“僅用無刻度直尺作圖”課堂實踐例展與分析

李志明

摘要：無刻度直尺作圖一直是中考命題的熱點，也是初中生數學活動實踐中的一大薄弱點.從學生的作圖情況來看，利用無刻度直尺作圖仍存在著諸多問題，如錯誤地直接取中點、錯畫垂直或平行等.本文中通過一節課堂教學片段，呈現如何幫助學生學會僅用無刻度直尺作圖的方法.

關鍵詞：無刻度直尺；作圖；實例

無刻度直尺作圖是尺規作圖中的一種，有些省市的中考命題者對此十分青睞.然而，這一內容恰巧是學生的薄弱項，表現出了諸多不足，導致利用無刻度直尺作圖題的得分率整體偏低.為此，本文中首先呈現例題及其錯誤畫法，并在分析之后簡要說明無刻度直尺的工具屬性，最后通過呈現課堂教學片段的方式，和學生探究無刻度直尺作圖的方法.

1 例題及其錯誤畫法呈現

例題呈現如下：

如圖1所示，四邊形AOCB是⊙O內一菱形，且A，B，C都在圓上，請僅用無刻度直尺作出線段OA的中點.

本題圖形簡單，條件不多，要求也比較明

確，難度較小，筆者預

估學生完成的質量較高.但從學生的作圖來看，存在很多錯誤之處，下面展示幾種錯誤畫法（如圖2）：

2 錯解分析

圖2中的四種錯解具有代表性.下面對這四種錯解進行分析.

圖2（1）雖關注到了可用無刻度直尺連接菱形AOCB的對角線構造出點D，但之后直接取OA的中點并連接DE，這正是錯誤之處.因為僅用無刻度直尺作圖時，無法直接且準確地取一條線段的中點，所以違背了無刻度直尺的工具屬性.

圖2（2）的畫法雖然簡單，但同樣違背了無刻度直尺的工具屬性.體現在兩個方面：首先，直接取BC的中點；其次，直接取OA的中點.

圖2（3）連接BO并延長與⊙O相交于點D，連接DA，作∠BDA的角平分線DE，與OA交于點F，與⊙O相交于點E.這種作法雖部分尊重了無刻度直尺的工具屬性，如“連接OB并延長與⊙O相交于點D”“連接DA”，但僅用無刻度直尺難以直接、準確地畫出一個角的角平分線.

圖2（4）延長CO與⊙O相交于點D，連接DA，連接BD，與OA相交于點E.這種作法雖然準確找到了OA的中點E，每一步操作也符合無刻度直尺的工具屬性，但存在多余的線段，應將DA刪除.

3 僅用無刻度直尺作圖的工具屬性說明

從上述四種錯解分析中可以看出，違反無刻度直尺的工具屬性最常見.那么，無刻度直尺的工具屬性有哪些呢？

首先，用無刻度直尺可連接點，如圖2（1）中連接CA，OB和圖2（4）中連接BD的操作步驟都利用了這一點.

其次，用無刻度直尺可將線段延長，如圖2（3）中“連接BO并延長與⊙O相交于點D”和圖2（4）中“延長CO與⊙O相交于點D”的操作步驟都利用了這一點.

也就是說，在僅用無刻度直尺作圖的情況下，只能進行連接點、延長等操作，不能直接利用無刻度直尺取線段中點、作角平分線、作平行線、作垂線等^［1］.

4 僅用無刻度直尺作圖課堂實踐

雖然當前的尺規作圖題無需寫出作圖步驟及證明過程，但這類題處處體現著數學學科特有的邏輯思維^［2］.那么，該如何引導學生去解決這類問題？下面，展示教學片段：

師：請同學們取出一張白紙，將之折疊再折疊使之成為一把“無刻度直尺”.

學生折紙.

設計意圖：長期以來，有刻度的直尺作圖給學生留下了極其深刻的印象.用白紙折出“無刻度直尺”，幫助學生脫離有刻度直尺的束縛，是正確利用無刻度直尺作圖的關鍵.

師：請問這樣的“直尺”有刻度嗎？

生：沒有.

師：利用它能否畫出一條直線或線段呢？請和同桌交流.

學生交流并分享.

生1：可以畫出直線，也可以畫出線段，還可以畫出射線.

師：請用你的“無刻度直尺”給所畫線段找出中點，可以嗎？

學生尋找并討論.

教師巡視并收集錯解，在白板上展示.

師：請看白板上展示的兩種作法，你認為它們正確嗎？

學生觀察并思考.

生2：我認為圖3的作法不正確.因為僅用無刻度直尺“找”不到它的中點.線段是由無數個點組成的，你怎么知道點O正好就是線段AB的中點呢？所以，我認為這種畫法不正確.

生3：我覺得圖4的作法也有問題.因為用無刻度直尺畫中間直線時，如何知道該直線恰好與線段AB互相垂直呢？

設計意圖：收集錯解并向學生展示，有利于學生發現問題、分析問題.借助錯解讓學生反思，更有利于學生形成批判性思維，甚至創造性思維.

師：分析得非常有道理.那么僅用無刻度直尺作圖時，到底能做什么呢？

生4：我認為可以連接點.

生5：我認為可以把線段向兩端延長.

…………

師：非常好.那么對于圖1，應如何利用無刻度直尺作圖呢？請思考.

生：（思考）

生6：首先可以把能連接的點用無刻度直尺連接起來，還可以延長線段.如圖2（1）中連接OB，CA，如圖2（3）中連接OB后延長BO與⊙O交于點D.

生7：線段延長后會產生新的點，這些新的點又可以連接.如圖2（4），延長CO，與⊙O交于點D，這個點D就是新產生的點，可以將這個點與其他點連接起來.

生8：我認為還有非常重要的一點，就是把多余的線段去掉，如圖2（4）中應該去掉線段AD.

師：大家說得非常好，生8補充得更好.所以，圖1中OA的中點可如圖5所示作圖.

綜上所述，在僅用無刻度直尺作圖時，一定要摒棄習慣思維對學生的影響，在明確無刻度直尺的工具屬性后，才能正確作圖.否則，極易出現文中展示的幾種錯誤.

參考文獻：

［1］張潔.造境·串問·靈動：從中考題談情境教學——以“直尺作圖”為演示案例［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2020（22）：16-17，15.

［2］呂科利，鄭旭常.淺析“無刻度直尺”作圖的作法探討與應用［J］.理科考試研究，2018，25（8）：21-24.