初中數(shù)學(xué)代數(shù)推理能力的培養(yǎng)策略

摘" 要：“數(shù)與代數(shù)”是初中數(shù)學(xué)四大知識板塊之一，所占比重大，而推理能力也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》提出的關(guān)鍵能力.盡早重視初中生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)，能夠使學(xué)生從觀察中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從大膽猜想中掌握演繹證明的數(shù)學(xué)邏輯，從數(shù)形結(jié)合中體會數(shù)學(xué)的簡潔美，從推理過程中促進知識的學(xué)以致用，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；推理能力；培養(yǎng)策略

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）17-0041-03

收稿日期：2024-03-15

作者簡介：袁詠雪（1997.11—），女，江蘇省南通人，本科，中學(xué)二級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）提出“抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識”等必備能力，將之作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成要素，其中，推理能力屬于數(shù)學(xué)認知維度.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通常將幾何推理作為重點，忽視代數(shù)推理能力.為此，筆者將重點圍繞“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”三個板塊，探討其代數(shù)推理的一般應(yīng)用，結(jié)合中考試題的求解思路，歸納代數(shù)推理能力的培養(yǎng)策略.

1" 問題的提出

數(shù)學(xué)推理是學(xué)科核心能力，推理也是數(shù)學(xué)最基本的思維方式.長期以來，對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，多依賴于“圖形與幾何”部分內(nèi)容，而在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，忽視學(xué)生推理能力的發(fā)展.《課程標準》明確指出，要加強數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域?qū)W生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)，這在一定程度上讓越來越多的教師開始關(guān)注代數(shù)推理能力.筆者對當(dāng)前數(shù)學(xué)教材內(nèi)容進行了認真分析，發(fā)現(xiàn)從七年級到九年級的數(shù)學(xué)教材中，共計有29章內(nèi)容，而“數(shù)與代數(shù)”板塊所占比重更大，如表1所示.

總體來看，“數(shù)與代數(shù)”部分在各年級均有分布，合計有14章節(jié)，占比將近一半，且在編排特點上，呈現(xiàn)螺旋上升趨勢.在七年級教材中，“數(shù)與代數(shù)”章節(jié)偏多，這樣編排，更強調(diào)要從初一就開始重視學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng).

2" 在“數(shù)與代數(shù)”板塊融入代數(shù)推理

2.1" 在“數(shù)與式”中融入代數(shù)推理

“數(shù)與式”是初中數(shù)學(xué)重要知識板塊，有一系列的數(shù)學(xué)運算規(guī)律、運算性質(zhì)，教師可以通過實例教學(xué)，讓學(xué)生掌握其中的邏輯關(guān)系，體認數(shù)學(xué)“法則”.

例1" 比較-821與-47的大小.

分析" 這兩個數(shù)都是負數(shù)，取絕對值也無法直接判定大小關(guān)系.因分母不同，需要對之進行通分，將-47轉(zhuǎn)化為-1221，由此可以看出，-1221的絕對值大于-821的絕對值，按照“絕對值大的反而小”結(jié)論，可以得出-821gt;-47.

通過以上判斷過程，也就是“說理論證過程”，讓學(xué)生體認代數(shù)推理的教學(xué)價值.代數(shù)推理強調(diào)邏輯性，從判定兩數(shù)大小的過程中可以發(fā)現(xiàn)， 此問題看似“比大小”，實則是引領(lǐng)學(xué)生從“因為……，所以……”中感受“說理”過程，在數(shù)學(xué)語言表述中，滲透嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維.由此，讓學(xué)生在推理過程中達成“步步有據(jù)、步步有理”，增強學(xué)生的科學(xué)精神.

2.2" 在“方程與不等式”中融入代數(shù)推理

在初中數(shù)學(xué)中，“方程與不等式”是重點，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點內(nèi)容.該模塊知識是訓(xùn)練學(xué)生代數(shù)推理能力的重要載體.

例2" 有一根鐵絲，長22 cm，問能否折成面積為32 cm2的矩形框？

分析" 在學(xué)習(xí)“一元二次方程”后，對于該題的求解思路，可以用方程思想來解答.在本例中，假設(shè)該矩形框的一邊長為x cm，則另一邊長為（11-x）cm.利用矩形的面積可以得到方程x（11-x）=32，對之進行化簡得到x2-11x+32=0，求解該方程，利用根的判別式得出△=b2-4ac=-7lt;0，說明該方程沒有實數(shù)根.由此可推斷，長為22 cm的鐵絲無法折成面積為32 cm2的矩形框.

《課程標準》要求學(xué)生能夠運用“根的判別式”判定方程是否有實根，或者兩個根是否相等.通過對該題的解析，可以幫助學(xué)生體會“方程與現(xiàn)實生活中的數(shù)量關(guān)系”，增進學(xué)生對“數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)生活”的理解.

關(guān)于不等式的推理，多側(cè)重于判定取值范圍.

例3" 不等式組3x-51，2x-alt;8有且只有3個整數(shù)解，求a的取值范圍.

分析" 本題重點是讓學(xué)生掌握一元一次不等式組的解集，根據(jù)不等式組的解的個數(shù)，逆向推斷a的取值范圍.顯然，該題所滲透的推理思路具有“逆推性”，非常適宜發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力.

本題主要運用了逆推法，這種方法能夠讓學(xué)生理解不等式的內(nèi)涵，增強學(xué)生的代數(shù)分析與推理能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.3" 在“函數(shù)”中融入代數(shù)推理

初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)板塊知識主要有一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等內(nèi)容，該板塊也是發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理能力的關(guān)鍵.

例4" 如圖1所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且OA=OC，對稱軸為直線x=1.下列四個結(jié)論：

①abclt;0；②a+12b+14cgt;0；③ac+b+1=0；④2+c是方程ax2+bx+c=0的一個根.其中正確的是.

分析" 本題主要考查拋物線的開口方向、對稱軸及一元二次方程根的情況.由圖1易發(fā)現(xiàn)，拋物線的開口向下，可以推斷出alt;0.再根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=1，則得到-b2a=1，由此可推導(dǎo)出bgt;0.觀察拋物線與y軸相交于點C位于正半軸，可推導(dǎo)出cgt;0，據(jù)此可以判定abclt;0.對于結(jié)論②，因為拋物線的對稱軸是直線x=1，所以b=-2a，從而a+12b+14c=14cgt;0，故結(jié)論②也成立.對于結(jié)論③，因為OA=OC=c，所以點A的坐標為-c，0，將其代入拋物線的表達式，可得ac2+b（-c）+c=0，整理得ac-b+1=0，從而可知ac+b+1=ac-b+1+2b=2bgt;0.由此可知結(jié)論③不成立.對于結(jié)論④，根據(jù)點A的坐標及拋物線的對稱軸，可以得到點B的坐標為（2+c，0），也就是2+c為方程ax2+bx+c的一個根，即結(jié)論④也成立.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合函數(shù)知識點，運用有關(guān)性質(zhì)，展開代數(shù)推理分析，能夠有效促使學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力［1］.

3" 指向代數(shù)推理能力的培養(yǎng)路徑

3.1" 強調(diào)觀察，注重代數(shù)推理思維的啟發(fā)

代數(shù)推理能力需要具備較強的觀察力.觀察是認識世界的有效途徑之一，在觀察中，要講究目的性、計劃性、持久性.觀察能力體現(xiàn)了“思維的知覺”，教師在平時指導(dǎo)學(xué)生解題時，要給予學(xué)生預(yù)置觀察時間，鼓勵學(xué)生對題目內(nèi)容進行透徹觀察［2］.

例5" 有一矩形人行道，中間鋪正方形灰色地磚，兩邊鋪白色等腰直角三角形地磚，如圖2所示.

當(dāng)正方形地磚為1塊時，需要6塊等腰直角三角形地磚.當(dāng)正方形地磚為2塊時，需要8塊等腰直角三角形地磚.（1）每增加1塊正方形地磚，需要增加幾塊等腰直角三角形地磚？（2）若有n塊正方形地磚，請用含n的代數(shù)式表示等腰直角三角形地磚的塊數(shù).

根據(jù)圖形特征，對于問題（1），學(xué)生可以動手畫圖，很快得到2塊等腰直角三角形地磚；對于問題（2），則需要通過多次推理來獲得答案.學(xué)生在對鋪磚方式的認真觀察后，推斷出每增加一塊正方形地磚，需要增加2塊三角形地磚，加上前面的4塊三角形地磚，得出三角形地磚數(shù)為（2n+4）塊.

3.2" 突出猜想，注重推理演繹與證明

在培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力的過程中，教師要鼓勵學(xué)生大膽猜想，從猜想中找準解題思路.猜測和檢查是代數(shù)推理的基本形式，由猜想到證明，體現(xiàn)了由特殊到一般的演繹過程.

例6" 觀察等式：

（2×1+1）2=（2×2+1）2-（2×2）2，

（2×2+1）2=（3×4+1）2-（3×4）2，

（2×3+1）2=（4×6+1）2-（4×6）2，

（2×4+1）2=（5×8+1）2-（5×8）2，

…………

（1）按如上規(guī)律，請寫出第5個等式.

（2）對于第n個等式，應(yīng)該如何表示？

分析" 根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特征，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，第5個等式可以表示為：（2×5+1）2=（6×10+1）2-（6×10）2.顯然，對該題的解析，著重考查學(xué)生對等式規(guī)律的探索.在觀察、歸納、分析基礎(chǔ)上，可以寫出第n個等式表示為：（2n+1）2=［（n+1）·2n+1］2-［（n+1）·2n］2.在對該題的推理探索過程中，學(xué)生可從中深刻體認數(shù)學(xué)解題過程，并對猜想進行驗證，從而發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力.

3.3" 傳授方法，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想

在發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理能力過程中，數(shù)學(xué)思想的滲透是必不可少的.面對數(shù)學(xué)問題，要指導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，尤其是在代數(shù)運算中，更要注重數(shù)形結(jié)合思想的融入.代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為幾何問題，在“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化中，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的簡潔美.

例7" 拋物線y=ax2-2x+1（a≠0），對稱軸為x=1.

（1）求a的值；

（2）假設(shè)點M（x1，y1）、N（x2，y2）位于拋物線上，且滿足-1lt;x1lt;0，1lt;x2lt;2，請比較y1、y2的大小，并說明理由.

分析" 在求解過程中，單純從代數(shù)視角來解題，學(xué)生會感到抽象，不易找準解題突破口.教師可引導(dǎo)學(xué)生借助平面坐標系，利用二次函數(shù)的圖象解決問題，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”相結(jié)合，使代數(shù)問題豁然開朗.

4" 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視學(xué)生代數(shù)推理能力的養(yǎng)成，結(jié)合題型探究，滲透推理、演繹、驗證方法，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

參考文獻：［1］ 樓倩.核心素養(yǎng)導(dǎo)向下初中數(shù)學(xué)代數(shù)推理能力培養(yǎng)探析［J］.數(shù)學(xué)之友，2023（6）：39-42.

［2］ 錢德春.關(guān)于初中代數(shù)推理的理解與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（11）：2-4.

［責(zé)任編輯：李" 璟］