數形結合思想在初中函數教學中的應用

摘 要：數量關系和空間形式是現代數學的主要研究對象，以此為出發點發展而來的數形結合思想實現數學學科中抽象關系的形象化，以及形象圖像的邏輯化，全面加強初中數學數形結合思想教學將極大促進初中學生直觀想象、數學抽象、數學建模能力與素養的培養。在新課標不斷改革的教育背景下，傳統單一化、刻板性的教學模式所暴露的局限性日益明顯，學生的數學發展需求日益多元，數學教學模式的革新成為必然趨勢。因此，文章以初中函數教學為例，重點分析應用數形結合思想來進行教學改革的現實意義與科學實踐。

關鍵詞：初中數學；函數；數形結合思想；應用

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 2097-2539（2024）18-0173-03

*本文系寶雞市2024-2025年教育科研規劃課題“新課標視域下初中數學函數教學中‘數形結合’思想的融合創新與實效探究”（編號：BJGH2024-001）階段性研究成果。

數與形是數學問題雙重屬性的直接體現，“數”意味著以代數知識解決實際問題，“形”意味著以空間屬性分析數量關系。作為數學學科的兩大核心部分，數形結合既體現了數與形之間的密切聯系，也為學生數學思維的發展和數學問題的解決提供了全新思路，成為新課標數學核心素養教育的重要任務之一。函數的本質就是數與形的有效結合，作為初中學生數學學習的重點和中考的難點，以數形結合思想進行函數教學實踐，對學生的高效學習、對數學概念本質的探究具有重要意義。

一、數形結合思想在函數教學中的應用意義

（一）有助于提高知識理解有效性

函數相關知識的學習是數學教學的核心和重要內容，在學生整個數學學科學習過程中發揮著承上啟下的關鍵作用，但對初中學生而言，他們的邏輯思維和抽象能力始終處于較低水平，而函數知識又表現出鮮明的抽象性、復雜性，二者之間的根本對立矛盾會進一步增加初中學生對函數概念、屬性的理解，以及應用函數屬性知識快速解決實際問題能力的培養。同時，函數作為一個系統概念，具有極為廣泛的知識輻射面，正確理解并深入掌握這些輻射知識點對學生的考試、成長十分重要。而對數形結合思想在函數教學中的應用，教師可以帶領學生通過作圖的方式將抽象函數概念文字描述轉化為直觀圖像，從而降低學生理解難度，快速鎖定題干要求和題目所求。還可以以圖表的形式建構函數概念相關知識的整體框架，從而幫助學生更加系統和全面地掌握相關知識，促進初中學生數學認知結構的優化。

（二）有助于拓展問題解決的多元性

溯源學科發展的歷程，理論知識的形成、積累、提煉與豐富發展始終與實踐應用保持著密不可分的聯系，可以說，實踐應用既保障了理論知識的持續更新，又為理論知識的功能性提供了發揮空間。而在初中數學教學過程中，數學知識的實踐應用有廣義和狹義之分，狹義的實踐應用即學生應用數學知識解答數學考試與練習題目，以提高數學考試成績，廣義的實踐應用即學生應用數學知識分析并解決生活中的數學問題。以數形結合的思想開展數學知識的教與學、廣義與狹義層面數學問題的分析與解決，意味著學生能透過表象精準把握數學問題的本質與內在聯系。如此，當學生在考試中遇到函數問題時，除了可以從文字本身出發來列出題干中的數量關系，還可以以圖表文，通過圖像與圖形挖掘隱含關鍵信息。更重要的是，當學生完成了圖文轉化后，也可以從圖形視角解答數量問題，這樣可以拓寬學生的解題思路，豐富學生數學函數知識的應用思維的多元性。

（三）有助于發展學生思維靈活性

數學思維的培養是數學核心素養的集中體現，也是數學學科本質屬性的要求。在傳統知識講解與題海訓練型數學課堂中，初中數學教師教學與學生學習的根本指向都在于應試能力的提高。達成這一目標的途徑是冗雜繁復數學題目的持續訓練，其結果往往不如人意，部分學生仍存在審題無邏輯、答題無思路等問題，其本質是學生并未能掌握數學思想，缺乏數學思維的靈活性和邏輯性。而數形結合作為數學學習的重要思想，能以圖代文、以文表圖，通過圖與文之間的靈活轉化，實現數學概念、數學題目中點、線、面的有效結合，極大促進了學生形象思維的發展。同時，在文字概念或文字類題目審題過程中，學生往往會存在一葉障目的問題，這同樣反映了學生數學思維的漏洞。而數形結合則可以逐字逐句地進行文字轉化，也可以在圖形上補充體現題目與概念之外的知識點，這極大促進了學生數學思維的邏輯性發展。

二、數形結合思想在函數教學中的應用實踐

（一）以數學問題為驅動，激活數形結合思維興趣

函數中數值變化的規律性是實現數與形相互轉換的基本前提，但從實際層面而言，函數中數值變化的規律往往被大量的文本描述信息所掩蓋，需要學生充分發揮自己的關鍵信息提取能力和邏輯思維整合能力。而這一基本前提的達成，需要學生具備一定的數學學習能力以及對數形結合思想的感知能力。從初中學生的實際情況、認知水平、思維特性為切入點來看，相較于主動告知學生數學知識的由來、數量關系變化的現實規律，他們往往更傾向于主動發現、主動思考、主動探究以及結論驗證的學習過程。基于以上教學現實的考量，在初中函數教學過程中有效應用數形結合思想，教師可以圍繞數學文本設置啟發性、探究性問題，驅動學生由表及里、由表象到本質提煉文本信息中的數量關系，并通過對數量關系的分析及其內在變化規律性的總結實現數形結合的思想滲透，達成以形助數、邏輯思考、規律總結的自主性學習效果。比如，一次函數的本質是集合之間的嚴格對應關系，作為初中數學函數學習的基礎，其代表的數量關系變化具有明顯的規律性。在對一次函數問題進行教學講解時，教師可以引導學生以認知范圍內的圖形或圖表對一次函數中函數與自變量之間的關系進行直觀表示。以速度、時間、路程三者之間的函數關系為例，教師給出三道圍繞這一基礎一次函數概念展開的例題，并向學生提出思考問題——三道題目中的數量關系有哪些共同點？如何描述這種數量關系的變化規律？基于教師的問題引導和學生的觀察，多數學生可得出結論——每道題目中的數量關系都有變量和不變量，同時因為某些數量是恒定不變的，所以與這個不變量相關的其他變量之間也存在某種關系。對這種對應的數量關系進行表示和描述，可以借助圖表工具，標明橫縱坐標的意義和數據，即可直觀感知函數中的數量關系變化規律。

（二）以實例應用為啟發，增強數形結合應用認知

解決實際性的數學問題是數學函數學習，乃至數學學科學習的根本，同時培養學生的學科應用認知與能力也集中體現了新課標下數學核心素養培養的本質內涵。如上所述，驅動性數學問題的提出與引導，使初中學生產生了濃厚的數形結合思想興趣，并基于此實現數學函數教學與數形結合思想的深度鏈接與有效結合，需要數學教師在函數課堂上融入函數數形結合思想實例，通過整體感知數學函數數形結合模型提高初中學生的數形結合應用認知，最終達到以數定形的教學效果。比如，在出行如何選擇旅行社的問題處理上，學生通常會遇到的題目內容包括人數滿額成團與人數不滿額成團時不同的選擇計劃，作為中考函數題型的重要考點，這一題型還可以進行租車等內容轉變。在以數形結合思想進行函數例題分析教學時，教師給出一道例題，學生利用最熟悉的表格工具對該函數關系中價格、人數的關系進行梳理，可以發現：當成團人數均為20人時，A旅行社的價格比B旅行社價格便宜600元；但是，當成團人數到達70人時，可以分別參加A旅行社8折和B旅行社的6折活動，折算下來的價格，B旅行社的性價比更高。在對這道常考函數實例進行分析時，學生應用表格工具進行了數據展現與關鍵信息提取，并分階段、分梯度提出了最合適的旅行社選擇計劃和原因。整體上而言，這道生活化函數題目的解答與分析進一步增強了初中學生以數形結合思想分析函數知識生活應用的認知，但也存在一定的局限性，那就是表格工具會無形放大該題目的計算量，部分學生往往會出現因耐心不足而錯過答案轉變關鍵點的問題，因而需要進一步導入更直觀且準確的數形結合工具——函數圖像。

（三）以思維逆推為引導，培養數形結合深度思維

隨著新課標的提出與深入落實，初中數學教學與中學考試越來越關注對學生深度邏輯思維的引導與考察。作為直接關系學生未來學習與生活的必要素養，深度邏輯思維不僅表現在學生以逆向思維梳理數學概念、定理、公式等基礎理論知識與實踐應用之間的對應關系，還表現為學生以逆向思維為指引，從結論入手推理結論由來的原因及其蘊含的數學思想。具體到數形結合思想在數學函數教學中的實際應用，意味著數學教師要在幫助學生掌握以數定形數學方法的同時，指導學生從圖像與圖形入手提取關鍵數量關系信息的技巧方法，將直觀形象的圖像轉化為邏輯具象的函數解析式，以此精準答題、正確應用，真正實現全面培養初中學生數學函數數形結合應用能力的目標，真正發展初中學生的數學深度邏輯思維。比如，巡邏船地追及問題在數學函數考核中同樣是一個重要考點，在函數教學過程中應用數形結合思想，以培養學生的逆向思維為重點，教師可以引導學生以函數圖像的繪制和分析提取相應關系，得出數量關系的函數表達式，而后進行問題拓展思考，利用所學函數基礎知識、積累生活經驗進行逆推訓練。具體而言，引導學生思考：巡邏船在海上追逐可疑船只，如何通過已知條件得出這一結論。學生根據已知條件繪制函數圖像，發現當直角坐標系中出現相交點時，說明巡邏船和可疑船只同時到達相同地點，這種情況下便是相遇問題，其計算方法轉變為巡邏船與可疑船只行駛路徑的函數關系式，而后代入相應函數圖像中的坐標數值，可以得出所求答案。通過以上案例應用的分析，學生既掌握了函數知識中數形結合思想的逆推方法，又培養了初中學生數學應用的深度思維，對初中學生數學應試能力的提高和數學核心素養的培育將發揮重要的促進作用。

（四）以習題訓練為保障，提高數形結合實踐能力

知、懂、會、熟、巧是數學學習由基礎到深層、由表層到深刻的發展過程，在數形結合思想應用于數學函數教學過程，“知”意味著學生真正掌握了數形結合思想的概念、本質、核心，“懂”意味著學生能精準把握數學結合的應用關鍵，“會、熟、巧”則重點表現了學生在數學考試與生活實踐中對函數數形結合思想的融會貫通、學以致用。因此，在常態化課堂教學之余，數學教師還需加強日常的習題訓練真正提高學生的數形結合實踐能力。但需要強調的是，培養學生數形結合實踐能力導向下的課堂函數習題訓練與以往的習題選擇存在本質區別，具體需要遵循三個基本原則：首先，要緊緊圍繞新課標的要求、目標進行習題選擇，要重視學生以數形結合思想來分析、思考與解決基礎函數知識相關習題的能力考核，不能為了提升學生思維而揠苗助長式選擇高難度、怪題型、偏門的數學習題；其次，要體現函數訓練題目難度的層次性和階梯性，也就是要確保學生在準確掌握函數基礎理論知識的前提下進行思維高階訓練，引導學生數學函數思維與實踐能力由數形結合基礎應用到深度探究的逐步遷移，以確保函數數形結合習題與不同認知水平、能力情況初中學生的適配度，并實現不同初中學生在現有認知與能力水平基礎上向“最近發展區”的提升；最后，以中考大綱為核心設計函數數形結合訓練習題，不能超綱進行習題選擇與設計，要在保障學生應試能力提高的基礎上，對其進行深度數形結合應用思維與能力提升訓練，這樣才能真正發揮數學學科與數學思想方法的育人功能。

三、結語

總之，數學結合思想在初中函數教學中的滲透應用，能幫助學生快速理解和掌握數學知識、培養學生的抽象想象能力和空間創新思維，對初中學生未來的數學學習與生活應用均發揮著重要的指導作用。因此，初中數學教師應以新課標要求為指引、以核心素養培育為導向、以先進的教學思想與手段為支架推進數形結合思想與函數教學的深度融合。通過豐富多樣的教學實踐活動的開展以及高質量教學訓練的組織發展學生思維能力，全面支持初中學生的可持續發展。

參 考 文 獻

[1]王鐵建.數之有趣，學之有味——新課標背景下初中數學核心素養發展教學研究[J].問答與導學，2024（13）.

[2]陳葉波.滲透數學思想促進思維發展——以數形結合思想的課堂運用為例[J].輔導員（教學版），2011（05）.

[3]林琪.深度學習覓因果，數形結合探本質——以函數奇偶性為例[J].中學數學研究，2022（06）.

[4]陳麗黎.類比探究透本質，數形結合雙翼飛——“二次函數的圖像與性質（3）”的教學設計與反思[J].中學數學，2022（12）.

（責任編輯：莊美純）