問(wèn)題驅(qū)動(dòng)導(dǎo)向下的“二次函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

宋丹

摘要：在新課改背景下，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程需凸顯數(shù)學(xué)概念的核心地位，促使學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng).本文深入探索數(shù)學(xué)概念形成和發(fā)展的過(guò)程，對(duì)“二次函數(shù)”一節(jié)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；教學(xué)設(shè)計(jì)；知識(shí)系統(tǒng)

弗賴登塔爾認(rèn)為“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)”.數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部以及數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系非常重要，數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化使得數(shù)學(xué)教學(xué)有輪有廓，更利于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的培養(yǎng).

要想更好地用系統(tǒng)論的方法對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行組織安排，教師應(yīng)采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題獲取真知，促使學(xué)生更好地感悟數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，發(fā)展思維，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

1 教材分析

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)內(nèi)容的主干知識(shí)，二次函數(shù)的學(xué)習(xí)不僅進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的掌握，也常與其他模塊的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行綜合應(yīng)用，也為構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系奠定良好的基礎(chǔ)［1］.

2 學(xué)情分析

二次函數(shù)是在一次函數(shù)后，繼續(xù)進(jìn)行深入學(xué)習(xí)的內(nèi)容，且二次函數(shù)作為概念新授課，需要學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般抽象、概括并定義二次函數(shù)概念的過(guò)程，因此對(duì)學(xué)生的探索、推理能力有較高的要求.

3 教學(xué)目標(biāo)

（1）認(rèn)識(shí)二次函數(shù)，認(rèn)識(shí)二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，列出二次函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)自變量的取值范圍.

（2）經(jīng)歷獨(dú)立思考和小組合作，學(xué)會(huì)從知識(shí)的整體性出發(fā)多角度看待問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的科學(xué)精神.

4 教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：情境引入，溫故知新.

如圖1，河源新豐江音樂(lè)噴泉，號(hào)稱“亞洲第一高噴泉”，泉水在空中呈曲線運(yùn)動(dòng)落回地面，在水珠的運(yùn)動(dòng)曲線上，水珠距離地面的豎直高度h與水珠的水平移動(dòng)距離x之間有什么關(guān)系［2］？通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們一起解開(kāi)這個(gè)謎題吧.

設(shè)計(jì)意圖：弗賴登塔爾認(rèn)為，教育應(yīng)該扎根于現(xiàn)實(shí).利用噴泉作為探究對(duì)象，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題的能力，促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界.

環(huán)節(jié)2：自主探究+引入概念.

問(wèn)題1 正方體的六個(gè)面是全等的正方形（如圖2），設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，表面積為y，顯然對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，即y是x的函數(shù)，它們的具體關(guān)系可以表示為_(kāi)_______.

預(yù)設(shè)：y=6x2（記為①）.

問(wèn)題2 如圖3所示，多邊形所有對(duì)角線條數(shù)t與多邊形的邊數(shù)n是否具有函數(shù)關(guān)系？

師：如果多邊形有n條邊，那么你能計(jì)算出這個(gè)多邊形有多少個(gè)頂點(diǎn)么？如果從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，你能作多少條對(duì)角線？

預(yù)設(shè)：n；n-3.

追問(wèn)：n邊形的對(duì)角線總數(shù)________.

預(yù)設(shè)：t=12n2-32n（記為②）.

師：通過(guò)②式可以得到多邊形對(duì)角線的條數(shù)t與邊數(shù)n之間存在函數(shù)關(guān)系.在n的取值范圍內(nèi)，對(duì)于每一個(gè)確定的n值，都有唯一確定的t值與之相對(duì)應(yīng)，所以t是n的函數(shù).

問(wèn)題3 某鞋襪工廠的一款新型球鞋今年的年產(chǎn)量是20件，計(jì)劃今后兩年提高生產(chǎn)量.如果設(shè)定每年在上一年的基礎(chǔ)上增加x倍，那么兩年后球鞋的生產(chǎn)量y將隨x的值而確定，你能確定y是x的函數(shù)嗎？

師：球鞋今年的生產(chǎn)量是20件，你能分別求出一年后和兩年后的產(chǎn)量嗎？并寫出y與x之間的關(guān)系式.

預(yù)設(shè)：20（1+x）；20（1+x）2；y=20（1+x）2，即y=20x2+40x+20（記為③）.

師：通過(guò)③式，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于任一確定的x的值，都有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)，所以可以確定y是x的函數(shù).

問(wèn)題4 函數(shù)①②③有什么共同點(diǎn)？

（學(xué)生以小組形式進(jìn)行討論并總結(jié).）

追問(wèn)1：請(qǐng)認(rèn)真觀察三個(gè)函數(shù)的解析式，并填表1.

預(yù)設(shè)：表1中三個(gè)函數(shù)的自變量與因變量分別為x，y；n，t；x，y.

追問(wèn)2：這些函數(shù)有什么共同點(diǎn)？它們和以前學(xué)習(xí)的一次函數(shù)一樣嗎？能否寫出它的一般形式？

預(yù)設(shè)：每一個(gè)函數(shù)自變量的最高次數(shù)為2.

二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

問(wèn)題5 二次函數(shù)有沒(méi)有其他特殊表示形式呢？

（學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)展開(kāi)討論，并進(jìn)行總結(jié).）

二次函數(shù)的特殊形式：

（1）當(dāng)a，c≠0，b＝0時(shí)，y＝ax2＋c.（不存在一次項(xiàng).）

（2）當(dāng)a，b≠0，c＝0時(shí)，y＝ax2＋bx.（不存在常數(shù)項(xiàng).）

（3）當(dāng)a≠0，b＝0，c＝0時(shí)，y＝ax2.（只含二次項(xiàng).）

設(shè)計(jì)意圖：章建躍提出“概念教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷概括的過(guò)程”，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)定義二次函數(shù)的過(guò)程，掌握二次函數(shù)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與概括能力.

環(huán)節(jié)3：練習(xí)鞏固，突破難點(diǎn).

例 下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有________.

①y=2x2+2；??? ②y=2x2+x（1－2x）；

③y=x2（1+x2）－1；

④y=1x2+x2；

⑤y=x（x+1）；⑥y=x4+x2x2+1.

（學(xué)生進(jìn)行自主思考并回答問(wèn)題.）

預(yù)設(shè)：①⑤⑥.

教師協(xié)助學(xué)生改正錯(cuò)誤并總結(jié)運(yùn)用定義判斷一個(gè)函數(shù)是否為二次函數(shù)的步驟：

（1）首先將函數(shù)解析式調(diào)整為等號(hào)左側(cè)為因變量、右側(cè)為自變量的表達(dá)式的形式；

（2）判斷函數(shù)解析式能否轉(zhuǎn)化成整式；

（3）判斷自變量的最高次數(shù)是否為2；

（4）判斷二次項(xiàng)系數(shù)是否不等于0.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生觀察、辨別和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，以及合作探究意識(shí)和語(yǔ)言表達(dá)能力，提高學(xué)生計(jì)算和推理能力.

環(huán)節(jié)4：總結(jié)反思.

（1）我們是如何開(kāi)展本節(jié)課的學(xué)習(xí)的？

（2）什么是二次函數(shù)？二次函數(shù)解析式對(duì)系數(shù)、次數(shù)有什么要求？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧、總結(jié)、檢驗(yàn)學(xué)生的認(rèn)知情況，培養(yǎng)概括能力；梳理本節(jié)課的探究思路和研究方法，明確本節(jié)課學(xué)習(xí)重點(diǎn)，突破二次函數(shù)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，初步掌握函數(shù)的學(xué)習(xí)方法.

5 教學(xué)反思

全美數(shù)學(xué)教育研究中心提出：“學(xué)生要在理解中學(xué)習(xí).”本節(jié)課屬于概念新授課，教師往往采取“重應(yīng)用”“輕講解”的教學(xué)模式，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不能采取“告知”的形式，否則學(xué)生會(huì)很難理解二次函數(shù)的“一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系”.因此，本文中采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)模式引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中自主構(gòu)建二次函數(shù)的概念，促進(jìn)學(xué)生加深數(shù)學(xué)理解.教師結(jié)合學(xué)生已有的一次函數(shù)的基礎(chǔ)，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)作為主線展開(kāi)教學(xué);利用探究式學(xué)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括二次函數(shù)的定義；結(jié)合多個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決，培養(yǎng)學(xué)生類比的數(shù)學(xué)思想；通過(guò)例題訓(xùn)練，強(qiáng)化知識(shí)的應(yīng)用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)辨別和運(yùn)算能力；引導(dǎo)學(xué)生合作交流，總結(jié)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的重要性，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)系統(tǒng)性學(xué)習(xí)觀念.

史寧中教授指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該由“點(diǎn)”走向“團(tuán)”，從零散走向集合，這樣的教學(xué)才不能稱為應(yīng)試之教.在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，始終貫徹建立數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的思想，在學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，類比一次函數(shù)與二次函數(shù)，使學(xué)生理解一一對(duì)應(yīng)的現(xiàn)實(shí)意義，進(jìn)而總結(jié)出二次函數(shù)的定義.

參考文獻(xiàn)：

［1］何雯.多元表征與變式教學(xué)整合下的初中二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)研究［D］.太原：太原師范學(xué)院，2023.

［2］潘小琴，馮長(zhǎng)煥.基于APOS理論的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)——以“二次函數(shù)的概念”教學(xué)為例［J］.大學(xué)，2021（S2）：34-36.

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