發展學生數學核心素養的案例研究

任亞蓉 沈威

摘 要：發展學生的核心素養成為了當前討論愈來愈激烈的話題，培養學生的核心素養成了課堂教學的目標.本文根據研究目的，以“直線與圓的位置關系（第一課時）”教學案例為研究對象，探究其中的教學特征，建構教學路線結構圖.研究發現整個教學過程主要發展了學生在數學運算、直觀想象、邏輯推理三方面的數學核心素養.

關鍵詞：數學教學；核心素養；個案研究

1 問題的提出

為了深化高中數學教學改革，研討高中數學課堂教學落實數學學科核心素養的策略和方法，提高課堂教學質量，本文選取了“第十屆高中青年數學教師優秀課展示與培訓活動”中的教學案例“直線與圓的位置關系（第一課時）”為研究對象，教學內容來自人教版普通高中教科書《數學》（選擇性必修第一冊）第二章.

通過對課例視頻的反復觀看、對文字謄錄稿逐行閱讀、劃分教學片段得出了研究問題.經過整理發現，教師在引導學生掌握新知的基礎上帶領學生體會數學思想，將其代入實際生活情境中進行應用，并將對學生數學核心素養的培養貫穿整個教學過程.其中，在數學運算素養方面，教師注重剖析學生在運算過程中出現問題的真正原因，從不同的方面深化學生對運算對象的理解，帶領學生參與到運算的推導過程中；在直觀想象素養方面，教師注重引導學生將數與形進行結合，實現數與形之間的轉化，使得抽象問題直觀化、生動化，強化學生對數與形之間對應關系的理解與應用能力；在邏輯推理素養方面，教師注重培養學生用數學思維思考問題，把握解題對象之間的內在聯系，并運用歸納、類比的方法解決問題.因此，本研究主要關注教師在整個教學過程中如何對學生的數學運算素養、直觀想象素養以及邏輯推理素養進行培養.

2 研究過程

2.1 劃分教學片段

首先觀看完整的教學視頻并通讀新授課謄錄稿，深入教學過程并對其做教學片段的劃分，劃分依據是教學過程中教師問題的提出，比如，教師提出“哪位同學能結合兩條直線位置關系判斷方法，說說你對坐標法的認識”這算作一個教學片段，在學生對坐標法進行回顧之后，教師又提出“我們利用坐標法還能研究哪些基本圖形之間的位置關系”這算作另一個教學片段.按照這種依據對教學過程劃分為十個教學片段，構建教學結構圖，撰寫教學故事.

2.2 畫教學路線結構圖與撰寫教學故事

根據教學過程建構“新授課”的教學路線結構圖，可以直觀展示“直線與圓的位置關系（第一課時）”的教學環節、教師與學生的互動等方面，如圖1所示.

在教學路線結構圖的基礎上，運用厘清故事線的分析技術，撰寫“直線與圓的位置關系（第一課時）”的教學故事.

判斷直線與圓的位置關系是判斷圓錐曲線位置關系的基礎，本節課開始，教師引導學生回顧舊知，類比判斷直線與直線的位置關系的方法，引出對坐標法的認識，通過提問“利用坐標法還能研究哪些基本圖形之間的位置關系”導出課題.之后學生進行動手操作，通過移動圓形紙片與直尺來感知直線與圓的三種位置關系，利用GeoGebra呈現直線與圓看似相切的圖片，通過放大使得學生感受到在觀察位置關系時，利用圖形進行直觀判斷與真實情況是存在著偏差的，從而引導學生回答“利用代數運算判斷直線與圓的位置關系”.

在學生掌握了用兩種方法判斷直線與圓的位置關系之后，教師呈現例1，讓學生應用以上的方法判斷直線與圓的位置關系，并在相交的情況下計算所截弦長.作答時間結束之后，由兩名學生上黑板講解自己的解答思路：第一名學生聯立直線與圓的方程得出Δ＞0，進而判斷直線與圓相交，之后該學生使用了之前學過的三種公式即兩點的坐標公式、弦長公式｜AB｜=1+k²｜x₁-x₂｜、｜AB｜=1+k²·（x₁+x₂）²-4x₁x₂求出了弦長；第二名學生通過比較d與r判斷直線與圓相交，之后結合圖形利用勾股定理求出了弦長.教師總結兩名同學解題思路之后由另一名學生進行了點評.

例題結束后，教師帶領學生對兩種判斷方法進行了總結.在第一種方法中，教師通過提問引導學生去聯立方程求直線與圓的公共點，并將其等價為方程組實數解的個數，之后對方程組進行消元得到關于x或y的一元二次方程，將其記作*方程，提問“*方程的解的個數與方程組解的個數之間有什么關系”進而得出Δ＜0時直線與圓相離；Δ＝0時直線與圓相切；Δ＞0時直線與圓相交.在第二種方法中，教師仍是通過提問引導學生通過圖形初步判斷出兩個線段長度的關系，之后通過代數運算得到d和r兩個數值，并將其進行比較，得出d＞r時直線與圓相離；d=r時直線與圓相切；d＜r時直線與圓相交.最后，將d與r之比轉化為了它們的差與0相比，將上述兩種方法聯系了起來.

對兩種方法進行總結之后，教師呈現“在已知一點及圓的方程的情況下求圓的切線方程”例題（1）題由一名學生進行講解，該學生根據斜率k存在或不存在進行了分類討論，最后得出了三條切線，由于斜率k不存在時得出的切線方程不符合題意，所以舍去，最終得出兩條切線方程；（2）題學生進行板演，教師對其進行了講解；（3）～（5）題由另一名學生進行講解，該學生結合圖象，觀察到點在坐標系中的位置都比較特殊，進而直接通過圖象得到了切線方程，在（5）題中，教師還叫一名學生進行了板演，該學生解題方法不同于上面那名同學，而是通過d與r計算得出斜率k，從而得出切線方程.最后，通過同學們的板演、講解，教師與學生討論了“求出來的切線為什么有兩條？從幾何圖形上思考會具有什么樣的特點？”兩個問題.

在學生經歷了判斷直線與圓的位置關系、求解弦長及切線方程后，教師與學生共同總結在本節課學到了什么，學生的回答為：我們不僅學習了判斷直線與圓位置關系的兩種方法，一種是聯立方程，另一種是比較圓心到直線的距離與半徑，以及學會了求弦長，切線的方程，在這過程中體會到了數形結合的思想.教師帶學生又進行了一次梳理：我們是通過動手操作、圖形觀察回憶起了直線與圓的三種位置關系，通過建立坐標系將相關的幾何要素代數化，進而得到了解決直線與圓的位置關系的兩種代數方法，又研究了過一點求切線的問題以及求弦長的問題，并且本節課的內容是在數形結合及轉化化歸兩大重要的數學思想的支撐下完成的.

為鞏固學生本節課所學內容，教師為此呈現了兩道例題，在第一題中已知直線與圓的方程，讓學生判斷它們的位置關系；在第二題中，已知直線方程，并且該直線與圓相切，要求求出圓的方程.在學生們完成之后，教師在課堂上對其進行了批改，了解學生對本節課所學內容的掌握情況.

最后，教師帶領學生梳理了用坐標法判斷幾何問題的步驟.第一步，建立恰當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何要素，比如點，線，圓等.把幾何問題轉化為相應的代數問題；第二步：通過代數運算來解決代數問題；第三步：把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論.

3 研究發現

3.1 培養學生數學運算的能力

數學運算是在理解運算對象的前提下，運用掌握的運算法則解決問題的素養，是數學學科核心素養之一，在數學教學實踐中基于法則展開數學運算有著豐富的內涵和層次^［3］.在運算中，學生經常會出現問題，教師會將原因視為粗心^［4］，不會花很多的時間剖析學生在運算過程中出現問題的真正原因.因此，在數學教學過程中，教師要重視學生出錯的真正原因，加強學生對運算對象的概念的理解，重視公式的產生、發展和推導的過程.此外，教師還應引導學生思考不同的運算思路，通過比較，選擇最優的運算思路.

本節課中，教師通過兩道例題，引導學生如何準確判斷直線與圓的位置關系以及如何在相交的情況下求切線.第一題是在平面直角坐標系中呈現了一個圓、一條直線以及三個點的坐標，其中，第（1）題是求直線與圓的方程，第（2）是判斷直線與圓的位置關系，教師呈現（1）（2），循序漸進地引導學生要利用直線與圓的方程去判斷直線與圓的位置關系.學生利用兩種方法即聯立方程、比較d與r得出了直線與圓的位置關系.這道題不僅需要學生會聯立方程進行運算、掌握點與直線之間距離的運算法則，而且還要理解運算對象即聯立方程、d與r的內涵，進而通過判別式Δ或者比較d與r得出直線與圓的位置關系.第（2）題在第（1）題的基礎上增加了難度，學生先判斷位置關系，如果二者相交還需求出弦長.這里學生判斷位置關系的方法與第一題一樣，在求弦長時，兩名學生通過三個公式以及勾股定理進行了運算，在運算的過程中，其中一名學生將公式中的每一個字母分別對應到了本題中，真正理解了運算對象的內涵，另一名學生利用數形結合的思想，通過勾股定理計算出了弦長，這種運算步驟簡單，運算量小，不容易出現錯誤，是一種較為優化的運算思路.在兩道題中，均培養了學生是數學運算素養，并且學生還將運算過程進行了展示，提高了他們的數學交流表達能力，加深了其對相應運算程序及其所蘊含的數學知識的理解^［5］.

3.2 培養學生直觀想象的能力

數學中的直觀想象屬于理性思維，需要借助數學抽象，得到情境中數量關系和空間結構的本質屬性^［6］.直觀想象素養的核心表現是數形結合思想的形成^［7］，借助幾何圖形把握數學問題的本質，實現數與形之間的轉化，將抽象問題變得簡單化、直觀化.在代數教學過程中，利用幾何圖形可以讓學生更加深刻的理解其中所蘊藏的涵義，使問題變得更加形象；在幾何教學過程中，通過數量關系解決圖形問題，可以增加解題的嚴謹性.

在本節課的第三環節中，教師很好地將數與形結合在一起，使得學生體會到了數形結合的思想方法.該環節要求學生求不同條件下的圓的切線方程，本題難點在于如何確定切線的條數，比如第（2）題，已知圓O：x²+y²=1，切線過P（1，2），求切線方程.如果直接假設切線的斜率為k的話，通過代數運算得出k=?，此時可以得出一條切線，但是如果借助圖形進行思考，不難發現P（1，2）是在圓外的，所以過P（1，2）的切線是有兩條的.只利用代數運算忽視了斜率k不存在的情況，不能正確地進行解題.在另一題中，已知圓O：x²+y²=1，切線過P（2，1），求切線方程.學生此時考慮到了斜率k存在和不存在的兩種情況，通過代數運算得出斜率k存在時，切線方程分別為y=1，4x-3y-5=0，斜率k不存在時，方程為x=2，在平面直角坐標系表示該圓與得出的三條切線就會發現，通過斜率k不存在得出的切線方程是不符合題意的，所以該題的切線只有兩條.由圖形到代數運算，再由代數運算到圖形，進一步檢驗了解決問題方案的正確性，體現了數形結合的思想方法.數與形二者之間的轉化，使得解題更加的嚴謹，因此，在教學過程中，教師要引導學生用幾何的眼光去觀察圖形，用代數的方法去解決問題，從而培養學生的直觀想象素養.

3.3 培養學生邏輯推理的能力

數學推理反映了一種基本的數學思想，并且也是一種主要的數學方法^［8］.邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的思維過程，它主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹^［9］.當前提倡會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界，培養學生的邏輯推理素養就是促進學生會用數學思維思考世界的重要力量^［10］，我們應對其加以關注.

在本節課的各個教學環節中，教師都在引導學生進行邏輯推理.在學生知道用代數運算判斷直線與圓的位置關系之后，首先建立了平面直角坐標系，寫出直線與圓的方程，之后類比直線與直線的位置關系的判斷方法，將直線與圓的方程進行聯立，并推理出直線與圓的公共點的個數可以等價為方程組實數解的個數.學生聯立直線與圓的方程后，通過消元得到關于x或y的一元二次方程，并將其記作*方程.通過教師的引導，學生推出*方程解的個數與方程組解的個數是一樣的，進而得出*方程解的個數和直線與圓的公共點的個數也是一樣的，所以可以用借助*方程計算判別式Δ并與零相比較，當Δ＜0時，*方程無解，即直線與圓無公共點，屬于相離；當Δ=0時，*方程有一解，即直線與圓有一個公共點，屬于相切；當Δ＞0時，*方程有兩解，即直線與圓有兩個公共點，屬于相交.在這一過程中，通過嚴謹的推理，得出可以先計算*方程的判別式Δ，再將其與零相比較來判斷直線與圓的位置關系，加強了學生的邏輯推理意識，提高了學生的思維能力，培養了學生的邏輯推理素養.

4 結論

本節課遵循著“導入—新課講授—應用—小結—練習—布置作業”的步驟，通過教師的引導使得學生掌握了判斷直線與圓位置關系的兩種方法，并在此基礎上，學生能夠解決直線被圓截得的弦長問題以及過一點與圓相切的直線方程問題，初步實現了本節課的教學目標.此外，學生經歷了把平面幾何問題轉化為代數問題，通過代數運算解決代數問題，把代數運算的結果翻譯成幾何結論的過程，體會了坐標法研究平面幾何問題的基本思想，提升了學生分析問題的能力以及總結歸納的能力，增強了數學應用意識，發展了數學運算、直觀想象、邏輯推理三方面的數學核心素養.為了使學生深層次的理解數學本質，參與到數學知識的產生、發展過程中，教師可以在教學中融入數學文化，展示數學的人文特征，激發學生學習興趣.在應用方面，教師可以借助生活情境，使得學生將所學知識應用到生活中去，感受數學的應用價值，體會數學與生活之間的聯系.在引導學生掌握知識內容的同時，教師還應注重探索提升學生綜合素質的路徑，將發展學生的核心素養真正落實在教學中.

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