基于抽象素養培養的數學教學研究

［摘" 要］ 抽象素養是每一個學生必備的基本核心素養之一，在數學教學中占有重要地位. 基于抽象素養培養的高中數學教學可帶領學生經歷數學抽象過程，讓學生充分體驗、感知數學抽象的多樣化方法，并通過對知識間聯系的剖析，幫助學生建構完整的知識結構體系，從真正意義上提升數學學科的核心素養.

［關鍵詞］ 抽象素養；抽象方法；結構體系；核心素養

數學抽象是對現實事物進行數量關系與空間形式的抽象，并獲得其內部關系、一般規律與結構，再用數學語言加以表征的過程. 它是對數學事物基本特征的高度概括，屬于一種有序、多級的應用系統. 然而，當前仍有部分課堂存在“重技能，輕思維”的現象，用解題練習代替數學學習. 這種教學理念，嚴重阻礙著學生抽象素養的發展. 為此，筆者對數學抽象素養的培養進行了大量研究，總結如下.

經歷抽象過程

概念本身就具有一定的抽象性特征，其形成常需經歷兩個層次的抽象：①從事物的外部特征出發，通過數學化的方式形成概念；②從事物的內部出發，進一步抽象已有的概念. 研究發現，親歷知識形成與發展的過程對知識的掌握會更加牢固，應用起來也更得心應手. 因此，帶領學生經歷概念的抽象過程是夯實學生知識基礎的關鍵，也為后續的綜合應用做鋪墊. 同時，經歷抽象過程還能讓學生在基于深度學習視域下掌握概念的內涵與外延，此為發展“四基”的根本.

案例1 “導數”的概念教學.

第一步，利用豐富的情境或數學史引出導數的概念. 實踐發現，以豐富的情境引出導數概念，并通過數學史料的介紹滲透數學文化，可激發學生的探索欲，同時結合“運動學”可成功引出教學主題. 其中，教師最常用的“運動學”情境為“高臺跳水”活動，讓學生發現平均速度并不能解決“跳水”中的所有問題，由此凸顯“導數”的重要性.

第二步，例證分析. 針對高臺跳水活動，教師提出“怎樣計算瞬時速度”的問題. 要解決這個問題，需要引導學生從平均速度著手，探尋求解瞬時速度的具體方法與思路. 此過程主要分為兩個階段：①第一次概括，在教師的引導下，學生自主發現，求某個時刻的瞬時速度就是求某時間段趨近0時的平均速度，而且平均速度的變化具有如下趨勢：當時間段越來越小，平均速度會趨向于某個不變的常數. 這個常數就是物體在某個時刻的瞬時速度. ②第二次概括，通過對第二個時刻瞬時速度的分析，獲得運動員在任何時間的瞬時速度. 在此基礎上，用數學符號=對問題進行描述.

第三步，屬性驗證. 通過對“切線斜率意義”的分析，對導數屬性進行驗證，主要從以下幾方面著手：①教師借助幾何畫板將此過程演示出來，讓學生從直觀的圖象中發現“逼近”現象；②根據瞬時速度求解方法，分析特定拋物線處于任意點時的切線斜率具備怎樣的特征. 不同的問題，竟然呈現出了一致的表達形式，由此揭示不同例子存在的共同屬性. 由此可見，將不同問題的共同屬性抽象成一般化的符號進行表達，對驗證導數屬性具有重要價值.

第四步，概括導數所具備的本質屬性. 將各種問題擺放到一起，去除所有背景，可提煉出“瞬時變化率”為以上問題的共同點，也可理解為它們共有的屬性特征. 將這個屬性應用到一般函數中，則可自然地抽象出“導數”的概念，讓學生切身體會到導數的實質就是瞬時變化率，從而對導數的內涵產生初步認識.

第五步，引導學生對整個研究過程進行復盤、總結、反思，可重新剖析出其中的背景意義、數學屬性及符號表征等，讓學生對導數概念教學前后的一致性產生客觀認識. 在此基礎上，設置一些求函數導數的練習題，讓學生在解題過程中對其符號表征及本質含義有進一步的理解，以從真正意義上明晰其背景、數學屬性及符號表征之間的聯系..

綜上，導數概念的教學流程，不僅突出了概念教學的重要環節，還讓學生從多層次中學會了抽象、概括，對導數的概念從多角度、多維度、多方法上產生了深刻理解. 這是幫助學生形成“三會”能力的基礎，也是促進學生數學學科核心素養發展的必經之路.

體驗抽象方法

1. 基本概念抽象

概念一般在教師的指導下，學生經過自主探索與思考抽象而來. 上述導數的概念教學，教師采用了概念形成的基本方式. 函數作為數學學科體系中的一大分支，知識容量較大，如函數的概念、單調性等，大部分都是應用概念形成的基本方式進行抽象. 學生多次經歷從實例出發進行探索研究，久而久之則形成一種研究套路，即學生將這種抽象概念的方法內化于自己的認知結構中，形成自己的研究方法.

2. 延續思路抽象

高中階段所涉及的很多教學內容，都是對學生原有知識的推廣. 因為學生對這些概念本身就有一定的認識，所以在抽象新概念時，可延續原有知識生長點進行思路的拓展與延伸. 這種抽象法，一般以新例作為探索背景，通過問題驅導的方式，將學生的思維引到新的知識中去. 這種抽象法具有一定的主動性.

案例2 “分數指數冪”的概念教學.

從學生原有知識體系出發，通過一些例子的應用突破同底數冪除法運算法則中“被除數指數比除數指數大”的限制，讓學生發現零指數冪與負整數冪的存在. 結合這種突破方法，通過對冪的乘方運算法則的探索，讓分數指數冪在學生知識體系中自然生成. 這種突破方法的多次應用，讓學生的思維得以強化，使學生不知不覺就掌握這一類數學抽象方法.

3. 轉化視角抽象

人的思維具有靈活性特征，在數學抽象過程中，轉換一種視角，往往會“柳暗花明”，這也是一種重要的數學抽象法.

案例3 “二項式”定理的教學.

常規情況下，大眾習慣從多項式乘法的角度來歸納一些展開式所蘊含的共性特征，如在（m+n）2，（m+n）3，（m+n）4的展開式的共同點的探索中，借助遞推公式獲得（m+n）n的展開式每一項的系數情況，這個存在一定難度. 若換個思路，基于組合的視角來分析與探索問題，則能化繁為簡，讓思路變得明朗，各個展開式的系數情況能順利呈現.

這個例子告訴我們，不論是數學學習，還是其他學科的學習，當一條路行不通時，可以換一個角度、換一種思維進行分析，多嘗試幾輪，則會有意想不到的效果. 這種抽象法對于數學實驗研究具有重要的促進作用.

除了以上幾種方法外，還可以借助簡單的數學符號對一些復雜的問題進行描述，因為簡潔的數學符號能將一些冗長的信息進行壓縮、概括，這能將原本復雜的問題簡單化，讓學生能更好地掌握相應的概念. 同時借助史料素材來進行概念教學，可以讓學生對概念的前世今生形成深刻理解，起到激趣啟思、滲透數學文化等作用，讓概念教學成為滲透核心素養的契機.

形成結構體系

1. 形成知識結構

數學是一門系統性的學科，知識間存在著一定的聯系與規律，人們用知識結構來表示這種聯系與規律. 知識結構表達了數學家族一系列特征，涵蓋了人們從邏輯的角度對知識來龍去脈的認識. 在數學教學中，注重培養學生的抽象素養，幫助學生建構完整的知識結構，不僅能讓學生從整體上認識數學學科，還能提高學生對知識的預見，提升學生的解題能力.

案例4 “導數”的概念教學.

從邏輯的角度來分析，導數屬于函數性質中單調性的壓縮結論，與函數單調性最大的區別在于兩者描述的內容不一樣，函數單調性是對兩個不等式關系的分析，而導數則是不等式的融合，若將不等式結合在一起形成分式，則屬于函數圖象內連點成割線斜率的過程.

在教學中，教師帶領學生分別理清“導數”“斜率”“單調性”的關系結構，不僅能幫助學生為三個知識點建立聯系，還能進一步深化學生對“用導數判斷函數單調性”的認識，讓學生在獨立思考與合作探索的過程中，自主建構完整的與導數概念相關的知識結構，達到深度學習的目的，也從真正意義上促進抽象素養的形成與發展.

2. 建構數學知識體系

建構數學知識體系屬于高階的數學抽象，能讓學生從宏觀的角度深刻認識數學知識、理論體系以及研究方法.

從抽象素養的角度去構建數學知識體系，存在以下三方面的內容：①站到高位梳理知識體系；②為不同體系的內容建構聯系；③基于對結構體系的梳理，形成統一的研究方法，提出新的命題.

案例5 “復數”的教學.

史實證明，人們首次應用復數是為了解二次方程；到16世紀，卡爾丹應用復數解三次方程，當時人們對復數充滿著疑惑；隨著數學學科的發展，19世紀高斯提出了a+bi（a，b為實數）的幾何意義，自此在數學體系中就有了復數的地位.

基于數學文化的滲透，教師再以問題串的方式，啟發學生思考，引領由淺入深地進行探究，則能讓學生對復數產生不一樣的感受，幫助學生建構完整的知識體系. 學生通過類比自然數、有理數以及實數的擴充過程，發現每一次數系擴充都源于生活實際的需要、解方程的需要或運算的需要等. 由此也能讓學生深刻理解數學與生活密不可分的聯系.

為了讓學生學會基于抽象的角度去構建數學知識體系，在復數教學時，教師帶領學生站到高位來觀察數系擴充的過程，讓學生對復數的概念與其代數形式的四則運算產生初步認識. 在課堂上，教師借助多媒體展示圖1，引導學生基于整體的視角來觀察本單元的教學內容，做到心中有溝壑，為后續教學做鋪墊.

在數學史與問題串（略）的引導下，學生自主抽象出擴充數系的方法，并基于向量的聯系提取一般性的概念與數學思想方法. 圖1的應用，進一步強化了學生的整體思想，讓學生學會從宏觀視域來探索教學內容，并達成知識體系的統一性.

總之，數學抽象的培養需要經過長期潛移默化的滲透. 在教學中，教師應想方設法引導學生親歷數學抽象過程，引發學生體驗抽象帶來的成就感，激發學生的探索欲，為幫助學生建構完整的數學知識結構與知識體系奠定基礎，從真正意義上促進學生抽象素養的發展.

作者簡介：馮軍（1985—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作.