建數學模型　抓數學本質　現生活原型

戴佳珉　單熙文

1 課前分析

1.1 學情分析

七年級階段，學生已經學習了有理數和整式的有關知識，也學習了一元一次方程的簡單列法和解法.由于學生的思維剛剛從經驗型向理論型發展，對于如何用數學的觀點來解決實際問題，即如何將實際問題抽象概括為數學中的方程問題是學生學習的難點，因此培養其模型意識與模型思想是本節課的重點.

1.2 教學思路分析

本節課基于整體設計思路，通過創設生動有趣的情境，在學生樂學的過程中，也滲透了人文關懷，知識和建模兩條主線并舉前行，實現最終的教學目的.

知識主線（明線）：通過建立利潤問題的應用模型和用一元一次方程解決實際問題的模型，學生可以解決銷售中的盈虧問題.

思想主線（暗線）：通過問題情境導入新課，讓學生在情境中建立利潤問題的應用模型、用一元一次方程解決實際問題的模型、用方程解決實際問題的模型，使模型真正成為一種思想，成為學生解決現實生活問題的有力抓手.

2 課堂簡錄

2.1 創設情境，鳳舉鸞翔

師：中國隊在2022年北京冬奧會上，拿到了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，一共15塊獎牌，創造了單屆冬奧會奪金紀錄、單屆冬奧會奪牌紀錄，而且這一屆冬奧會，中國隊也創造了亞洲國家最好的成績.圖1是奧運健兒的領獎服，若超市中吊牌價是500元，為了促進銷量，如果你作為商店老板，遇到這種情況應該如何處理？

生1：商店老板應該打折處理商品.

引入課題：銷售中的盈虧

教學說明：數學教育承載著落實立德樹人根本任務、實施素質教育的功能^［1］.建立此情境一是培養學生的民族自豪感，把育人通過情境潛移默化地滲透，同時激發學生的學習興趣；二是讓學生體會隨著市場經濟的發展，數學與經濟活動越來越密切，讓學生置身于解決問題的情境中，使學生體會到數學來源于生活又服務于生活，引導學生用數學的眼光看待世界.

2.2 探索新知，群鳳和鳴

2.2.1 探究1：我們也當一回老板

作為老板，如果這件標價為500元的領獎服打七折.

問題1 這件領獎服賣了多少錢？

生2：500×70%=350（元）.

文字語言：標價×折扣率=售價.

問題2 領獎服進價300元，賺了多少錢？

生3：350-300=50（元）.

文字語言：售價-進價=利潤.

問題3 你賣這件領獎服的利潤率是多少？

生4：50/300×100%≈16.7%.

文字語言：利潤/進價×100%=利潤率.

在此過程中，讓學生明確“進價”即“成本”，“標價”即“原價”“定價”，“售價”即“成交價”“買價”，“利潤”分“盈利”與“虧損”等.

教學說明：學生在學習過程中往往會被各種名稱所困擾，因此這一環節顯得尤為重要.教學中，要讓學生從紛繁復雜的世界中學會數學的表達形式，從實際問題中抽象出符號語言，再從符號語言到文字語言的總結，讓學生經歷知識的發生、發展過程.通過數學的語言，可以簡約、精確地描述自然現象、科學情境和日常生活中的數量關系與空間形式；能夠在現實生活與其他學科中構建普適的數學模型，表達和解決問題；形成數學的表達與交流能力，發展應用意識與實踐能力^［1］.由此讓學生能夠更加理解數學，建立利潤問題的模型.

師：假如你在出售這件奧運會領獎服時，打了3折，那么售出這件衣服后是盈利還是虧損呢？

生5：判斷是盈利還是虧損需要看利潤，利潤為正是盈利，利潤為負是虧損.

生6：利潤為零是既不虧損也不盈利.

生7：于是我們發現

師：總結得非常好，把握好這個規律之后，請大家打打自己的小算盤吧.

教學說明：通過對利潤、盈利、虧損三者關系的再分析，從感性到理性自然地掌握銷售中的等量關系，并逐步突破重點，為以后的學習打下基礎.正所謂“隨風潛入夜，潤物細無聲”.

2.2.2 探究2：打打你的小算盤

問題4 （1）進價為80元的籃球，盈利了30%，則售價為.

（2）進價為80元的籃球，虧損了30%，則售價為.

問題5 某商店將電視機以3 600元的價格賣出，其中盈利20%，其成本價是多少？

生8：要解決上述問題必須理解并熟記下列關系.

（1）利潤=售價-進價，

（2）利潤/進價×100%=利潤率.

除此之外，還應注意文字語言與符號語言之間的轉換，以及公式的變形，以上兩個問題就用到了.如，售價=進價+利潤，利潤=進價×利潤率，這兩個公式都是對原有公式的變形.

師：以上同學們的展示非常精彩，老師為你們的表現感到高興.上面我們就是用剛剛建立的利潤問題的數學模型，解決了現實生活中的實際問題.

教學說明：探究1和探究2都是關于成本價、售價、利潤等之間的問題，題目設計有梯度，循序漸進，為下一環節做好鋪墊，從而突出重點，分散難點.

2.3 提升領學，鳳翔九天

問題6 某商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，分析給出的信息，我們可以猜測盈虧情況嗎？

根據學情猜測，提出新問題：兩件商品售出后的盈虧情況是怎樣的？

教學說明：提出這樣的開放性問題，時刻提醒學生不要被表面現象所蒙蔽，培養其創新意識，這樣有助于學生形成獨立思考、敢于質疑的科學態度與理性精神.

師：大家的猜測各有不同，那到底是什么呢？大家需要透過現象看本質，利用所學數學知識來解決這個問題.

問題7 某商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

生9：賣這兩件衣服是盈利還是虧損，取決于這兩件衣服的售價和進價，若售價大于進價，就盈利，反之就虧損.現已知這兩件衣服總售價為60×2=120（元），需要求出這兩件衣服的進價.

本問題中，設盈利25%的那件衣服的進價是x元，則它的利潤就是0.25x元.根據進價+利潤=售價，列方程得x+0.25x=60，解得x=48.

類似地，設另一件衣服的進價為y元，則它的利潤是-0.25y元.根據相等關系，列方程得y-0.25y=60，解得y=80.

兩件衣服進價共128元，而兩件衣服的售價和為120元，進價大于售價，由此可知賣這兩件衣服總的盈虧情況是虧損8元.

師：解方程后得出的結論與你之前的猜測一致嗎？

大多學生會認為一件盈利25%，一件虧損25%，結果不盈不虧，但是通過學生應用模型的意識，利用建立的利潤問題模型透過現象看本質，正是“盈”與“虧”的矛盾沖突，推動了事物的進一步發展，從而獲得解決問題的方法——用一元一次方程模型解決現實生活中的盈虧問題.當學生真正拿起數學的“武器”驗證前面的猜測時，不管所驗證的猜測正確與否，都能讓學生意識到數學是解決生活中實際問題的有力工具，激發學生學習興趣，引導學生批判性地看待問題，培養大膽質疑解惑的能力.

教學說明：順承猜測，而成本題.

2.4 課堂小結，升華自我

師生共同提煉.

模型一：

生10：（1）標價×折扣率=售價；

（2）利潤=售價-進價；

（3）利潤/進價×100%=利潤率.

生11：售價=利潤+進價；進價=售價-利潤.

師：回答得都很正確，看似我們學習了很多知識，實際上都是由一個公式變形而來的.學習的時候抓住數學的本質可以做到以不變應萬變，這樣學起來會很輕松.

生12：生活當中有很多盈利與虧損的例子.

師：這就是數學來源于生活，又服務于生活.

生13：我們要透過現象看本質，一元一次方程會幫我們解決很多生活中的問題.

生14：……

師：你們的回答很精彩.最后，老師也希望大家都能不被生活中的現象所迷惑，都能運用數學知識抓住事物的本質，利用方程解決生活中的問題.

進而提煉模型二（如圖2）與模型三（如圖3）.

模型二：

模型三：

教學說明：總結不是簡單的知識羅列，而是對知識進行鞏固、歸納、重新建構的過程.通過師生共同總結，貫穿整節課的模型思想也呼之欲出，對于整個教學過程來說，它起到“畫龍點睛”的作用.

3 教學思考

3.1 體現建模思想

本節課是三級模型逐級建構，具體如下：

（1）一級模型——利潤公式模型建構

本節課中2022年北京冬奧會領獎服的銷售背景，讓學生會用數學的眼光觀察現實世界，從數學角度思考真實情境中銷售問題的標價、折扣率、售價、進價、利潤率之間的等量關系，經歷運用方程解決銷售中盈虧問題的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效數學模型.

（2）二級模型（如圖2）——用一元一次方程解決實際問題模型建構

解決實際問題的過程是將實際問題轉化為數學問題，通過分析數學問題中的數量關系，將數學問題轉化為一元一次方程，再通過解方程、檢驗等環節得到實際問題的解.

因此，解決實際問題的一般步驟為：審、設、列、解、驗、答.從“審”到“列”再到“答”的過程是從“文字語言”到“符號語言”再到“文字語言”的過程，這也是“數學來源于生活又服務于生活”的真實寫照，讓學生體會這一過程，有助于豐富頭腦，升華模型意識，開闊眼界.

（3）三級模型（如圖3）——用方程解決實際問題模型建構

站到更高的高度再來看本節課，二級模型中的“一元一次方程”，放到整個初中數學視域可將其替換為“方程”，方程不僅包括初一所學的一元一次方程，還包括將來要學習的二元一次方程組與一元二次方程，更包括未來學習的其他方程.

在此過程中，筆者從整體建構本節課，讓學生經歷“建模”“用模”“升華模型”的過程，使“模型”不再是簡單的公式，而是一種思想——模型思想；同時，培養學生客觀公正看待事物的習慣，使得學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.

“建模”“用模”“升華模型”的過程是思維升級的過程，是以小見大的過程，是既見樹木又見森林的過程，也是解決實際問題的有力抓手.

3.2 體現育知育人

一節好課不僅是一節妙趣橫生的課，更是一節拔節生長的課，它不僅能教會學生知識，更能起到育人之效.通過創設生動有趣的情境，激發學生的愛國主義熱情，培養學生永不放棄、勇于探索的精神，連續提問，持續引發學生思考，提升思考力，讓學生養成知其然并知其所以然的習慣；通過本節課的情境與探究2高潮部分，學生從本質上認識銷售中的盈虧模型，并學會辯證地看待周圍的事物，用好方程這一有力的數學模型，在現實生活中能夠不被表面現象所迷惑，學會透過現象看本質.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.