人思想，達到同學之間相互學習和共同提高［2］.最后，用數學的語言描述現實世界.

參考文獻：

［1］明永學.培養邏輯推理能力 發展數學核心素養［J］.高中數學教與學，2018（12）：6-7.

［2］陳春燕.基于問題設計 落實核心素養［J］.中學數學教學參考，2018（17）：5-7.